descartesclytie0x/descartes-math-platform
บทที่ 45 ลำดับและอนุกรมตรงกับหนังสือ พื้นฐาน ม.5 บทที่ 3 และเพิ่มเติม ม.6 เล่ม 1 บทที่ 1เพิ่มเติม

45.5 ลิมิตของลำดับ

ยืนห่างประตู 22 เมตร แล้วเดินไปครึ่งหนึ่งของระยะที่เหลือทุกครั้ง ระยะที่เหลือเป็น 1,12,14,…1, \tfrac12, \tfrac14, \ldots เมตร ไม่มีครั้งไหนถึงประตูพอดี แต่ไม่ว่าจะกำหนดระยะเล็กแค่ไหน สักวันระยะที่เหลือจะน้อยกว่านั้นและน้อยกว่าตลอดไป พจน์ของลำดับอาจเข้าใกล้ค่าหนึ่งโดยไม่เคยเท่าค่านั้น ลิมิตอธิบายค่าเป้าหมายเมื่อจำนวนขั้นเพิ่มต่อไป หน้านี้จะทำให้คำว่าเข้าใกล้ชัดเจน แล้วหาลิมิตด้วยการคำนวณ โดยไม่ต้องไล่ค่าทีละพจน์

เข้าใกล้ ไม่ใช่พจน์สุดท้าย

ลองคำนวณ an=2n+1na_n = \dfrac{2n+1}{n} ที่ nn ใหญ่ขึ้นเรื่อยๆ

nn1101001000
ana_n32.12.012.001

ระยะจาก 22 คือ 1n\tfrac{1}{n} เล็กลงตามที่ต้องการได้ ถ้าต้องการให้ห่างจาก 22 น้อยกว่า 0.0010.001 ก็เลือก nn มากกว่า 10001000 ทุกพจน์หลังจากนั้นอยู่ใกล้กว่านั้นทั้งหมด ไม่ใช่แค่บางพจน์

นิยาม

ลำดับลู่เข้าสู่ LL เมื่อสามารถทำให้พจน์ทั้งหมดหลังดัชนีหนึ่งใกล้ LL ได้มากเท่าที่ต้องการ เขียน lim⁡n→∞an=L\lim_{n\to\infty}a_n=L ถ้าไม่มีลิมิตจำกัดเรียกว่าลู่ออก

กราฟจุดข้างล่างเป็นของ an=1+(−1)nna_n = 1 + \dfrac{(-1)^n}{n} พจน์กระโดดขึ้นลงรอบ 11 แต่ระยะห่างจาก 11 คือ 1n\tfrac1n ซึ่งเล็กลงเรื่อยๆ แถบสีเขียวคือช่วง 0.90.9 ถึง 1.11.1 ตั้งแต่พจน์ที่ 1111 เป็นต้นไป ทุกจุดอยู่ในแถบ ถ้าบีบแถบให้แคบลงอีก ก็แค่ต้องเริ่มที่ดัชนีที่ไกลขึ้น ลำดับนี้จึงลู่เข้าสู่ 11

0.511.524681012naₙ
สิบสองพจน์แรกของ an=1+(−1)nna_n = 1 + \tfrac{(-1)^n}{n} แถบสีเขียวคือช่วงที่ห่างจาก 11 ไม่เกิน 0.10.1

ลิมิตพื้นฐานและทฤษฎีบทลิมิต

ลิมิตที่ใช้เป็นฐานมีสามแบบ ลำดับคงตัว c,c,c,…c, c, c, \ldots มีลิมิต cc ลำดับ 1n\tfrac1n มีลิมิต 00 และ rn→0r^n \to 0 เมื่อ ∣r∣<1|r| < 1 ลำดับอื่นที่ซับซ้อนกว่าสร้างจากสามแบบนี้ด้วยการบวก ลบ คูณ หาร จึงใช้ทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบทลิมิต

ถ้า lim⁡an=A\lim a_n = A และ lim⁡bn=B\lim b_n = B โดยที่ AA และ BB เป็นจำนวนจริง และ cc เป็นค่าคงตัว

  • lim⁡(an±bn)=A±B\lim (a_n \pm b_n) = A \pm B และ lim⁡can=cA\lim ca_n = cA
  • lim⁡anbn=AB\lim a_nb_n = AB
  • lim⁡anbn=AB\lim \dfrac{a_n}{b_n} = \dfrac{A}{B} เมื่อ B≠0B \ne 0

เงื่อนไขสำคัญคือทั้งสองลำดับต้องลู่เข้าก่อน ลำดับเศษส่วนพหุนามอย่าง 3n+1n+2\dfrac{3n+1}{n+2} ทั้งเศษและส่วนโตไม่สิ้นสุด ใช้ทฤษฎีบทผลหารตรงๆ ไม่ได้ ต้องหารทั้งเศษและส่วนด้วยกำลังสูงสุดของ nn ในตัวส่วนก่อน ทุกพจน์จะกลายเป็นค่าคงตัวหรือรูป cnk\tfrac{c}{n^k} ที่เข้าใกล้ศูนย์

ตัวอย่าง 1

หา lim⁡n→∞3n+1n+2\lim_{n\to\infty}\dfrac{3n+1}{n+2}

  1. กำลังสูงสุดในตัวส่วนคือ nn หารทั้งเศษและส่วนด้วย nn ได้ 3+1/n1+2/n\dfrac{3+1/n}{1+2/n} ค่าของเศษส่วนไม่เปลี่ยน เพราะหารด้วยจำนวนเดียวกัน
  2. ตอนนี้เศษเข้าใกล้ 33 และส่วนเข้าใกล้ 11 ซึ่งไม่ใช่ศูนย์ ใช้ทฤษฎีบทผลหารได้ ลิมิตคือ 33

ตัวอย่าง 2

หา lim⁡n→∞3n2+12n2−n\lim_{n\to\infty}\dfrac{3n^2 + 1}{2n^2 - n}

  1. กำลังสูงสุดในตัวส่วนคือ n2n^2 หารทุกพจน์ด้วย n2n^2 ได้ 3+1/n22−1/n\dfrac{3 + 1/n^2}{2 - 1/n}
  2. 1n2→0\tfrac{1}{n^2} \to 0 และ 1n→0\tfrac1n \to 0 เศษเข้าใกล้ 33 ส่วนเข้าใกล้ 22
  3. ลิมิตคือ 32\dfrac32 สังเกตว่าคำตอบคืออัตราส่วนของสัมประสิทธิ์หน้ากำลังสูงสุด เมื่อเศษกับส่วนมีดีกรีเท่ากัน

ตัวอย่าง 3

หา lim⁡n→∞5n+2n2+1\lim_{n\to\infty}\dfrac{5n + 2}{n^2 + 1}

  1. ดีกรีของเศษน้อยกว่าของส่วน หารทุกพจน์ด้วย n2n^2 ได้ 5/n+2/n21+1/n2\dfrac{5/n + 2/n^2}{1 + 1/n^2}
  2. เศษเข้าใกล้ 00 ส่วนเข้าใกล้ 11 จึงได้ลิมิต 00 ตัวส่วนโตเร็วกว่าตัวเศษ

ลองคิดก่อน

เพื่อนหา lim⁡3n2+12n2−n\lim \dfrac{3n^2+1}{2n^2-n} โดยบอกว่าเศษเป็นอนันต์ ส่วนก็เป็นอนันต์ อนันต์หารอนันต์เท่ากับ 11 ถูกไหม

ดูคำตอบ

ไม่ถูก อนันต์ไม่ใช่จำนวนจริง จึงหารกันไม่ได้ และทฤษฎีบทผลหารใช้ได้เฉพาะเมื่อทั้งสองลำดับมีลิมิตเป็นจำนวนจริง ตัวอย่างที่ 2 ให้คำตอบ 32\tfrac32 ส่วน n2n\dfrac{n^2}{n} ก็เป็นอนันต์หารอนันต์ แต่ไม่มีลิมิตจำกัด รูปอนันต์หารอนันต์จึงบอกอะไรไม่ได้ ต้องจัดรูปก่อน

ตัวอย่าง 4

หา lim⁡n→∞(2+(−12)n)\lim_{n\to\infty}\big(2+(-\tfrac12)^n\big)

  1. ฐานของพจน์ยกกำลังมีค่าสัมบูรณ์ 12\tfrac12 น้อยกว่าหนึ่ง จึงเข้าใกล้ศูนย์ ขนาดของ (−12)n(-\tfrac12)^n คือ (12)n(\tfrac12)^n ส่วนเครื่องหมายสลับไปมา
  2. ทฤษฎีบทผลบวกให้ลิมิต 2+0=22 + 0 = 2 ลำดับสลับอยู่เหนือและใต้ 22 แต่เข้าใกล้ 22

ลำดับที่ลู่ออก

ลำดับลู่ออกได้สองแบบ แบบแรกโตไม่มีขอบเขต เช่น n2n^2 หรือ (32)n(\tfrac32)^n เขียนว่า lim⁡an=∞\lim a_n = \infty ได้ แต่ ∞\infty ไม่ใช่จำนวนจริง ลำดับนี้จึงยังนับว่าลู่ออก แบบที่สองแกว่งไม่ยอมเลือกค่าเดียว เช่น (−1)n(-1)^n ซึ่งเป็น −1,1,−1,1,…-1, 1, -1, 1, \ldots พจน์มีขอบเขตแต่ไม่เข้าใกล้ค่าใดค่าหนึ่ง

ตัวอย่าง 5

ลำดับ an=n2+1n+1a_n = \dfrac{n^2 + 1}{n + 1} ลู่เข้าหรือลู่ออก

  1. ดีกรีของเศษมากกว่าของส่วน หารทุกพจน์ด้วย nn ซึ่งเป็นกำลังสูงสุดในตัวส่วน ได้ n+1/n1+1/n\dfrac{n + 1/n}{1 + 1/n}
  2. ส่วนเข้าใกล้ 11 แต่เศษมีพจน์ nn ที่โตไม่สิ้นสุด ลำดับจึงโตไม่มีขอบเขตและลู่ออก
  3. ตรวจด้วยค่าตัวอย่าง a10=10111a_{10} = \tfrac{101}{11} ประมาณ 9.29.2 และ a100=10001101a_{100} = \tfrac{10001}{101} ประมาณ 99.099.0 โตตาม nn จริง

ลำดับเพิ่มแต่มีขอบเขต

การลู่เข้าไม่บังคับว่าต้องเท่าลิมิตสักครั้ง ลำดับที่เพิ่มและมีขอบเขตบนสามารถเข้าใกล้ขอบเขตที่เล็กที่สุดโดยไม่แตะ ในทางกลับกัน การมีขอบเขตอย่างเดียวไม่พอ เช่นลำดับสลับบวกหนึ่งลบหนึ่งไม่เลือกค่าเป้าหมายเดียวกัน ต้องตรวจทั้งพฤติกรรมและค่าที่เข้าใกล้

ตัวอย่าง 6

พิจารณา an=1−1/na_n=1-1/n เมื่อ n=1,2,…n=1,2,\ldots

  1. พจน์ต้นเป็น 0,1/2,2/3,3/40,1/2,2/3,3/4 เพิ่มและน้อยกว่าหนึ่งเสมอ
  2. 1/n→01/n\to0 จึงได้ an→1a_n\to1
  3. ระยะจากหนึ่งคือ 1/n1/n ถ้าต้องการให้น้อยกว่า 0.010.01 ให้เลือก n>100n>100

ลองคิดก่อน

ลำดับที่เพิ่มขึ้นทุกครั้งต้องมีลิมิตจำกัดหรือไม่

ดูคำตอบ

ไม่จำเป็น ลำดับจำนวนเต็มบวกเพิ่มขึ้นไม่สิ้นสุด แต่ถ้าเพิ่มขึ้นและมีขอบเขตบนจึงรับรองว่ามีลิมิตจำกัดได้ เช่น 1−1/n1-1/n

ตรวจวิธีคิด

การคำนวณพจน์ต้นช่วยเดา แต่ไม่ใช่หลักฐานสำหรับทุกดัชนี การเขียนความต่างกับลิมิตเป็นสูตรแล้วควบคุมขนาดได้ช่วยยืนยันข้อสรุปโดยไม่ต้องคำนวณทุกพจน์

สรุป

  • อนันต์ไม่ใช่ดัชนีของพจน์สุดท้าย ลู่เข้าแปลว่าทุกพจน์หลังดัชนีหนึ่งอยู่ใกล้ลิมิตได้ตามต้องการ
  • ทฤษฎีบทลิมิตใช้ได้เมื่อทุกส่วนลู่เข้า ลำดับเศษส่วนพหุนามให้หารด้วยกำลังสูงสุดของตัวส่วนก่อน
  • ดีกรีเศษน้อยกว่าส่วนได้ 00 เท่ากันได้อัตราส่วนสัมประสิทธิ์นำ มากกว่าลู่ออก
  • พจน์กำลังฐานขนาดน้อยกว่าหนึ่งเข้าใกล้ศูนย์
  • การแกว่งไม่แปลว่าลู่ออกเสมอ ต้องดูขนาดการแกว่ง

หน้าถัดไปใช้ลิมิตกับผลรวม ผลรวมของพจน์ไม่สิ้นสุดจะมีค่าได้ก็ต่อเมื่อลำดับของผลรวมย่อยลู่เข้า