41.2 เวกเตอร์ในระบบพิกัด

ถ้าแผนที่ระบุจุดเริ่มและจุดปลาย เราหาการกระจัดได้โดยไม่ต้องวัดรูป ความต่างของพิกัดแต่ละแกนคือข้อมูลที่ลูกศรเก็บไว้

โดรนถ่ายภาพงานกีฬาสีขึ้นจากกลางสนามแล้วบินไปลอยนิ่งเหนืออัฒจันทร์ ตำแหน่งของมันต้องบอกด้วยสามค่า คือไปทางไหนบนพื้นสองค่ากับสูงจากพื้นอีกหนึ่งค่า ลูกศรบนกระดาษแสดงการเคลื่อนที่แบบนี้ได้ไม่ดี แต่พิกัดทำได้ทันที หน้านี้เริ่มจากเวกเตอร์ในระนาบ แล้วขยายไปสามมิติด้วยหลักเดียวกัน

เวกเตอร์ในระนาบ xy

วางหางของเวกเตอร์ที่จุดกำเนิด $O$ แล้วหัวจะตกที่จุด $P(a,b)$ พอดี เวกเตอร์นั้นจึงบอกได้ด้วยตัวเลขสองตัว เรียกว่าองค์ประกอบ หน้านี้เขียนว่า $\langle a,b\rangle$ ใช้วงเล็บมุมเพื่อแยกจากพิกัดของจุด หนังสือเรียนเขียนเป็นหลักแนวตั้ง $\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}$ หมายถึงสิ่งเดียวกัน เวกเตอร์ $\overrightarrow{OP}$ เรียกว่าเวกเตอร์บอกตำแหน่งของจุด $P$

จากหน้า 41.1 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$ ถ้า $A=(x_1,y_1)$ และ $B=(x_2,y_2)$ จึงได้ $\overrightarrow{AB}=\langle x_2-x_1,\ y_2-y_1\rangle$ คือพิกัดปลายลบพิกัดต้นทีละแกน ขนาดหาด้วยทฤษฎีบทพีทาโกรัส เพราะองค์ประกอบทั้งสองเป็นด้านประกอบมุมฉาก $\|\langle a,b\rangle\|=\sqrt{a^2+b^2}$

ให้ $\mathbf i=\langle1,0\rangle$ และ $\mathbf j=\langle0,1\rangle$ เป็นเวกเตอร์ยาวหนึ่งหน่วยตามแกน $x$ และแกน $y$ ทุกเวกเตอร์เขียนได้เป็น $\langle a,b\rangle=a\mathbf i+b\mathbf j$ คือเดินตามแกน $x$ เป็นระยะ $a$ แล้วเดินตามแกน $y$ เป็นระยะ $b$

ระบบพิกัดฉากสามมิติ

เพิ่มแกน $z$ ที่ตั้งฉากกับทั้งแกน $x$ และแกน $y$ ณ จุดกำเนิด แกนทั้งสามจัดตามระบบมือขวา คือกำมือขวาให้นิ้วทั้งสี่วนจากแกน $x$ บวกไปหาแกน $y$ บวก นิ้วโป้งจะชี้ไปแกน $z$ บวก จุดในปริภูมิสามมิติเขียนเป็น $P(x,y,z)$

การหาตำแหน่งของ $P(2,3,4)$ ทำเหมือนเดินในห้อง เดินตามแกน $x$ ไป $2$ หน่วย เลี้ยวตามแกน $y$ อีก $3$ หน่วย แล้วขึ้นตามแกน $z$ อีก $4$ หน่วย จุดนี้จึงเป็นมุมของกล่องที่มีด้านยาว $2$ $3$ และ $4$ ระนาบ $xy$ คือพื้นที่ $z=0$ ระนาบทั้งสามแบ่งปริภูมิเป็นแปดส่วน เรียกว่าอัฐภาค

ระยะระหว่างจุดในสามมิติ

หาระยะจาก $A(x_1,y_1,z_1)$ ถึง $B(x_2,y_2,z_2)$ ทีละขั้น ขั้นแรกเดินบนพื้นระดับเดียวกับ $A$ ไปอยู่ใต้หรือเหนือ $B$ ระยะช่วงนี้คือ $\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ ตามสูตรระยะทางในบทที่ 38 ขั้นที่สองขึ้นหรือลงตรงๆ เป็นระยะ $|z_2-z_1|$ สองช่วงนี้ตั้งฉากกัน ใช้พีทาโกรัสอีกครั้งได้

$AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$

เวกเตอร์ในสามมิติก็ทำแบบเดียวกัน $\overrightarrow{AB}=\langle x_2-x_1,\ y_2-y_1,\ z_2-z_1\rangle$ และระยะ $AB$ ก็คือขนาดของเวกเตอร์นี้

เวกเตอร์หนึ่งหน่วย i j k

ในสามมิติ ให้ $\mathbf i=\langle1,0,0\rangle$ $\mathbf j=\langle0,1,0\rangle$ และ $\mathbf k=\langle0,0,1\rangle$ ทุกเวกเตอร์เขียนได้เป็น $\langle a,b,c\rangle=a\mathbf i+b\mathbf j+c\mathbf k$ เช่น $\langle3,4,0\rangle=3\mathbf i+4\mathbf j$

เวกเตอร์หนึ่งหน่วยคือเวกเตอร์ที่ยาว $1$ การหารด้วยขนาดคือการคูณด้วยสเกลาร์บวก $\tfrac{1}{\|\mathbf u\|}$ ทิศจึงไม่เปลี่ยน แต่ความยาวถูกย่อหรือขยายให้เหลือ $1$ พอดี

ใช้ขนาดเพื่อกำหนดเวกเตอร์ใหม่

เวกเตอร์หนึ่งหน่วยมีหน้าที่เก็บทิศโดยตัดขนาดออก จากนั้นคูณความยาวที่ต้องการกลับเข้าไปได้ วิธีนี้ใช้สร้างความเร็วตามทิศที่กำหนดหรือแบ่งเส้นทางตามระยะ การหารด้วยขนาดต้องหารทุกองค์ประกอบด้วยค่าเดียวกัน มิฉะนั้นอัตราส่วนระหว่างองค์ประกอบเปลี่ยนและทิศเปลี่ยน

โคไซน์แสดงทิศทาง

ทิศของเวกเตอร์ในสามมิติบอกได้ด้วยมุมที่ทำกับแกนบวกทั้งสาม ให้ $\alpha$ $\beta$ $\gamma$ เป็นมุมที่ $\mathbf u=\langle a,b,c\rangle$ ทำกับแกน $x$ แกน $y$ และแกน $z$ ตามลำดับ แต่ละมุมอยู่ระหว่าง $0$ ถึง $180$ องศา จะได้

$\cos\alpha=\frac{a}{\|\mathbf u\|},\quad \cos\beta=\frac{b}{\|\mathbf u\|},\quad \cos\gamma=\frac{c}{\|\mathbf u\|}$

เรียกสามค่านี้ว่าโคไซน์แสดงทิศทาง ที่มาคือสามเหลี่ยมมุมฉากที่มี $\mathbf u$ เป็นด้านตรงข้ามมุมฉากและองค์ประกอบ $a$ เป็นด้านประชิดมุม $\alpha$ สังเกตว่าสามค่านี้ก็คือองค์ประกอบของเวกเตอร์หนึ่งหน่วยในทิศ $\mathbf u$ นั่นเอง จึงได้ $\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1$ เสมอ

จุดแบ่งส่วนของเส้นตรง

ถ้าจุด $P$ อยู่บนส่วนของเส้นตรง $AB$ และ $AP:PB=m:n$ จุด $P$ อยู่ห่างจาก $A$ เป็น $\tfrac{m}{m+n}$ ของทางทั้งหมด จึงได้ $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\tfrac{m}{m+n}\overrightarrow{AB}$ จัดรูปแล้วได้สูตร

$\overrightarrow{OP}=\frac{n\,\overrightarrow{OA}+m\,\overrightarrow{OB}}{m+n}$

สังเกตว่า $m$ ซึ่งอยู่ติด $A$ ในอัตราส่วนไปคูณ $B$ เพราะยิ่ง $AP$ ยาว จุด $P$ ยิ่งเข้าใกล้ $B$ กรณี $m=n$ คือจุดกึ่งกลาง ได้ค่าเฉลี่ยของพิกัดเหมือนบทที่ 38

ลองบวกเวกเตอร์ด้วยองค์ประกอบ

ลองตั้งเวกเตอร์ที่สองเป็น $\langle-2,-1\rangle$ ผลบวกจะเป็นศูนย์ เพราะปลายลูกศรกลับสู่จุดเริ่ม แล้วเปลี่ยนเป็น $\langle0,0\rangle$ เพื่อดูว่าเวกเตอร์ศูนย์ไม่เปลี่ยนผลบวก สังเกตว่าองค์ประกอบของผลบวกคือผลบวกขององค์ประกอบทีละแกนเสมอ

สรุป

• เวกเตอร์ระหว่างจุดใช้ปลายลบต้นทีละแกน ทั้งในสองมิติและสามมิติ
• ระยะระหว่างจุดในสามมิติคือ $\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2}$
• $\langle a,b,c\rangle=a\mathbf i+b\mathbf j+c\mathbf k$
• เวกเตอร์หนึ่งหน่วยต้องมีขนาดหนึ่งและคงทิศเดิม เวกเตอร์ศูนย์ทำให้เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยไม่ได้
• โคไซน์แสดงทิศทางคือองค์ประกอบของเวกเตอร์หนึ่งหน่วย กำลังสองรวมกันได้ $1$
• จุดที่แบ่ง $AB$ ในอัตราส่วน $m:n$ คือ $\dfrac{nA+mB}{m+n}$

ตอนนี้เราบอกทิศของเวกเตอร์เทียบกับแกนได้แล้ว คำถามต่อไปคือเวกเตอร์สองตัวทำมุมกันเท่าไร และตั้งฉากกันหรือไม่ หน้า 41.3 ตอบด้วยการคูณแบบใหม่ที่ได้ผลเป็นจำนวน