34.5 ทฤษฎีบทเศษเหลือและตัวประกอบ

ถ้าหารพหุนามยาวทุกครั้งเพียงเพื่อรู้เศษจะเสียเวลา โครงสร้างสมการการหารทำให้คำนวณเศษจากการแทนค่าเพียงครั้งเดียวได้ และเมื่อเศษเป็นศูนย์ เราได้ตัวประกอบมาฟรีหนึ่งตัว ซึ่งเป็นกุญแจของการแก้สมการและอสมการพหุนามดีกรีสามขึ้นไปในหน้า 34.2

แทนค่าที่ตัวหารเป็นศูนย์

ในหน้า 15.5 เราหารยาวพหุนามแล้วตรวจด้วย ตัวตั้ง $=$ ตัวหาร $\times$ ผลหาร $+$ เศษ เช่น หาร $x^3 - 2x + 5$ ด้วย $x + 2$ ได้ผลหาร $x^2 - 2x + 2$ เศษ $1$ จึงเขียนได้ว่า

x^3 - 2x + 5 = (x + 2)(x^2 - 2x + 2) + 1

สมการนี้เป็นจริงทุกค่า $x$ เพราะเป็นพหุนามเดียวกันที่เขียนสองแบบ ทีนี้เลือกแทน $x = -2$ ซึ่งทำให้ตัวหารเป็นศูนย์ ก้อน $(x + 2)(\ldots)$ กลายเป็นศูนย์ทั้งก้อน ไม่ว่าผลหารจะยาวแค่ไหน เหลือแค่เศษ จึงได้ว่าค่าของพหุนามที่ $x = -2$ คือเศษพอดี

พูดแบบทั่วไป หาร $P(x)$ ด้วย $x-a$ ได้ $P(x)=(x-a)Q(x)+r$ เศษ $r$ เป็นค่าคงตัว เพราะดีกรีต้องต่ำกว่าตัวหารซึ่งมีดีกรีหนึ่ง เมื่อแทน $x=a$ พจน์ผลคูณหายไป จึงเหลือ $P(a)=r$

สมบัติ

เศษจากการหาร $P(x)$ ด้วย $x-a$ คือ $P(a)$ และ $x-a$ เป็นตัวประกอบของ $P(x)$ ก็ต่อเมื่อ $P(a)=0$

ส่วนหลังของทฤษฎีบทเรียกว่า ทฤษฎีบทตัวประกอบ ได้มาจากส่วนแรกทันที เพราะ เป็นตัวประกอบ แปลว่าหารลงตัว คือเศษเป็นศูนย์

หากตัวหารเป็น $x+2$ ต้องแทน $-2$ เพราะต้องทำให้ตัวหารศูนย์ ถ้าเป็น $2x-3$ ต้องแทน $3/2$ การจำว่าใช้ตัวเลขหลังเครื่องหมายลบโดยไม่ดูตัวหารทั้งหมดทำให้ผิดได้ เหตุผลเดิมยังใช้ได้กับ $2x - 3$ เพราะ $P(x) = (2x - 3)Q(x) + r$ และแทน $x = \frac32$ ก็ทำให้ก้อนแรกหายเหมือนกัน

หาเศษโดยไม่ต้องหารยาว

ตัวอย่าง 1

หาเศษจากการหาร $P(x)=x^3-2x+5$ ด้วย $x+2$

หาค่าที่ทำให้ตัวหารเป็นศูนย์ $x+2=0$ เมื่อ $x=-2$ ระวังอย่าแทน $2$
แทนทุกพจน์ $P(-2)=(-2)^3-2(-2)+5=-8+4+5=1$ ใส่วงเล็บให้ $-2$ เสมอ จะได้ไม่พลาดเครื่องหมายตอนยกกำลัง
เศษคือ $1$ ตรงกับที่หารยาวได้ข้างบน ไม่ต้องหารยาวเพื่อหาผลหาร ถ้าคำถามต้องการเฉพาะเศษ

ตัวอย่าง 2

หาเศษจากการหาร $4x^2 + 2x - 1$ ด้วย $2x - 3$

ตัวหาร $2x - 3$ เป็นศูนย์เมื่อ $x = \frac32$ ไม่ใช่ $x = 3$
แทน $x = \frac32$ ได้ $4\left(\frac94\right) + 2\left(\frac32\right) - 1 = 9 + 3 - 1 = 11$
เศษคือ $11$ ตรวจด้วยการหารยาวได้ $4x^2 + 2x - 1 = (2x - 3)(2x + 4) + 11$

ตัวอย่าง 3

กำหนด $P(x)=x^3+kx-6$ มี $x-2$ เป็นตัวประกอบ หา $k$

ทฤษฎีบทตัวประกอบบอกว่า $x - 2$ เป็นตัวประกอบก็ต่อเมื่อ $P(2)=0$ ข้อมูลที่โจทย์ให้จึงกลายเป็นสมการหนึ่งสมการ
แทน $x = 2$ ได้ $8+2k-6=0$ หรือ $2k + 2 = 0$ จึงได้ $k=-1$
ตรวจ แทนแล้ว $P(x)=x^3-x-6=(x-2)(x^2+2x+3)$ หารลงตัวจริง ผลหารหาได้เร็วด้วยการหารสังเคราะห์ในหัวข้อถัดไป

ลองคิดก่อน

ถ้า $P(2)=5$ แล้ว $x-2$ เป็นตัวประกอบหรือไม่

ดูคำตอบ

ไม่เป็น เพราะเศษคือ $5$ ไม่ใช่ศูนย์ ค่าที่แทนได้เป็นเศษ ไม่ใช่คำตอบของสมการ $P(x)=0$ โดยอัตโนมัติ

หาผลหารเร็วด้วยการหารสังเคราะห์

เมื่อรู้ว่า $x - a$ เป็นตัวประกอบแล้ว ยังต้องหาผลหารเพื่อแยกต่อ การหารยาวในหน้า 15.5 ใช้ได้ แต่ตัวแปรที่เขียนซ้ำทุกบรรทัดไม่ได้ช่วยอะไร การหารสังเคราะห์ เก็บไว้เฉพาะสัมประสิทธิ์ และเปลี่ยนการลบเป็นการบวก โดยใช้ $a$ แทน $-a$ ของตัวหาร

ตัวอย่าง หาร $x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ ด้วย $x - 1$ จึงใช้ $a = 1$

\begin{array}{c|rrrr} 1 & 1 & -2 & -5 & 6 \\ & & 1 & -1 & -6 \\ \hline & 1 & -1 & -6 & 0 \end{array}

เขียนสัมประสิทธิ์ $1, -2, -5, 6$ เรียงจากดีกรีมากไปน้อย แล้วดึงตัวแรก $1$ ลงมาแถวล่าง
คูณตัวที่เพิ่งได้กับ $a = 1$ ได้ $1$ เขียนไว้ใต้ $-2$ แล้วบวก ได้ $-1$
คูณ $-1$ กับ $1$ ได้ $-1$ เขียนใต้ $-5$ บวกได้ $-6$ คูณ $-6$ กับ $1$ ได้ $-6$ เขียนใต้ $6$ บวกได้ $0$
ตัวสุดท้ายของแถวล่างคือเศษ คือ $0$ ตัวที่เหลือ $1, -1, -6$ คือสัมประสิทธิ์ของผลหารซึ่งมีดีกรีต่ำลงหนึ่ง จึงได้ $x^2 - x - 6$

ทำไมได้ผลเหมือนหารยาว ในหารยาวเราคูณพจน์ของผลหารกับ $x - 1$ แล้ว ลบ ออก การลบ $-1$ เท่ากับการบวก $1$ การหารสังเคราะห์จึงใช้ $a = 1$ แล้วบวกแทน ขั้นตอนเดิมทุกอย่าง แค่ไม่เขียนตัวแปร

ลองคิดก่อน

เพื่อนหาร $x^3 - 8$ ด้วย $x - 2$ โดยเขียนสัมประสิทธิ์ $1, -8$ แล้วได้ผลหาร $1$ เศษ $-6$ ผิดตรงไหน

ดูคำตอบ

ลืมพจน์ที่หายไป $x^3 - 8$ คือ $x^3 + 0x^2 + 0x - 8$ ต้องเขียนสัมประสิทธิ์ $1, 0, 0, -8$ ให้ครบทุกดีกรี เหมือนการจองที่ในหน้า 15.5 ทำใหม่ได้แถวล่าง $1, 2, 4, 0$ ผลหารคือ $x^2 + 2x + 4$ เศษ $0$ ตรวจเศษด้วยทฤษฎีบทเศษเหลือ $2^3 - 8 = 0$ ตรงกัน

จากรากหนึ่งตัวสู่รากทั้งหมด

ทฤษฎีบทตัวประกอบไม่ได้จบแค่ตรวจผ่านหรือไม่ผ่าน เมื่อพบรากแล้วสามารถลดดีกรีเพื่อหาคำตอบที่เหลือต่อได้ คำถามคือจะเดารากตัวแรกจากไหน

ถ้าพหุนามมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม และสัมประสิทธิ์ของพจน์ดีกรีสูงสุดเป็น $1$ รากที่เป็นจำนวนเต็มต้องหารพจน์คงตัวลงตัว เหตุผลคือ ถ้า $a$ เป็นรากของ $x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ จะได้ $a^3 - 2a^2 - 5a = -6$ หรือ $a(a^2 - 2a - 5) = -6$ ข้างซ้ายเป็น $a$ คูณจำนวนเต็ม ดังนั้น $a$ หาร $6$ ลงตัว ตัวที่น่าลองจึงมีแค่ $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$ ไม่ต้องลองทุกจำนวนบนเส้นจำนวน

ตัวอย่าง 4

แก้ $x^3-2x^2-5x+6=0$

พจน์คงตัวคือ $6$ ตัวที่น่าลองคือ $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$ เริ่มจากตัวเล็กที่สุด แทน $1$ ได้ $1-2-5+6=0$ จึงมีตัวประกอบ $x-1$
หารสังเคราะห์ด้วย $a = 1$ ตามตารางข้างบน ได้ผลหาร $x^2-x-6$
แยกตัวประกอบดีกรีสองที่เหลือแบบบทที่ 20 หาสองจำนวนที่คูณได้ $-6$ บวกได้ $-1$ คือ $-3$ กับ $2$ ได้ $(x-3)(x+2)$
ได้ $(x - 1)(x - 3)(x + 2) = 0$ คำตอบทั้งหมดคือ $x=-2,1,3$ ตรวจโดยกระจายตัวประกอบคืนได้พหุนามเดิม

การบอกว่า $x=1$ เป็นรากเป็นเพียงการเริ่มต้น ไม่ได้บอกว่ามีรากเดียว ต้องแก้ตัวประกอบที่เหลือให้ครบ โดยเฉพาะโจทย์ที่ถามทุกคำตอบของสมการ

ตัวอย่าง 5

แก้อสมการ $x^3 - 7x + 6 > 0$

ตารางเครื่องหมายในหน้า 34.2 ต้องการตัวประกอบ จึงหารากก่อน ตัวที่น่าลองคือตัวหารของ $6$ แทน $1$ ได้ $1 - 7 + 6 = 0$ จึงมีตัวประกอบ $x - 1$
หารสังเคราะห์ด้วยสัมประสิทธิ์ $1, 0, -7, 6$ ซึ่งต้องจองที่ $0$ ให้พจน์ $x^2$ ได้แถวล่าง $1, 1, -6, 0$ ผลหารคือ $x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)$
ได้ $(x + 3)(x - 1)(x - 2) > 0$ รากคือ $-3, 1, 2$ ทุกตัวเป็นกำลังหนึ่ง เครื่องหมายจึงสลับทุกราก ช่วงขวาสุดเป็นบวก เพราะตัวประกอบทุกตัวเป็นบวก
ไล่จากขวามาซ้ายได้ บวก ลบ บวก ลบ เลือกช่วงบวกได้ $(-3, 1) \cup (2, \infty)$ ตรวจ $x = 0$ ได้ $6 > 0$ จริง และ $x = 0$ อยู่ในช่วง $(-3, 1)$

ตัวอย่างนี้รวมทุกเรื่องในบทเข้าด้วยกัน ทฤษฎีบทตัวประกอบหารากตัวแรก การหารสังเคราะห์ลดดีกรี การแยกตัวประกอบดีกรีสองแยกส่วนที่เหลือ แล้วตารางเครื่องหมายเลือกช่วงคำตอบ

สรุป

ทำให้ตัวหารเป็นศูนย์ก่อนแทนค่า ตัวหาร $x + 2$ แทน $-2$ ตัวหาร $2x - 3$ แทน $\frac32$
เศษศูนย์จึงรับรองตัวประกอบ
การหารสังเคราะห์ใช้สัมประสิทธิ์ให้ครบทุกดีกรี ตัวสุดท้ายคือเศษ
รากจำนวนเต็มของพหุนามที่สัมประสิทธิ์นำเป็น $1$ ต้องหารพจน์คงตัวลงตัว
ใช้ตัวประกอบลดดีกรีและตรวจกลับ