31.2 มุม 30 45 และ 60 องศา

ถ้าไม่มีตารางตรีโกณมิติ เราหาค่าไซน์ของ 30 องศาได้จากรูปอะไร ลองเริ่มด้วยสามเหลี่ยมด้านเท่าและจัตุรัส ซึ่งรู้มุมและความยาวสัมพันธ์กันอยู่แล้ว

สามเหลี่ยม 45 45 90

แบ่งจัตุรัสด้าน 1 ตามเส้นทแยงมุม ได้สามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว มุมแหลมทั้งสองเท่ากับ $45^\circ$ ด้านประกอบมุมฉากยาว 1 ทั้งคู่ ด้านฉากยาว $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$ ดังนั้น $\sin45^\circ=\cos45^\circ=1/\sqrt2=\sqrt2/2$ และ $\tan45^\circ=1$

ตัวอย่าง 1

สามเหลี่ยมมุมฉากมีมุมหนึ่ง 45 องศาและด้านฉากยาว 12 เซนติเมตร ด้านประกอบมุมฉากแต่ละด้านยาวเท่าไร

ให้ด้านประกอบมุมฉากเป็น a ใช้ $\sin45^\circ=a/12$
ได้ $a=12(\sqrt2/2)=6\sqrt2$ เซนติเมตร
ทั้งสองด้านยาวเท่ากัน ตรวจกำลังสองได้ $72+72=144=12^2$

สามเหลี่ยม 30 60 90

ลากเส้นสูงของสามเหลี่ยมด้านเท่าด้าน 2 เส้นสูงแบ่งฐานเป็น 1 กับ 1 และแบ่งมุมยอดเป็น 30 องศา ได้สามเหลี่ยมมุมฉากที่ด้านฉากยาว 2 ด้านตรงข้ามมุม 30 ยาว 1 และอีกด้านยาว $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$ จึงสร้างตารางได้โดยระบุด้านข้ามกับประชิดของมุมที่เลือก

มุม	sin	cos	tan
$30^\circ$	$1/2$	$\sqrt3/2$	$\sqrt3/3$
$45^\circ$	$\sqrt2/2$	$\sqrt2/2$	$1$
$60^\circ$	$\sqrt3/2$	$1/2$	$\sqrt3$

ตัวอย่าง 2

สามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านตรงข้ามมุม 30 องศายาว 7 จงหาด้านฉากและด้านที่เหลือ

อัตราส่วนด้านตรงข้ามมุม 30 ต่อด้านฉากเป็น $1:2$ ด้านฉากจึงยาว 14
อัตราส่วนด้านสามด้านเป็น $1:\sqrt3:2$ จึงได้ด้านที่เหลือ $7\sqrt3$
ตรวจ $(7)^2+(7\sqrt3)^2=14^2$ ถ้าใช้ 7 เป็นด้านประชิดจะได้คำตอบคนละชุด ต้องอ่านด้านที่โจทย์ระบุ

เก็บค่ารากไว้จนจบ

ตัวอย่าง 3

หาค่า $2\sin30^\circ+\tan45^\circ-\cos60^\circ$

แทนค่าได้ $2(1/2)+1-1/2$
คูณก่อนบวกลบ ได้ $1+1-1/2=3/2$
ไม่ต้องประมาณทศนิยม เพราะมุมพิเศษให้ค่าตรงที่จัดเศษส่วนได้ทันที

ลองคิดก่อน

เพื่อนจำว่า tan 30 เป็น $\sqrt3$ เพราะสามเหลี่ยมมีด้าน $\sqrt3$ ถูกไหม

ดูคำตอบ

ต้องดูว่าด้านนั้นอยู่ตรงไหน สำหรับมุม 30 ด้านตรงข้ามยาว 1 ด้านประชิดยาว $\sqrt3$ ดังนั้น tan 30 เป็น $1/\sqrt3=\sqrt3/3$ ส่วน $\sqrt3$ เป็น tan 60 เพราะสองด้านสลับบทบาทกัน

สรุป

มุม 45 มาจากครึ่งจัตุรัส และมุม 30 กับ 60 มาจากครึ่งสามเหลี่ยมด้านเท่า
ระบุมุมก่อนตั้งอัตราส่วน ด้านข้ามกับประชิดจะเปลี่ยนเมื่อเปลี่ยนมุม
ใช้ค่ารากแบบตรงเมื่อโจทย์ไม่ได้ขอทศนิยม