descartesclytie0x/descartes-math-platform
บทที่ 36 ความสัมพันธ์และฟังก์ชันตรงกับหนังสือ พื้นฐาน ม.5 บทที่ 2 และเพิ่มเติม ม.4 เล่ม 2 บทที่ 1เพิ่มเติม

36.3 ความสัมพันธ์ โดเมน และเรนจ์

ห้องเรียนหนึ่งมีนักเรียนสามคน ต้น ฝน และแก้ม โรงเรียนมีชมรมดนตรี ชมรมกีฬา และชมรมหุ่นยนต์ ต้นสมัครสองชมรมคือดนตรีกับหุ่นยนต์ ฝนสมัครกีฬา ส่วนแก้มยังไม่ได้สมัครเลย การจับคู่แบบนี้ไม่เป็นฟังก์ชัน เพราะต้นมีคู่สองชมรม แต่ก็ยังเป็นข้อมูลที่มีประโยชน์ เราบอกได้ว่าใครสมัครอะไร ใครยังไม่สมัคร และชมรมไหนมีคนสมัครบ้าง

หน้า 36.1 กับ 36.2 สนใจเฉพาะการจับคู่ที่เป็นฟังก์ชัน หน้านี้ถอยออกมามองภาพกว้างกว่า คือการจับคู่ทุกแบบ ซึ่งเรียกว่าความสัมพันธ์ แล้วใช้ภาษาเดียวกันนี้หาว่าฟังก์ชันรับข้อมูลเข้าอะไรได้บ้าง และให้ผลลัพธ์อะไรได้บ้าง

ผลคูณคาร์ทีเซียน

ก่อนจะบอกว่าคู่ไหนสัมพันธ์กัน ต้องรู้ก่อนว่าคู่ที่เป็นไปได้ทั้งหมดมีอะไรบ้าง ในตัวอย่างชมรม นักเรียนสามคนกับชมรมสามชมรมจับคู่ได้ 3×3=93 \times 3 = 9 แบบ คู่ที่เกิดจริงมีแค่สามคู่ในเก้าแบบนั้น

นิยาม

ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต AA และ BB เขียนว่า A×BA \times B คือเซตของคู่อันดับ (a,b)(a, b) ทั้งหมด เมื่อ a∈Aa \in A และ b∈Bb \in B

ความสัมพันธ์จาก AA ไป BB คือสับเซตของ A×BA \times B

ทำไมนิยามความสัมพันธ์ว่าเป็นแค่สับเซต เพราะไม่ว่ากฎการจับคู่จะเขียนด้วยคำพูด ตาราง หรือสูตร สุดท้ายมันก็แค่เลือกว่าคู่ไหนในบรรดาคู่ทั้งหมดที่ถือว่าสัมพันธ์กัน การนิยามด้วยเซตทำให้ใช้เครื่องมือเรื่องเซตจากบทที่ 32 ได้ทันที

ในคู่อันดับ ลำดับสำคัญ (1,3)(1, 3) ไม่เท่ากับ (3,1)(3, 1) เว้นแต่สองตัวเท่ากัน คู่อันดับจึงต่างจากเซต {1,3}\{1, 3\} ที่สลับที่ได้

ตัวอย่าง 1

ให้ A={1,2}A = \{1, 2\} และ B={3,4,5}B = \{3, 4, 5\} หา A×BA \times B และบอกว่าเท่ากับ B×AB \times A หรือไม่

  1. จับสมาชิกของ AA ทีละตัวไปคู่กับสมาชิกของ BB ทุกตัว ทำแบบนี้จะไม่ตกหล่น เริ่มจาก 11 ได้ (1,3),(1,4),(1,5)(1,3),(1,4),(1,5) แล้ว 22 ได้ (2,3),(2,4),(2,5)(2,3),(2,4),(2,5)
  2. A×BA \times B จึงมี 66 คู่ ซึ่งเท่ากับ 2×32 \times 3 โดยทั่วไป n(A×B)=n(A)⋅n(B)n(A \times B) = n(A) \cdot n(B) เพราะตัวหน้าเลือกได้ n(A)n(A) แบบ แต่ละแบบเลือกตัวหลังได้ n(B)n(B) แบบ
  3. B×AB \times A ใช้สมาชิกของ BB เป็นตัวหน้า เช่น (3,1)(3, 1) ซึ่งไม่อยู่ใน A×BA \times B สองเซตนี้มีจำนวนสมาชิกเท่ากันแต่ไม่เท่ากัน

โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์

นิยาม

โดเมนของความสัมพันธ์ rr คือเซตของสมาชิกตัวหน้าที่ปรากฏจริงในคู่อันดับของ rr เรนจ์คือเซตของสมาชิกตัวหลังที่ปรากฏจริง

คำว่าปรากฏจริงสำคัญมาก ในตัวอย่างชมรม แก้มอยู่ในเซตนักเรียน แต่ไม่มีคู่ จึงไม่อยู่ในโดเมน เรนจ์ก็เช่นกัน อาจเล็กกว่าเซตปลายทาง BB เพราะสมาชิกบางตัวของ BB อาจไม่มีใครจับคู่ด้วย

ตัวอย่าง 2

ให้ A={1,2,3}A = \{1, 2, 3\} และ B={2,4,6,8}B = \{2, 4, 6, 8\} และ r={(x,y)∈A×B∣y=2x}r = \{(x, y) \in A \times B \mid y = 2x\} หาโดเมนและเรนจ์ของ rr

  1. สัญลักษณ์นี้อ่านว่า เซตของคู่ (x,y)(x, y) ใน A×BA \times B ที่ทำให้ y=2xy = 2x จริง จึงไล่ xx ทีละตัวใน AA แล้วดูว่า 2x2x อยู่ใน BB หรือไม่
  2. x=1x = 1 ได้ y=2y = 2 อยู่ใน BB ส่วน x=2x = 2 ได้ 44 และ x=3x = 3 ได้ 66 ก็อยู่ใน BB ทั้งคู่ จึงได้ r={(1,2),(2,4),(3,6)}r = \{(1,2),(2,4),(3,6)\}
  3. ตัวหน้าที่ปรากฏคือ 1,2,31, 2, 3 โดเมนจึงเป็น {1,2,3}\{1, 2, 3\} ตัวหลังที่ปรากฏคือ 2,4,62, 4, 6 เรนจ์จึงเป็น {2,4,6}\{2, 4, 6\}
  4. 88 อยู่ใน BB แต่ไม่อยู่ในเรนจ์ เพราะต้องใช้ x=4x = 4 ซึ่งไม่อยู่ใน AA ตรงกับรูปข้างล่างที่จุดในแถว 88 ไม่มีจุดใดถูกเลือก
1246823AB
จุดทั้ง 1212 จุดคือ A×BA \times B จุดสีเข้มสามจุดคือ rr ซึ่งเป็นสับเซตของ A×BA \times B

ลองคิดก่อน

ความสัมพันธ์ทุกตัวเป็นฟังก์ชันหรือไม่ แล้วฟังก์ชันทุกตัวเป็นความสัมพันธ์หรือไม่

ดูคำตอบ

ความสัมพันธ์ไม่จำเป็นต้องเป็นฟังก์ชัน ตัวอย่างชมรมคือหลักฐาน เพราะต้นมีคู่สองตัว แต่ฟังก์ชันทุกตัวเป็นความสัมพันธ์ เพราะฟังก์ชันก็คือเซตของคู่อันดับ เพียงแต่มีเงื่อนไขเพิ่มว่าตัวหน้าห้ามซ้ำกันโดยที่ตัวหลังต่างกัน ฟังก์ชันจึงเป็นความสัมพันธ์ชนิดพิเศษ

โดเมนของสูตร

เมื่อฟังก์ชันให้มาเป็นสูตรโดยไม่บอกโดเมน ตกลงกันว่าโดเมนคือจำนวนจริงทุกตัวที่แทนลงในสูตรแล้วได้ผลเป็นจำนวนจริง ในระดับนี้มีสองเรื่องที่ทำให้สูตรใช้ไม่ได้

  • ตัวส่วนห้ามเป็นศูนย์ เพราะการหารด้วยศูนย์ไม่มีความหมาย
  • ข้างในรากที่สองต้องไม่ติดลบ เพราะไม่มีจำนวนจริงใดยกกำลังสองแล้วติดลบ ตามที่เรียนในบทที่ 34

ถ้าสูตรมีทั้งสองเรื่อง ข้อมูลเข้าต้องผ่านทุกเงื่อนไขพร้อมกัน จึงใช้ส่วนร่วม ไม่ใช่ยูเนียน

ตัวอย่าง 3

หาโดเมนของ f(x)=x−1x−3f(x) = \dfrac{\sqrt{x - 1}}{x - 3}

  1. ดูรากก่อน ข้างในรากคือ x−1x - 1 ต้องไม่ติดลบ จึงได้ x−1≥0x - 1 \ge 0 หรือ x≥1x \ge 1
  2. ดูตัวส่วน x−3x - 3 ห้ามเป็นศูนย์ จึงได้ x≠3x \ne 3
  3. ต้องจริงทั้งสองข้อ จึงเอาช่วง [1,∞)[1, \infty) แล้วเจาะ 33 ออก ได้โดเมน [1,3)∪(3,∞)[1, 3) \cup (3, \infty)
  4. ตรวจด้วยตัวเลข x=2x = 2 ได้ 1/(−1)=−1\sqrt{1} / (-1) = -1 คำนวณได้ ส่วน x=0x = 0 ได้ −1\sqrt{-1} ไม่เป็นจำนวนจริง และ x=3x = 3 ได้ตัวส่วนศูนย์ ตรงกับคำตอบ
0123456
โดเมนของตัวอย่าง 3 จุดทึบที่ 11 เพราะ 0=0\sqrt{0} = 0 ใช้ได้ จุดโปร่งที่ 33 เพราะตัวส่วนเป็นศูนย์

ลองคิดก่อน

เพื่อนตอบโดเมนของตัวอย่าง 3 ว่า x≥1x \ge 1 หรือ x≠3x \ne 3 ซึ่งเขียนเป็นเซตได้ R\mathbb R ทั้งหมด ผิดตรงไหน

ดูคำตอบ

เพื่อนใช้ยูเนียน แปลว่าผ่านเงื่อนไขเดียวก็พอ ลองแทน x=−5x = -5 ซึ่งผ่านเงื่อนไข x≠3x \ne 3 จะได้ −6\sqrt{-6} ไม่เป็นจำนวนจริง สูตรต้องคำนวณได้ทุกส่วนพร้อมกัน จึงต้องใช้ คำว่า และ หรือส่วนร่วม

ตัวอย่าง 4

หาโดเมนของ g(x)=5x2−9g(x) = \dfrac{5}{x^2 - 9}

  1. ไม่มีราก มีแต่ตัวส่วน จึงหาค่าที่ทำให้ตัวส่วนเป็นศูนย์แล้วตัดออก
  2. แก้ x2−9=0x^2 - 9 = 0 แยกตัวประกอบตามบทที่ 20 ได้ (x−3)(x+3)=0(x - 3)(x + 3) = 0 จึงได้ x=3x = 3 หรือ x=−3x = -3
  3. โดเมนคือ R−{−3,3}\mathbb R - \{-3, 3\} ที่พลาดบ่อยคือตัดแค่ 33 เพราะลืมว่ายกกำลังสองแล้วได้ 99 มีทั้งบวกและลบ

หาเรนจ์

หาโดเมนคือถามว่า ใส่อะไรได้บ้าง หาเรนจ์คือถามว่า ได้อะไรออกมาได้บ้าง คำถามหลังยากกว่า เพราะการแทนค่าไม่กี่ตัวลงในตารางไม่พอสำหรับโดเมนที่มีสมาชิกไม่จำกัด ต้องให้เหตุผลสองด้าน

  1. จำกัด แสดงว่าผลลัพธ์ทำค่าบางค่าไม่ได้ เช่น กำลังสองของจำนวนจริงไม่ติดลบ
  2. เกิดได้จริง แสดงว่าค่าที่เหลือทุกค่ามีข้อมูลเข้าในโดเมนที่ให้ค่านั้น วิธีที่ใช้บ่อยคือตั้ง y=f(x)y = f(x) แล้วแก้หา xx

ลองคิดก่อน

ถ้า f(x)=x2+2f(x) = x^2 + 2 บน R\mathbb R เรนจ์เป็น R\mathbb R หรือไม่

ดูคำตอบ

ไม่ใช่ เพราะ x2≥0x^2 \ge 0 จึงได้ f(x)≥2f(x) \ge 2 นี่คือด้านจำกัด ส่วนด้านเกิดได้จริง ถ้า y≥2y \ge 2 เลือก x=y−2x = \sqrt{y - 2} จะได้ f(x)=yf(x) = y พอดี เรนจ์จึงเป็น [2,∞)[2, \infty)

ตัวอย่าง 5

หาเรนจ์ของ f(x)=x2−4x+5f(x) = x^2 - 4x + 5 บน R\mathbb R

  1. รูปนี้มองไม่ออกว่าค่าต่ำสุดเท่าไร จึงทำกำลังสองสมบูรณ์แบบบทที่ 25 ครึ่งหนึ่งของ −4-4 คือ −2-2 ได้ f(x)=(x−2)2−4+5=(x−2)2+1f(x) = (x - 2)^2 - 4 + 5 = (x - 2)^2 + 1
  2. ด้านจำกัด (x−2)2≥0(x - 2)^2 \ge 0 เสมอ จึงได้ f(x)≥1f(x) \ge 1 ค่าน้อยกว่า 11 เกิดไม่ได้
  3. ด้านเกิดได้จริง ถ้า y≥1y \ge 1 แก้ (x−2)2+1=y(x - 2)^2 + 1 = y ได้ x=2+y−1x = 2 + \sqrt{y - 1} ซึ่งเป็นจำนวนจริงเพราะ y−1≥0y - 1 \ge 0
  4. เรนจ์จึงเป็น [1,∞)[1, \infty) ตรงกับกราฟพาราโบลาเปิดขึ้นที่มีจุดยอด (2,1)(2, 1)

ตัวอย่าง 6

หาเรนจ์ของ f(x)=1x−2f(x) = \dfrac{1}{x - 2} บนโดเมน R−{2}\mathbb R - \{2\}

  1. ด้านจำกัด เศษส่วนจะเป็นศูนย์ได้ก็ต่อเมื่อตัวเศษเป็นศูนย์ แต่ตัวเศษคือ 11 ค่าฟังก์ชันจึงเป็นศูนย์ไม่ได้
  2. ด้านเกิดได้จริง ถ้า y≠0y \ne 0 แก้ y=1x−2y = \dfrac{1}{x - 2} คูณไขว้ได้ x−2=1yx - 2 = \dfrac{1}{y} จึงได้ x=2+1yx = 2 + \dfrac{1}{y}
  3. ต้องตรวจว่า xx ที่ได้อยู่ในโดเมน x=2+1yx = 2 + \tfrac{1}{y} ไม่มีทางเท่ากับ 22 เพราะ 1y≠0\tfrac{1}{y} \ne 0 จึงใช้ได้
  4. ทุก y≠0y \ne 0 จึงเกิดได้จริง เรนจ์คือ R−{0}\mathbb R - \{0\}

การแสดงเพียงว่า y≠0y \ne 0 ยังไม่พอ เพราะนั่นแค่จำกัดเรนจ์ ต้องยืนยันด้วยว่าทุกค่าที่เหลือเกิดขึ้นจริง ข้อมูลเข้า x=2+1yx = 2 + \tfrac{1}{y} ที่ได้จากการย้อนสมการคือหลักฐานนั้น วิธีย้อนสมการแบบนี้จะเป็นเครื่องมือหลักของการหาฟังก์ชันผกผันในหน้า 36.5 ส่วนหน้าถัดไปจะนำฟังก์ชันมาบวก ลบ คูณ หาร และต่อกัน ซึ่งต้องใช้เรื่องโดเมนที่เรียนในหน้านี้ทุกขั้น

สรุป

  • A×BA \times B คือคู่อันดับที่เป็นไปได้ทั้งหมด มี n(A)⋅n(B)n(A) \cdot n(B) คู่ และความสัมพันธ์คือสับเซตของมัน
  • โดเมนกับเรนจ์มาจากคู่ที่ปรากฏจริง เรนจ์อาจเล็กกว่าเซตปลายทาง
  • โดเมนของสูตร ตัดค่าที่ทำให้ตัวส่วนเป็นศูนย์ และค่าที่ทำให้ข้างในรากติดลบ หลายเงื่อนไขใช้ส่วนร่วม
  • หาเรนจ์ต้องแสดงทั้งด้านจำกัดและด้านเกิดได้จริง