2.4 สร้างเส้นตั้งฉากและเส้นขนาน

บ้านของมิ้นท์อยู่ที่จุด $P$ ห่างจากถนนตรงเส้นหนึ่ง มิ้นท์อยากเดินตัดสนามหญ้าไปถึงถนนให้ระยะสั้นที่สุด ควรเดินไปทางไหน คำตอบคือเดินในแนวที่ตั้งฉากกับถนน หน้านี้จะสร้างแนวนั้นด้วยวงเวียน แล้วใช้มันสร้างมุมฉาก มุม $45^\circ$ และเส้นขนาน

นิยาม

เส้นตรงสองเส้นที่ตัดกันเป็นมุมฉาก คือมุม $90^\circ$ เรียกว่าตั้งฉากกัน ถ้า $\overleftrightarrow{PQ}$ ตั้งฉากกับเส้นตรง $\ell$ เขียนว่า $\overleftrightarrow{PQ} \perp \ell$ ในรูปนิยมใส่เครื่องหมายสี่เหลี่ยมเล็กๆ ที่มุมเพื่อบอกว่าเป็นมุมฉาก

เส้นตั้งฉากที่จุดบนเส้นตรง

สร้างเส้นตั้งฉากกับ ℓ ที่จุด P บนเส้น

วิธีสร้างเส้นตั้งฉากกับ ℓ ที่จุด P บน ℓ

ใช้ $P$ เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมีพอเหมาะ เขียนส่วนโค้งตัด $\ell$ ทั้งสองข้างของ $P$ ที่ $A$ และ $B$
กางวงเวียนให้ยาวกว่า $PA$ ใช้ $A$ เป็นจุดศูนย์กลาง เขียนส่วนโค้งเหนือ $P$
ใช้รัศมีเดิม ใช้ $B$ เป็นจุดศูนย์กลาง เขียนส่วนโค้งตัดส่วนโค้งในขั้นที่ 2 ที่ $Q$
ลาก $\overleftrightarrow{PQ}$ จะได้ $\overleftrightarrow{PQ} \perp \ell$

ขั้นที่ 1 ทำให้ $P$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $\overline{AB}$ ขั้นที่ 2 และ 3 คือการแบ่งครึ่ง $\overline{AB}$ จากหน้า 2.2 นั่นเอง เส้นที่ได้จึงตั้งฉากกับ $\overline{AB}$ ที่จุด $P$ มองอีกแบบหนึ่งก็ได้ มุม $A\hat{P}B$ เป็นมุมตรงขนาด $180^\circ$ วิธีนี้คือการแบ่งครึ่งมุมตรง ได้ข้างละ $90^\circ$

เส้นตั้งฉากจากจุดภายนอก

ถ้า $P$ ไม่ได้อยู่บนเส้น เช่นบ้านของมิ้นท์ ให้ใช้วงเวียนหาจุดสองจุดบนเส้นที่ห่างจาก $P$ เท่ากันก่อน

ขั้นที่ 3 แสดงระยะ PM เทียบกับ PA ลากจุด P ขึ้นลงแล้วดูว่า PM สั้นกว่าเสมอไหม

วิธีสร้างเส้นตั้งฉากจากจุด P ที่อยู่นอกเส้น ℓ

ใช้ $P$ เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมียาวพอ เขียนส่วนโค้งตัด $\ell$ สองจุดที่ $A$ และ $B$
ใช้ $A$ และ $B$ เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมีเท่ากัน เขียนส่วนโค้งตัดกันที่ $Q$ อีกฝั่งหนึ่งของ $\ell$
ลาก $\overleftrightarrow{PQ}$ ตัด $\ell$ ที่ $M$ จะได้ $\overleftrightarrow{PQ} \perp \ell$

เหตุผลเหมือนเดิม $PA = PB$ และ $QA = QB$ จุด $P$ และ $Q$ จึงอยู่บนเส้นแบ่งครึ่งและตั้งฉากของ $\overline{AB}$ เส้นตรง $PQ$ จึงตั้งฉากกับ $\ell$

ระยะ $PM$ ตามแนวตั้งฉากเป็นระยะที่สั้นที่สุดจาก $P$ ไปถึงเส้น $\ell$ เรียกว่าระยะห่างระหว่างจุด $P$ กับเส้นตรง $\ell$ มิ้นท์จึงควรเดินจาก $P$ ไป $M$

ลองคิดก่อน

โจ้วัดระยะห่างระหว่างจุด $P$ กับเส้นตรง $\ell$ โดยวางไม้บรรทัดจาก $P$ ไปจุดไหนก็ได้บน $\ell$ แล้วอ่านค่า วิธีนี้ถูกไหม

ดูคำตอบ

ไม่ถูก จาก $P$ ไปจุดต่างๆ บน $\ell$ ได้ระยะไม่เท่ากัน ยิ่งเฉียงยิ่งยาว ในกราฟข้างบน $PA$ ยาวกว่า $PM$ ทุกครั้ง ระยะห่างระหว่างจุดกับเส้นตรงต้องวัดตามแนวที่ตั้งฉากกับเส้นเท่านั้น ซึ่งเป็นระยะที่สั้นที่สุด ต้องสร้างเส้นตั้งฉากจาก $P$ ก่อน แล้วค่อยวัด $PM$

มุม 90 องศา 45 องศา และมุมที่ประกอบขึ้นจากมุมเหล่านี้

เส้นตั้งฉากให้มุม $90^\circ$ แบ่งครึ่งได้ $45^\circ$ แล้วนำไปรวมกับมุม $60^\circ$ $30^\circ$ $15^\circ$ จากหน้า 2.3 ได้อีกหลายมุม

ตัวอย่าง 1

จงอธิบายวิธีสร้างมุม $45^\circ$ และมุม $135^\circ$

ลากเส้นตรง $\ell$ กำหนดจุด $P$ บน $\ell$ แล้วสร้างเส้นตั้งฉากที่ $P$ ได้มุมฉากสองมุมอยู่สองข้างของเส้นตั้งฉาก
แบ่งครึ่งมุมฉากข้างขวา ได้มุม $90^\circ \div 2 = 45^\circ$ ระหว่างเส้นแบ่งครึ่งกับ $\ell$ ทางขวา
มุมระหว่างเส้นแบ่งครึ่งเดียวกันกับ $\ell$ ทางซ้าย คือ $90^\circ + 45^\circ = 135^\circ$ ตรวจด้วยมุมตรงได้ $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$ ตรงกัน

ตัวอย่าง 2

จงอธิบายวิธีสร้างมุม $75^\circ$

สร้างมุมฉาก $X\hat{A}Y = 90^\circ$ ให้ $\overrightarrow{AX}$ เป็นแขนด้านล่าง
สร้างมุม $60^\circ$ ที่ $A$ บน $\overrightarrow{AX}$ ได้รังสี $\overrightarrow{AZ}$ ที่ $X\hat{A}Z = 60^\circ$ รังสีนี้อยู่ในมุมฉาก
มุมที่เหลือ $Z\hat{A}Y = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$ แบ่งครึ่งมุมนี้ได้รังสี $\overrightarrow{AW}$ ที่ $Z\hat{A}W = 15^\circ$
$X\hat{A}W = 60^\circ + 15^\circ = 75^\circ$

ใช้วิธีเดียวกันนี้ได้มุม $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$ หรือ $22.5^\circ = 45^\circ \div 2$ ด้วย ก่อนสร้างให้แยกมุมที่ต้องการเป็นผลบวกหรือผลต่างของมุมที่สร้างได้ก่อนเสมอ

เส้นขนาน

นิยาม

เส้นตรงสองเส้นที่อยู่บนระนาบเดียวกันและไม่ตัดกันเลยไม่ว่าจะต่อให้ยาวเท่าไร เรียกว่าเส้นขนาน ถ้าเส้นตรง $m$ ขนานกับ $\ell$ เขียนว่า $m \parallel \ell$

รางรถไฟคือตัวอย่างของเส้นขนาน หมอนรถไฟที่วางขวางรางตั้งฉากกับรางทั้งสองเส้น และยาวเท่ากันทุกท่อน รางสองเส้นจึงห่างกันเท่าเดิมตลอดทางและไม่มาบรรจบกัน การสร้างเส้นขนานใช้ความคิดเดียวกันนี้

ตัวอย่าง 3

กำหนดเส้นตรง $\ell$ และจุด $P$ ที่อยู่นอก $\ell$ จงสร้างเส้นตรง $m$ ผ่าน $P$ และขนานกับ $\ell$

สร้างเส้นตั้งฉากจาก $P$ ไปยัง $\ell$ ตัด $\ell$ ที่ $M$ ตามวิธีในหัวข้อก่อน
สร้างเส้นตั้งฉากกับ $\overleftrightarrow{PM}$ ที่จุด $P$ ซึ่งอยู่บนเส้น $\overleftrightarrow{PM}$ ตามวิธีเส้นตั้งฉากที่จุดบนเส้นตรง
เส้นที่ได้ในขั้นที่ 2 คือ $m$ ทั้ง $m$ และ $\ell$ ตั้งฉากกับ $\overleftrightarrow{PM}$ เหมือนรางรถไฟสองเส้นที่ตั้งฉากกับหมอนท่อนเดียวกัน จึงได้ $m \parallel \ell$

เส้นสีเขียวตั้งฉากกับทั้ง ℓ และ m เส้น m จึงขนานกับ ℓ

อีกวิธีหนึ่งใช้การสร้างมุมให้เท่ามุมที่กำหนด ลากเส้นตรงผ่าน $P$ ไปตัด $\ell$ ที่จุด $X$ ได้มุมที่ $X$ หนึ่งมุม แล้วสร้างมุมขนาดเท่ากันที่จุด $P$ ในตำแหน่งเดียวกัน คือด้านเดียวกันของเส้นที่ลาก เส้นที่ได้เอียงเท่ากับ $\ell$ จึงขนานกับ $\ell$ เหตุผลของวิธีนี้จะได้เรียนในบทที่ 18 เรื่องเส้นขนาน

เลื่อนไม้บรรทัดตามตาไม่ใช่การสร้าง

การวางไม้บรรทัดทับ $\ell$ แล้วค่อยๆ เลื่อนขึ้นไปจนถึง $P$ ดูเหมือนได้เส้นขนาน แต่ไม้บรรทัดหมุนเอียงไปเล็กน้อยระหว่างเลื่อนได้เสมอ ต่อเส้นยาวๆ แล้วจะเห็นว่าเส้นค่อยๆ เข้าใกล้หรือห่างจาก $\ell$ ถ้าโจทย์สั่งให้สร้าง ต้องมีร่องรอยของเส้นตั้งฉากหรือการสร้างมุม

สรุป

เส้นตั้งฉากที่จุดบนเส้นตรง คือการแบ่งครึ่งมุมตรง
เส้นตั้งฉากจากจุดภายนอก ใช้ส่วนโค้งจาก $P$ หาจุด $A$ $B$ บนเส้น แล้วแบ่งครึ่ง $\overline{AB}$
ระยะห่างระหว่างจุดกับเส้นตรง วัดตามแนวตั้งฉาก และเป็นระยะที่สั้นที่สุด
แบ่งครึ่งมุมฉากได้ $45^\circ$ รวมกับมุม $60^\circ$ $30^\circ$ $15^\circ$ ได้มุมอื่นอีกมาก
เส้นขนานผ่าน $P$ สร้างจากเส้นตั้งฉากสองครั้ง หรือจากการสร้างมุมให้เท่ามุมเดิม