19.5 สมบัติของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ประตูเหล็กยืดหน้าร้านขายของทำจากเหล็กแบนหลายเส้น ยึดด้วยหมุดเป็นช่องรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ตอนดึงปิดหรือพับเก็บ ช่องเหล่านี้เปลี่ยนรูปไปเรื่อยๆ แต่ยังเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานอยู่เสมอ และเหล็กเส้นที่อยู่ตรงข้ามกันก็ยาวเท่ากันตลอด หน้านี้จะพิสูจน์สมบัติที่ทำให้ประตูแบบนี้ใช้งานได้

นิยามบอกแค่เรื่องขนาน ไม่ได้บอกเรื่องความยาวหรือมุมเลย ทุกสมบัติที่เหลือต้องพิสูจน์จากความขนาน ลองลากจุด $B$ และ $D$ ในรูปข้างล่าง จุด $C$ จะขยับตามให้ได้รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเสมอ สังเกตตัวเลขที่เท่ากันเป็นคู่

ด้านตรงข้ามและมุมตรงข้าม

กำหนดให้ $ABCD$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน คือ $\overline{AB} \parallel \overline{DC}$ และ $\overline{BC} \parallel \overline{AD}$

ต้องการพิสูจน์ว่า $AB = CD$ $BC = DA$ และ $A\hat{B}C = C\hat{D}A$

ด้านกับมุมที่ต้องการยังไม่อยู่ในรูปสามเหลี่ยม จึงลากเส้นทแยงมุม $\overline{AC}$ แบ่งรูปเป็น $\triangle ABC$ กับ $\triangle CDA$ เส้นทแยงมุมนี้เป็นเส้นตัดของเส้นขนานทั้งสองคู่ จึงเกิดมุมแย้งให้ใช้สองคู่

พิสูจน์

ดูการจับคู่ในบรรทัด (4) ให้ดี $A$ คู่กับ $C$ $B$ คู่กับ $D$ และ $C$ คู่กับ $A$ เพราะมุมที่ $A$ ใน (1) เท่ากับมุมที่ $C$ ถ้าเขียนเป็น $\triangle ABC \cong \triangle ADC$ จะอ่านบรรทัด (5) ผิดทันที

มุมตรงข้ามอีกคู่ $D\hat{A}B$ กับ $B\hat{C}D$ ได้จากการบวก (1) กับ (3) เพราะ $D\hat{A}B = D\hat{A}C + C\hat{A}B$ และ $B\hat{C}D = B\hat{C}A + A\hat{C}D$

นอกจากนี้ มุมที่อยู่ติดกันของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน เช่น $D\hat{A}B$ กับ $A\hat{B}C$ เป็นมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัด $AB$ ของเส้นขนาน $AD \parallel BC$ จึงรวมกันได้ $180^\circ$ ตามบทที่ 18

เส้นทแยงมุมแบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน

กำหนดให้ $ABCD$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน เส้นทแยงมุม $\overline{AC}$ กับ $\overline{BD}$ ตัดกันที่ $O$

ต้องการพิสูจน์ว่า $OA = OC$ และ $OB = OD$

$OA$ อยู่ใน $\triangle OAB$ และ $OC$ อยู่ใน $\triangle OCD$ ด้าน $AB$ กับ $CD$ ยาวเท่ากันจากทฤษฎีบทแรก ส่วนมุมที่ปลายทั้งสองของด้านนี้เป็นมุมแย้งของ $AB \parallel DC$

พิสูจน์

บรรทัด (2) ใช้ทฤษฎีบทที่เพิ่งพิสูจน์ ทฤษฎีบทหนึ่งต่อยอดจากอีกทฤษฎีบทได้แบบนี้ ไม่ต้องพิสูจน์ซ้ำ

บทกลับ ตรวจว่าเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

บทกลับของทฤษฎีบทในหน้านี้ก็จริง ใช้ตรวจว่ารูปสี่เหลี่ยมที่เห็นเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานหรือไม่ โดยไม่ต้องวัดว่าด้านขนานกันไหม

ประตูเหล็กยืดใช้บทกลับข้อแรก เหล็กแต่ละเส้นยาวคงที่ ด้านตรงข้ามของทุกช่องจึงยาวเท่ากันเสมอ ไม่ว่าจะดึงหรือพับ ทุกช่องจึงยังเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

สรุป

• รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมีด้านตรงข้ามยาวเท่ากัน มุมตรงข้ามเท่ากัน และมุมที่อยู่ติดกันรวมกันได้ $180^\circ$
• เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานแบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน
• ทุกข้อพิสูจน์ด้วยการลากเส้นทแยงมุม ใช้มุมแย้งของเส้นขนาน แล้วใช้ ม.ด.ม.
• บทกลับใช้ตรวจว่ารูปสี่เหลี่ยมเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ด้านคู่หนึ่งขนานกับด้านอีกคู่ยาวเท่ากันยังไม่พอ