17.6 แบบฝึกหัด

ประโยค $\triangle PQR \cong \triangle XYZ$ บอกว่า $P$ $Q$ $R$ สมนัยกับ $X$ $Y$ $Z$ ตามลำดับ $Q$ สมนัยกับ $Y$ และ $R$ สมนัยกับ $Z$ ด้าน $QR$ จึงสมนัยกับด้าน $YZ$ และ $QR = YZ$

$M$ สมนัยกับ $C$ จึงได้ $\hat{M} = \hat{C}$ และ $\hat{C} = 180^\circ - 48^\circ - 77^\circ = 55^\circ$ ดังนั้น $\hat{M} = 55^\circ$

มุมฉาก $\hat{M}$ อยู่ระหว่างด้าน $KM$ กับ $LM$ เพราะสองด้านนี้มีตัวอักษรร่วมคือ $M$ ทำนองเดียวกัน $\hat{Z}$ อยู่ระหว่าง $XZ$ กับ $YZ$ ข้อมูลจึงเป็น ด้าน มุม ด้าน ครบ สรุปได้ด้วย ด.ม.ด.

ส่วน ฉ.ด.ด. ใช้ทันทีไม่ได้ เพราะรูปไม่ได้บอกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก $KL$ กับ $XY$ ยาวเท่ากัน

• ชุดแรก $\hat{B}$ อยู่ระหว่าง $AB$ กับ $BC$ เป็น ด.ม.ด. สรุปได้
• ชุดที่สอง มุมในระหว่าง $AB$ กับ $BC$ คือ $\hat{B}$ แต่ที่ให้มาคือ $\hat{C}$ เป็น ด.ด.ม. สรุปไม่ได้
• ชุดที่สาม $AB$ อยู่ระหว่าง $\hat{A}$ กับ $\hat{B}$ เป็น ม.ด.ม. สรุปได้
• ชุดที่สี่ $AB$ อยู่ตรงข้ามมุมฉาก $\hat{C}$ จึงเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก และ $BC$ เป็นด้านประกอบมุมฉาก เป็น ฉ.ด.ด. สรุปได้

1. $A$ สมนัยกับ $P$ และ $B$ สมนัยกับ $Q$ ด้าน $AB$ จึงสมนัยกับ $PQ$ ได้ $2x + 3 = 5x - 9$
2. ย้ายข้าง $3 + 9 = 5x - 2x$ ได้ $12 = 3x$ จึงได้ $x = 4$
3. ตรวจ $AB = 2(4) + 3 = 11$ และ $PQ = 5(4) - 9 = 11$ ยาวเท่ากันจริง

ส่วน $PR$ สมนัยกับ $AC$ ซึ่งโจทย์ไม่ได้บอกความยาว จึงยังใช้ตั้งสมการไม่ได้

1. $OA = OB$ (กำหนดให้)
2. $A\hat{O}C = B\hat{O}D$ (มุมตรงข้าม)
3. $OC = OD$ (กำหนดให้)
4. $\triangle AOC \cong \triangle BOD$ (ด.ม.ด.) โดย $A$ $O$ $C$ สมนัยกับ $B$ $O$ $D$
5. $AC = BD$ (ด้านคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ)

จะเริ่มจาก $OC = OD$ แล้วจึงเป็นมุม และ $OA = OB$ ก็ได้ เพราะยังเป็น ด้าน มุม ด้าน เหมือนเดิม

1. $B\hat{A}C = E\hat{D}C = 90^\circ$ (ทั้งคู่ตั้งฉากกับริมคลอง)
2. $AC = DC = 30$ เมตร (เดินวัดไว้)
3. $A\hat{C}B = D\hat{C}E$ (มุมตรงข้าม เพราะ $B$ $C$ $E$ อยู่ในแนวเดียวกัน)
4. $AC$ อยู่ระหว่างมุมที่ $A$ กับมุมที่ $C$ และ $DC$ อยู่ระหว่างมุมที่ $D$ กับมุมที่ $C$ จึงได้ $\triangle ABC \cong \triangle DEC$ (ม.ด.ม.)
5. $AB = DE$ (ด้านคู่ที่สมนัยกัน) และ $DE = 32 \times 0.6 = 19.2$ เมตร

คลองกว้าง $19.2$ เมตร

1. $AB = AC$ (กำหนดให้)
2. $BD = CD$ ($D$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $\overline{BC}$)
3. $AD = AD$ (ด้านร่วม)
4. $\triangle ABD \cong \triangle ACD$ (ด.ด.ด.)
5. $A\hat{D}B = A\hat{D}C$ (มุมคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ)
6. สองมุมนี้รวมกันเป็นมุมตรง $180^\circ$ และเท่ากัน จึงเป็นมุมละ $90^\circ$ ได้ $\overline{AD} \perp \overline{BC}$

สามขั้นแรกสลับกันได้ทุกแบบ เพราะ ด.ด.ด. ใช้ด้านสามคู่โดยไม่มีมุมคั่น

1. $A\hat{B}C = A\hat{B}D = 90^\circ$ เพราะเสาตั้งฉากกับพื้น
2. $AC = AD = 10$ เมตร เป็นด้านตรงข้ามมุมฉากของทั้งสองรูป
3. $AB = AB$ เป็นด้านร่วม และเป็นด้านประกอบมุมฉาก
4. จึงได้ $\triangle ABC \cong \triangle ABD$ (ฉ.ด.ด.) และ $BC = BD$
5. $BC = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{36} = 6$ เมตร
6. $CD = BC + BD = 6 + 6 = 12$ เมตร

ด้าน $AC$ กับ $DF$ สมนัยกันและอยู่ตรงข้ามมุม $B$ กับ $E$ ซึ่งมีขนาดเท่ากัน จึงใช้ ม.ม.ด. ได้

ถ้าจะตรวจผ่าน ม.ด.ม. ให้หามุม $C$ กับ $F$ ก่อน ได้เท่ากับ $180^\circ - 42^\circ - 73^\circ = 65^\circ$ แล้วใช้มุม $A$ ด้าน $AC$ มุม $C$ เทียบกับมุม $D$ ด้าน $DF$ มุม $F$