40.1 เมทริกซ์ การบวก และเมทริกซ์สลับเปลี่ยน

ร้านชานมแห่งหนึ่งมีสองสาขา สาขาหน้าโรงเรียนกับสาขาตลาด ขายเครื่องดื่มสามอย่าง คือ ชานม ชาเขียว และโกโก้ เจ้าของจดยอดขายสัปดาห์แรกเป็นตาราง

สาขา	ชานม	ชาเขียว	โกโก้
หน้าโรงเรียน	45	30	25
ตลาด	38	22	40

ถ้าสัปดาห์ที่สองจดแบบเดียวกันอีกตาราง แล้วอยากรู้ยอดรวมสองสัปดาห์ เราจะบวกช่องที่อยู่ตำแหน่งเดียวกันโดยไม่ต้องคิดเลย เพราะตำแหน่งบอกความหมายอยู่แล้ว แถวแรกคือสาขาหน้าโรงเรียน คอลัมน์ที่สามคือโกโก้ เมทริกซ์คือการตัดหัวตารางออกแล้วเก็บแค่ตัวเลขไว้ในตำแหน่งเดิม หน้านี้จะดูว่าอ่านตำแหน่งอย่างไร บวกและคูณด้วยจำนวนอย่างไร และพลิกตารางให้แถวกลายเป็นคอลัมน์อย่างไร

ตารางตัวเลขที่เรียกว่าเมทริกซ์

ตารางยอดขายข้างบนเขียนเป็นเมทริกซ์ได้ว่า

A = \begin{bmatrix} 45 & 30 & 25 \\ 38 & 22 & 40 \end{bmatrix}

นิยาม

เมทริกซ์ คือกลุ่มของจำนวนที่เรียงเป็นแถวและคอลัมน์ อยู่ในวงเล็บ เมทริกซ์ที่มี $m$ แถวและ $n$ คอลัมน์ เรียกว่ามีมิติ $m \times n$ สมาชิกที่อยู่แถวที่ $i$ คอลัมน์ที่ $j$ เขียนแทนด้วย $a_{ij}$ และเขียนเมทริกซ์ทั้งตัวสั้นๆ ว่า $A = [a_{ij}]_{m \times n}$

แถวคือแนวนอน คอลัมน์คือแนวตั้ง ทั้งมิติและตัวห้อยอ่านแถวก่อนคอลัมน์เสมอ $A$ ข้างบนจึงมีมิติ $2 \times 3$ ไม่ใช่ $3 \times 2$ และ $a_{12}$ คือแถวที่หนึ่งคอลัมน์ที่สอง ไม่ใช่แถวที่สองคอลัมน์ที่หนึ่ง ถ้าจำสลับเมื่อไร ความหมายของข้อมูลจะสลับตามไปด้วย

เมทริกซ์ที่จำนวนแถวเท่ากับจำนวนคอลัมน์ เรียกว่าเมทริกซ์จัตุรัส เช่นมิติ $2 \times 2$ หรือ $3 \times 3$ เมทริกซ์ที่สมาชิกทุกตัวเป็นศูนย์เรียกว่าเมทริกซ์ศูนย์ เขียนแทนด้วย $0$ เมทริกซ์ที่มีแถวเดียวเรียกว่าเมทริกซ์แถว และที่มีคอลัมน์เดียวเรียกว่าเมทริกซ์คอลัมน์

ตัวอย่าง 1

จากเมทริกซ์ยอดขาย $A$ ข้างบน หา $a_{12}$ $a_{21}$ และ $a_{23}$ แล้วบอกว่าแต่ละตัวหมายถึงอะไร

$a_{12}$ ตัวห้อยแรกคือแถว ดูแถวที่หนึ่ง ตัวห้อยหลังคือคอลัมน์ ดูคอลัมน์ที่สอง ได้ $a_{12} = 30$ คือชาเขียวที่สาขาหน้าโรงเรียนขายได้
$a_{21}$ ดูแถวที่สองคอลัมน์ที่หนึ่ง ได้ $a_{21} = 38$ คือชานมที่สาขาตลาดขายได้ สังเกตว่า $a_{12}$ กับ $a_{21}$ เป็นคนละตัวกัน
$a_{23}$ ดูแถวที่สองคอลัมน์ที่สาม ได้ $a_{23} = 40$ คือโกโก้ที่สาขาตลาดขายได้
ไม่มี $a_{31}$ เพราะ $A$ มีแค่สองแถว การถามหาสมาชิกต้องอยู่ในมิติของเมทริกซ์เสมอ

โจทย์บางข้อไม่ได้ให้ตัวเลขมาตรงๆ แต่ให้กฎสร้างสมาชิก เช่น $a_{ij} = 2i - j$ ก็ต้องแทน $i$ และ $j$ ทีละช่อง ตัวอย่าง ถ้า $A = [a_{ij}]_{2 \times 3}$ แถวแรกได้ $a_{11} = 1$ $a_{12} = 0$ $a_{13} = -1$ แถวที่สองได้ $a_{21} = 3$ $a_{22} = 2$ $a_{23} = 1$

เมทริกซ์ที่เท่ากัน

เมทริกซ์สองตัวเท่ากันเมื่อมีมิติเท่ากัน และสมาชิกที่อยู่ตำแหน่งเดียวกันเท่ากันทุกตำแหน่ง เงื่อนไขนี้ทำให้สมการเมทริกซ์หนึ่งสมการแตกออกเป็นสมการของจำนวนได้หลายสมการ เมทริกซ์ $2 \times 2$ ที่เท่ากันให้สมการสี่สมการ

ตัวอย่าง 2

หา $x$ และ $y$ ที่ทำให้ $\begin{bmatrix} x + y & 3 \\ 1 & x - y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$

มิติเท่ากันคือ $2 \times 2$ จึงเทียบได้ทีละตำแหน่ง ตำแหน่ง $(1, 2)$ และ $(2, 1)$ เป็น $3 = 3$ กับ $1 = 1$ ซึ่งจริงอยู่แล้ว
ตำแหน่ง $(1, 1)$ ให้ $x + y = 7$ และตำแหน่ง $(2, 2)$ ให้ $x - y = 1$
บวกสองสมการได้ $2x = 8$ จึงได้ $x = 4$ แทนกลับได้ $y = 3$
ตรวจ $x + y = 7$ และ $x - y = 1$ ถูกทั้งสองตำแหน่ง

บวก ลบ และคูณด้วยสเกลาร์

กลับไปที่ร้านชานม สัปดาห์ที่สองมียอดขาย $B = \begin{bmatrix} 50 & 28 & 30 \\ 42 & 25 & 35 \end{bmatrix}$ เรียงแถวและคอลัมน์ความหมายเดียวกับ $A$ ยอดรวมสองสัปดาห์จึงได้จากการบวกตำแหน่งตรงกัน ส่วน $B - A$ บอกว่าสัปดาห์ที่สองขายได้มากกว่าหรือน้อยกว่าเดิมเท่าไร

นิยาม

ถ้า $A = [a_{ij}]$ และ $B = [b_{ij}]$ มีมิติ $m \times n$ เท่ากัน $A + B = [a_{ij} + b_{ij}]$ และ $A - B = [a_{ij} - b_{ij}]$ ส่วน $kA = [k a_{ij}]$ เมื่อ $k$ เป็นจำนวนจริง เรียกว่าการคูณด้วยสเกลาร์

การบวกต้องการมิติเท่ากันเพราะต้องมีช่องคู่กันทุกช่อง ถ้า $A$ มี $6$ ช่องแต่อีกตัวมี $4$ ช่อง จะมีช่องที่ไม่มีคู่บวก ส่วนการคูณสเกลาร์ไม่มีเงื่อนไขเรื่องมิติ เพราะคูณทุกช่องด้วยจำนวนเดียวกัน เหมือนร้านตั้งเป้าว่าสัปดาห์หน้าจะขายให้ได้สองเท่าของทุกช่อง

ตัวอย่าง 3

หายอดขายรวมสองสัปดาห์ $A + B$ และการเปลี่ยนแปลง $B - A$ ของร้านชานม แล้วอ่านความหมายของ $b_{23} - a_{23}$

มิติเท่ากันคือ $2 \times 3$ จึงบวกได้ บวกทีละตำแหน่ง $A + B = \begin{bmatrix} 95 & 58 & 55 \\ 80 & 47 & 75 \end{bmatrix}$ เช่นช่องแรก $45 + 50 = 95$
ลบทีละตำแหน่ง ตัวหลังลบตัวหน้า $B - A = \begin{bmatrix} 5 & -2 & 5 \\ 4 & 3 & -5 \end{bmatrix}$
ช่อง $(2, 3)$ ของ $B - A$ คือ $35 - 40 = -5$ แปลว่าโกโก้ที่สาขาตลาดขายได้น้อยลง $5$ แก้ว ค่าติดลบในเมทริกซ์ผลต่างจึงมีความหมาย ไม่ใช่ความผิดพลาด

การบวกเมทริกซ์สืบสมบัติจากการบวกจำนวนจริงทุกช่อง จึงได้สมบัติที่คุ้นเคย เมื่อทุกตัวมีมิติเดียวกัน

สมบัติ

สลับที่ $A + B = B + A$ และเปลี่ยนกลุ่ม $(A + B) + C = A + (B + C)$
เมทริกซ์ศูนย์เป็นเอกลักษณ์การบวก $A + 0 = A$ และ $A + (-A) = 0$ เมื่อ $-A = (-1)A$
$k(A + B) = kA + kB$ และ $(k + l)A = kA + lA$ และ $k(lA) = (kl)A$

สมบัติเหล่านี้ทำให้แก้สมการเมทริกซ์ที่มีแต่การบวกและการคูณสเกลาร์ได้เหมือนสมการเชิงเส้นธรรมดา คือย้ายข้างแล้วหารด้วยจำนวน

ตัวอย่าง 4

ให้ $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ และ $B = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$ หา $A + B$ และ $2A$ แล้วหาเมทริกซ์ $X$ ที่ทำให้ $2X + A = B$

บวกตำแหน่งตรงกัน ได้ $A + B = \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}$
คูณทุกสมาชิกด้วยสอง ได้ $2A = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 6 & 8 \end{bmatrix}$
สมการ $2X + A = B$ บวก $-A$ ทั้งสองข้างได้ $2X = B - A = \begin{bmatrix} -1 & 4 \\ -3 & -2 \end{bmatrix}$ ทำได้เพราะ $A + (-A) = 0$
คูณทั้งสองข้างด้วย $\tfrac{1}{2}$ ได้ $X = \begin{bmatrix} -\tfrac{1}{2} & 2 \\ -\tfrac{3}{2} & -1 \end{bmatrix}$ ตรวจโดยแทนกลับ $2X + A$ ได้ $B$ จริง

ลองคิดก่อน

เพื่อนบวก $\begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix}$ กับ $\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$ ได้ $\begin{bmatrix} 4 & 6 \end{bmatrix}$ โดยจับตัวแรกคู่ตัวแรก ตัวที่สองคู่ตัวที่สอง ถูกไหม

ดูคำตอบ

ไม่ถูก ตัวแรกมีมิติ $1 \times 2$ ตัวหลังมีมิติ $2 \times 1$ มิติไม่เท่ากันจึงบวกกันไม่ได้ แม้จำนวนสมาชิกจะเท่ากันคือสองตัว ตำแหน่งของมันก็ไม่ตรงกัน ตัวเลข $4$ อยู่แถวที่สองของเมทริกซ์หลัง ไม่มีช่องแถวที่สองในเมทริกซ์แรกให้จับคู่ การบวกเมทริกซ์ดูที่ตำแหน่ง ไม่ได้ดูว่ามีกี่ตัว

เมทริกซ์สลับเปลี่ยน

ถ้าเจ้าของร้านอยากดูตารางแบบให้แต่ละแถวเป็นเครื่องดื่ม และแต่ละคอลัมน์เป็นสาขา ก็แค่พลิกตาราง แถวแรกเดิมกลายเป็นคอลัมน์แรก แถวที่สองเดิมกลายเป็นคอลัมน์ที่สอง ตารางที่พลิกแล้วมีข้อมูลครบเหมือนเดิม แค่วางคนละแนว

นิยาม

เมทริกซ์สลับเปลี่ยนของ $A = [a_{ij}]_{m \times n}$ เขียนแทนด้วย $A^t$ คือเมทริกซ์มิติ $n \times m$ ที่สมาชิกแถวที่ $i$ คอลัมน์ที่ $j$ เท่ากับ $a_{ji}$ พูดง่ายๆ ว่าเปลี่ยนแถวของ $A$ ให้เป็นคอลัมน์ตามลำดับ

สมาชิกบนแนวทแยงหลัก คือ $a_{11}$ $a_{22}$ $a_{33}$ ไม่ย้ายที่ เพราะตัวห้อยทั้งสองเท่ากัน ส่วนสมาชิกตัวอื่นสลับฝั่งข้ามแนวทแยงหลัก เหมือนสะท้อนตารางข้ามเส้นทแยงนั้น บางเล่มเขียน $A^T$ แทน $A^t$ ความหมายเหมือนกัน

ตัวอย่าง 5

หา $A^t$ ของเมทริกซ์ยอดขาย $A = \begin{bmatrix} 45 & 30 & 25 \\ 38 & 22 & 40 \end{bmatrix}$ และบอกว่าสมาชิกแถวที่สามคอลัมน์ที่สองของ $A^t$ หมายถึงอะไร

$A$ มีมิติ $2 \times 3$ ดังนั้น $A^t$ มีมิติ $3 \times 2$
แถวที่หนึ่งของ $A$ คือ $45, 30, 25$ วางลงเป็นคอลัมน์ที่หนึ่ง แถวที่สองคือ $38, 22, 40$ วางเป็นคอลัมน์ที่สอง ได้ $A^t = \begin{bmatrix} 45 & 38 \\ 30 & 22 \\ 25 & 40 \end{bmatrix}$
สมาชิกแถวที่สามคอลัมน์ที่สองของ $A^t$ เท่ากับ $a_{23} = 40$ คือโกโก้ของสาขาตลาด ตอนนี้แต่ละแถวเป็นเครื่องดื่ม แต่ละคอลัมน์เป็นสาขา ข้อมูลเหมือนเดิมทุกตัว

สมบัติของเมทริกซ์สลับเปลี่ยนที่ใช้บ่อยมีสามข้อ พลิกสองครั้งได้ของเดิม $(A^t)^t = A$ พลิกผลบวกได้ผลบวกของที่พลิกแล้ว $(A + B)^t = A^t + B^t$ และ $(kA)^t = kA^t$ ทั้งสามข้อเห็นได้จากการที่การพลิกแค่ย้ายตำแหน่ง ไม่ได้เปลี่ยนค่าของสมาชิก ส่วนการพลิกผลคูณจะดูในหน้า 40.2 ซึ่งลำดับจะกลับกัน

เมทริกซ์จัตุรัสที่พลิกแล้วได้ตัวเดิม คือ $A^t = A$ เรียกว่าเมทริกซ์สมมาตร สมาชิกที่อยู่คู่กันข้ามแนวทแยงหลักต้องเท่ากัน คือ $a_{ij} = a_{ji}$ ทุกคู่ ตารางระยะทางระหว่างจังหวัดเป็นตัวอย่างที่เจอจริง เพราะระยะจากสงขลาไปตรังเท่ากับระยะจากตรังไปสงขลา

ตัวอย่าง 6

หา $x$ ที่ทำให้ $S = \begin{bmatrix} 1 & x + 2 \\ 2x - 1 & 3 \end{bmatrix}$ เป็นเมทริกซ์สมมาตร

$S^t = \begin{bmatrix} 1 & 2x - 1 \\ x + 2 & 3 \end{bmatrix}$ สมาชิกบนแนวทแยงหลักไม่ย้าย ส่วนสองตัวนอกแนวทแยงสลับกัน
ต้องการ $S^t = S$ แนวทแยงหลักเท่ากันอยู่แล้ว เหลือเงื่อนไข $x + 2 = 2x - 1$
ได้ $x = 3$ ตรวจ $S = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}$ สมาชิกนอกแนวทแยงเท่ากันทั้งคู่ จึงสมมาตรจริง

ลองคิดก่อน

$A$ มีมิติ $2 \times 3$ เพื่อนบอกว่า $A + A^t$ หาค่าได้ เพราะทั้งสองตัวสร้างจากตัวเลขชุดเดียวกัน ถูกไหม

ดูคำตอบ

ไม่ถูก $A^t$ มีมิติ $3 \times 2$ ไม่เท่ากับ $2 \times 3$ จึงบวกกับ $A$ ไม่ได้ การพลิกเปลี่ยนมิติด้วย $A + A^t$ หาค่าได้ก็ต่อเมื่อ $A$ เป็นเมทริกซ์จัตุรัส และผลที่ได้เป็นเมทริกซ์สมมาตรเสมอ เพราะ $(A + A^t)^t = A^t + A$

การบวกยังเป็นแค่การรวมตัวเลขช่องต่อช่อง แต่ถ้าเจ้าของร้านอยากรู้รายรับของแต่ละสาขา ต้องเอาจำนวนแก้วคูณราคาแล้วรวมทั้งแถว การคูณแบบนั้นคือการคูณเมทริกซ์ ซึ่งเป็นเรื่องของหน้าถัดไป

สรุป

เมทริกซ์มิติ $m \times n$ มี $m$ แถว $n$ คอลัมน์ สมาชิก $a_{ij}$ อยู่แถว $i$ คอลัมน์ $j$ อ่านแถวก่อนเสมอ
เมทริกซ์เท่ากันเมื่อมิติเท่ากันและสมาชิกตำแหน่งเดียวกันเท่ากันทุกตำแหน่ง
บวกและลบได้เมื่อมิติเท่ากัน ทำทีละตำแหน่ง ส่วน $kA$ คูณทุกสมาชิกด้วย $k$
$A^t$ เปลี่ยนแถวเป็นคอลัมน์ มิติกลายเป็น $n \times m$ และ $(A^t)^t = A$ $(A + B)^t = A^t + B^t$
เมทริกซ์สมมาตรคือเมทริกซ์จัตุรัสที่ $A^t = A$