40.2 การคูณเมทริกซ์

ร้านชานมจากหน้า 40.1 ขายชานมแก้วละ $35$ บาท ชาเขียวแก้วละ $40$ บาท โกโก้แก้วละ $30$ บาท สัปดาห์แรกสาขาหน้าโรงเรียนได้เงินเท่าไร คำตอบคือเอาจำนวนแก้วของแต่ละอย่างคูณราคาของอย่างนั้น แล้วบวกกันทั้งหมด

45(35) + 30(40) + 25(30) = 1575 + 1200 + 750 = 3525

ได้ $3525$ บาท

การคำนวณแบบ จำนวนชิ้นคูณราคาแล้วรวม นี้คือหัวใจของการคูณเมทริกซ์ทั้งหมด ไม่ใช่การคูณช่องต่อช่องแบบการบวก หน้านี้จะเปลี่ยนวิธีคิดนี้ให้เป็นสูตร แล้วดูว่าทำไมสลับลำดับการคูณแล้วผลเปลี่ยน

จากจำนวนชิ้นคูณราคาสู่แถวคูณคอลัมน์

ให้ยอดขายเป็นเมทริกซ์ $A$ ที่แต่ละแถวเป็นสาขา และให้ราคาเป็นเมทริกซ์คอลัมน์ $P$ ที่เรียงเครื่องดื่มลำดับเดียวกับคอลัมน์ของ $A$

A = \begin{bmatrix} 45 & 30 & 25 \\ 38 & 22 & 40 \end{bmatrix} \qquad P = \begin{bmatrix} 35 \\ 40 \\ 30 \end{bmatrix}

รายรับของสาขาหน้าโรงเรียนคือแถวแรกของ $A$ จับคู่กับคอลัมน์ $P$ ตัวต่อตัว คูณคู่แล้วรวม ได้ $3525$ รายรับของสาขาตลาดคือแถวที่สองทำแบบเดียวกัน $38(35) + 22(40) + 40(30) = 3410$ เขียนผลรวมเป็นเมทริกซ์คอลัมน์ได้ว่า

AP = \begin{bmatrix} 3525 \\ 3410 \end{bmatrix}

สังเกตเงื่อนไขที่ซ่อนอยู่ แถวของ $A$ มีสามตัว คอลัมน์ของ $P$ ก็ต้องมีสามตัว จึงจับคู่กันได้ครบ ถ้าราคามีแค่สองอย่าง ก็จะมีเครื่องดื่มหนึ่งอย่างที่ไม่มีราคาให้คูณ

นิยาม

ให้ $A$ มีมิติ $m \times n$ และ $B$ มีมิติ $n \times p$ ผลคูณ $AB$ คือเมทริกซ์มิติ $m \times p$ ที่สมาชิกแถว $i$ คอลัมน์ $j$ ได้จากแถวที่ $i$ ของ $A$ คูณกับคอลัมน์ที่ $j$ ของ $B$ ตัวต่อตัวแล้วบวกกัน

c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{in}b_{nj}

วิธีตรวจว่าคูณได้หรือไม่ ให้เขียนมิติเรียงกัน $(m \times n)(n \times p)$ ตัวเลขสองตัวด้านในต้องเท่ากัน แล้วผลคูณใช้ตัวเลขด้านนอก $m \times p$ เช่น $(2 \times 3)(3 \times 1)$ ด้านในเป็น $3$ กับ $3$ คูณได้ และได้ $2 \times 1$ ตรงกับ $AP$ ข้างบน

ตัวอย่าง 1

ให้ $C = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$ และ $v = \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \end{bmatrix}$ หา $Cv$

ตรวจมิติก่อน $(2 \times 2)(2 \times 1)$ ด้านในเท่ากันคือ $2$ จึงคูณได้ และผลมีมิติ $2 \times 1$
สมาชิกแถวแรกใช้แถวแรกของ $C$ คู่กับ $v$ ได้ $2(4) + 1(5) = 13$
สมาชิกแถวสองใช้แถวสองของ $C$ ได้ $0(4) + 3(5) = 15$
ดังนั้น $Cv = \begin{bmatrix} 13 \\ 15 \end{bmatrix}$

คูณเมทริกซ์ 2×3 กับ 3×2

ถ้าคอลัมน์ทางขวามีมากกว่าหนึ่งคอลัมน์ ก็ทำแบบเดิมซ้ำทีละคอลัมน์ ทุกคู่ของแถวกับคอลัมน์ให้สมาชิกหนึ่งตัว ผลคูณ $2 \times 3$ กับ $3 \times 2$ มี $2 \times 2 = 4$ ช่อง จึงต้องคำนวณสี่ครั้ง

ตัวอย่าง 2

ร้านชานมมีต้นทุนต่อแก้ว ชานม $15$ บาท ชาเขียว $18$ บาท โกโก้ $12$ บาท ให้ $Q = \begin{bmatrix} 35 & 15 \\ 40 & 18 \\ 30 & 12 \end{bmatrix}$ ซึ่งคอลัมน์แรกเป็นราคาขาย คอลัมน์สองเป็นต้นทุน หา $AQ$ แล้วหากำไรของแต่ละสาขา

มิติ $(2 \times 3)(3 \times 2)$ ด้านในเท่ากันคือ $3$ คูณได้ ผลมีมิติ $2 \times 2$ แถวยังเป็นสาขา คอลัมน์กลายเป็น รายรับ กับ ต้นทุน
คอลัมน์แรกของผลคูณคือรายรับที่หาไว้แล้ว $3525$ และ $3410$
ช่อง $(1, 2)$ ใช้แถวแรกของ $A$ กับคอลัมน์ต้นทุน $45(15) + 30(18) + 25(12) = 675 + 540 + 300 = 1515$ ช่อง $(2, 2)$ ได้ $38(15) + 22(18) + 40(12) = 570 + 396 + 480 = 1446$
ได้ $AQ = \begin{bmatrix} 3525 & 1515 \\ 3410 & 1446 \end{bmatrix}$ กำไรคือคอลัมน์แรกลบคอลัมน์สอง สาขาหน้าโรงเรียน $3525 - 1515 = 2010$ บาท สาขาตลาด $3410 - 1446 = 1964$ บาท

ตัวอย่างนี้บอกวิธีอ่านมิติของผลคูณด้วย มิติด้านในคือเครื่องดื่มสามอย่าง ซึ่งถูกรวมหายไประหว่างการคูณ เหลือมิติด้านนอกคือสาขากับชนิดของเงิน เวลาตั้งโจทย์เองจึงต้องให้สิ่งที่จะถูกรวมอยู่ตรงกลาง

ตัวอย่าง 3

ให้ $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 2 \end{bmatrix}$ และ $B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}$ หา $AB$ แล้วบอกมิติของ $BA$

$(2 \times 3)(3 \times 2)$ คูณได้ ผล $AB$ มีมิติ $2 \times 2$
แถวแรกของ $A$ คือ $1, 2, 0$ คู่กับคอลัมน์แรกของ $B$ คือ $2, 0, 1$ ได้ $2 + 0 + 0 = 2$ คู่กับคอลัมน์สอง $1, 3, -2$ ได้ $1 + 6 + 0 = 7$
แถวสองของ $A$ คือ $3, -1, 2$ คู่กับคอลัมน์แรกได้ $6 + 0 + 2 = 8$ คู่กับคอลัมน์สองได้ $3 - 3 - 4 = -4$ ระวังเครื่องหมาย $(-1)(3) = -3$ และ $2(-2) = -4$
$AB = \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ 8 & -4 \end{bmatrix}$ ส่วน $BA$ มีมิติ $(3 \times 2)(2 \times 3)$ ด้านในเท่ากันคือ $2$ คูณได้เหมือนกัน แต่ได้มิติ $3 \times 3$ คนละขนาดกับ $AB$ เลย

ลองคิดก่อน

$A$ มีมิติ $2 \times 3$ และ $B$ มีมิติ $2 \times 3$ เท่ากัน เพื่อนบอกว่าในเมื่อมิติเท่ากันบวกได้ ก็ต้องคูณ $AB$ ได้ด้วย ถูกไหม

ดูคำตอบ

ไม่ถูก $(2 \times 3)(2 \times 3)$ ด้านในเป็น $3$ กับ $2$ ไม่เท่ากัน แถวของ $A$ มีสามตัว แต่คอลัมน์ของ $B$ มีสองตัว จับคู่ไม่ครบ จึงคูณไม่ได้ เงื่อนไขของการบวกคือมิติเท่ากันทั้งหมด แต่เงื่อนไขของการคูณคือคอลัมน์ของตัวหน้าเท่ากับแถวของตัวหลัง เป็นคนละเงื่อนไขกัน ส่วนการคูณช่องต่อช่องที่เพื่อนอาจนึกถึงไม่ใช่การคูณเมทริกซ์

สลับลำดับแล้วผลเปลี่ยน

ตัวอย่าง 3 แสดงแล้วว่า $AB$ กับ $BA$ อาจมีมิติต่างกัน แต่แม้เมทริกซ์จัตุรัสขนาดเท่ากันซึ่งคูณได้ทั้งสองทิศ ผลก็มักไม่เท่ากัน เพราะ $AB$ ใช้แถวของ $A$ กับคอลัมน์ของ $B$ ส่วน $BA$ ใช้แถวของ $B$ กับคอลัมน์ของ $A$ เป็นการจับคู่คนละชุด

ตัวอย่าง 4

ให้ $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ และ $B = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$ เปรียบเทียบ $AB$ กับ $BA$

$AB$ แถวแรกของ $A$ คือ $1, 1$ คู่กับคอลัมน์ของ $B$ ได้ $2$ และ $3$ แถวสอง $0, 1$ ได้ $0$ และ $3$ จึงได้ $AB = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$
$BA$ แถวแรกของ $B$ คือ $2, 0$ คู่กับคอลัมน์ของ $A$ ได้ $2$ และ $2$ แถวสอง $0, 3$ ได้ $0$ และ $3$ จึงได้ $BA = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$
ช่อง $(1, 2)$ ต่างกัน $3 \ne 2$ จึงสรุปว่า $AB \ne BA$ ความหมายคือ $B$ คูณจากขวาจะคูณคอลัมน์ของ $A$ ด้วย $2$ และ $3$ ส่วน $B$ คูณจากซ้ายจะคูณแถวของ $A$ ด้วย $2$ และ $3$ ผลจึงไม่เหมือนกัน

ผลที่ตามมาคือเวลาจัดรูปนิพจน์เมทริกซ์ต้องรักษาลำดับทุกพจน์ เช่น $(A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2$ ซึ่งรวม $AB + BA$ เป็น $2AB$ ไม่ได้ ถ้า $AB \ne BA$ สมบัติที่ยังใช้ได้คือ

สมบัติ

เมื่อมิติเหมาะสมให้คูณได้

เปลี่ยนกลุ่ม $(AB)C = A(BC)$
แจกแจง $A(B + C) = AB + AC$ และ $(B + C)A = BA + CA$ ด้านที่คูณต้องอยู่ฝั่งเดิม
$k(AB) = (kA)B = A(kB)$ เมื่อ $k$ เป็นสเกลาร์
เมทริกซ์สลับเปลี่ยนของผลคูณ $(AB)^t = B^tA^t$

ข้อสุดท้ายดูได้จากมิติก่อน ถ้า $A$ เป็น $2 \times 3$ และ $B$ เป็น $3 \times 4$ แล้ว $AB$ เป็น $2 \times 4$ และ $(AB)^t$ เป็น $4 \times 2$ ส่วน $B^t$ เป็น $4 \times 3$ และ $A^t$ เป็น $3 \times 2$ เรียง $B^tA^t$ ได้ $(4 \times 3)(3 \times 2)$ คูณได้และได้ $4 \times 2$ พอดี ถ้าเรียง $A^tB^t$ จะได้ $(3 \times 2)(4 \times 3)$ ซึ่งคูณไม่ได้ด้วยซ้ำ ในทางความหมาย ช่อง $(i, j)$ ของ $(AB)^t$ คือช่อง $(j, i)$ ของ $AB$ ซึ่งเป็นแถว $j$ ของ $A$ คูณคอลัมน์ $i$ ของ $B$ และนั่นเท่ากับแถว $i$ ของ $B^t$ คูณคอลัมน์ $j$ ของ $A^t$

ตัวอย่าง 5

ให้ $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ และ $B = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ ตรวจว่า $(AB)^t = B^tA^t$ และ $(AB)^t \ne A^tB^t$

$AB = \begin{bmatrix} 1(3) + 2(1) & 1(0) + 2(2) \\ 0(3) + 1(1) & 0(0) + 1(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 4 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ จึงได้ $(AB)^t = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}$
$B^t = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$ และ $A^t = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ คูณ $B^tA^t = \begin{bmatrix} 3 + 2 & 0 + 1 \\ 0 + 4 & 0 + 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}$ ตรงกับข้อ 1
ลองเรียงผิด $A^tB^t = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 6 & 4 \end{bmatrix}$ ไม่เท่ากับ $(AB)^t$ ลำดับจึงสำคัญจริง

ลองคิดก่อน

เพื่อนจำสูตร $(AB)^t$ ว่าเป็น $A^tB^t$ เพราะ $(A + B)^t = A^t + B^t$ ก็กระจายเข้าไปตัวต่อตัวได้ ผิดตรงไหน

ดูคำตอบ

การบวกเมทริกซ์ทำช่องต่อช่อง การพลิกจึงกระจายเข้าไปได้ตรงๆ แต่การคูณจับแถวของตัวหน้ากับคอลัมน์ของตัวหลัง พอพลิกแล้วแถวกลายเป็นคอลัมน์ ตัวที่เคยให้แถวจึงต้องย้ายไปอยู่ข้างหลัง ได้ $(AB)^t = B^tA^t$ ตัวอย่าง 5 แสดงว่า $A^tB^t$ ให้ผลต่างออกไป และถ้ามิติไม่เป็นจัตุรัส $A^tB^t$ อาจคูณไม่ได้เลย

เมทริกซ์ที่คูณแล้วไม่เปลี่ยนอะไร

จำนวนจริงมี $1$ ที่คูณแล้วไม่เปลี่ยนค่า เมทริกซ์จัตุรัสก็มีตัวที่ทำหน้าที่เดียวกัน คือ $I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ หรือ $I_3$ ที่มีหนึ่งบนแนวทแยงหลักและศูนย์ที่อื่น ลองคูณ $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} I_2$ แถวแรกคู่กับคอลัมน์แรก $(1, 0)$ ได้ $a$ คู่กับคอลัมน์สอง $(0, 1)$ ได้ $b$ ผลจึงเป็นเมทริกซ์เดิม และคูณจากทางซ้ายก็ได้ผลเดิมเช่นกัน เมทริกซ์นี้เรียกว่าเมทริกซ์เอกลักษณ์ และจะเป็นตัวตั้งต้นของเมทริกซ์ผกผันในหน้า 40.4

ก่อนถึงตรงนั้น หน้าถัดไปจะหาจำนวนหนึ่งตัวจากเมทริกซ์จัตุรัส เรียกว่าดีเทอร์มิแนนต์ ซึ่งบอกได้ทันทีว่าเมทริกซ์นั้นย้อนกลับได้หรือไม่

สรุป

$AB$ หาได้เมื่อคอลัมน์ของ $A$ เท่ากับแถวของ $B$ มิติ $(m \times n)(n \times p)$ ให้ผล $m \times p$
สมาชิก $c_{ij}$ คือแถว $i$ ของ $A$ คูณคอลัมน์ $j$ ของ $B$ ตัวต่อตัวแล้วบวก เหมือนจำนวนชิ้นคูณราคาแล้วรวม
โดยทั่วไป $AB \ne BA$ จึงต้องรักษาลำดับทุกพจน์ และ $(A + B)^2 \ne A^2 + 2AB + B^2$
$(AB)^t = B^tA^t$ ลำดับกลับกัน ไม่ใช่ $A^tB^t$
$I$ มีหนึ่งบนแนวทแยงหลัก และ $AI = IA = A$