6.3 สมบัติของการเท่ากัน

ตาชั่งสองแขนข้างหนึ่งมีกล่องปริศนา 3 กล่องกับตุ้มน้ำหนักลูกละ 1 กิโลกรัมอีก 2 ลูก อีกข้างมีตุ้ม 11 ลูก ตาชั่งอยู่นิ่งในแนวนอน กล่องทุกกล่องหนักเท่ากัน ไม่เปิดกล่อง จะรู้ได้ยังไงว่ากล่องหนึ่งหนักเท่าไร

ให้กล่องหนึ่งหนัก $x$ กิโลกรัม ตาชั่งสมดุลแปลว่าสองข้างหนักเท่ากัน จึงเขียนได้ว่า

ตาชั่งที่ต้องรักษาสมดุล

ลองเอาตุ้มออกจากตาชั่งข้างล่าง เริ่มจากเอาตุ้มข้างซ้ายออกข้างเดียว ดูว่าเกิดอะไรขึ้น แล้วหาวิธีเอาของออกจนเหลือกล่องเดียวโดยตาชั่งยังสมดุลอยู่

สิ่งที่น่าจะเห็น

• เอาตุ้มออกข้างเดียว ตาชั่งเอียงทันที สองข้างไม่เท่ากันแล้ว
• เอาตุ้มออกข้างละ 2 ลูกเท่ากัน ตาชั่งยังสมดุล เหลือกล่อง 3 กล่องหนักเท่ากับตุ้ม 9 ลูก
• แบ่งของทั้งสองข้างเป็น 3 ส่วนเท่าๆ กัน แล้วเก็บไว้ข้างละส่วนเดียว คือเลื่อนกล่องข้างซ้ายเหลือ 1 และตุ้มข้างขวาเหลือ 3 ตาชั่งก็ยังสมดุล

กล่องหนึ่งจึงหนัก 3 กิโลกรัม ติ๊กช่องเปิดดูน้ำหนักกล่องเพื่อตรวจได้

สมบัติสี่ข้อ

สิ่งที่ทำกับตาชั่งได้โดยไม่เสียสมดุล เขียนเป็นสมบัติของจำนวนได้ดังนี้ เมื่อ $a$ $b$ และ $c$ แทนจำนวนใดๆ

สองข้อแรกฟังดูชัดเจนจนเหมือนไม่ต้องพูด แต่ใช้บ่อย สมบัติสมมาตรทำให้สลับข้างสมการได้ เช่นเขียน $15 = 2x + 7$ ใหม่เป็น $2x + 7 = 15$ ส่วนสมบัติถ่ายทอดทำให้เขียนต่อกันเป็นแถวได้ ถ้าขั้นแรกเท่ากับขั้นที่สอง ขั้นที่สองเท่ากับขั้นที่สาม ขั้นแรกก็เท่ากับขั้นที่สาม

การลบและการหารอยู่ตรงไหน

ไม่ต้องมีสมบัติการลบแยก เพราะการลบ $c$ ก็คือการบวกด้วย $-c$ เช่นลบ $2$ ทั้งสองข้าง คือใช้สมบัติการบวกด้วย $-2$

การหารด้วย $c$ ก็คือการคูณด้วย $\tfrac{1}{c}$ เช่นหารด้วย $3$ ทั้งสองข้าง คือใช้สมบัติการคูณด้วย $\tfrac{1}{3}$ แต่หารด้วยศูนย์ไม่ได้ จึงต้องมีเงื่อนไขว่า $c \neq 0$

แก้สมการด้วยสมบัติของการเท่ากัน

การแก้สมการคือการหาคำตอบของสมการ หลักคือใช้สมบัติของการเท่ากันเปลี่ยนสมการให้ง่ายลงทีละขั้น จนเหลือตัวแปรอยู่ตัวเดียวข้างหนึ่ง ทุกขั้นสองข้างยังเท่ากันอยู่ คำตอบจึงไม่เปลี่ยน

ลำดับในตัวอย่าง 1 และ 4 ไม่ใช่เรื่องบังเอิญ ให้กำจัดจำนวนที่บวกหรือลบอยู่ก่อน แล้วค่อยกำจัดจำนวนที่คูณอยู่ เหมือนการแกะห่อของ ห่อทีหลังต้องแกะก่อน ตอนสร้าง $3x + 2$ เอา $x$ ไปคูณ 3 ก่อนแล้วจึงบวก 2 ตอนแก้จึงต้องเอา 2 ออกก่อน

สรุป

• สมการเหมือนตาชั่งที่สมดุล ทำอะไรกับข้างหนึ่งต้องทำแบบเดียวกันกับอีกข้าง
• สมบัติของการเท่ากันมีสี่ข้อ สมมาตร ถ่ายทอด การบวก การคูณ
• ลบ $c$ คือบวก $-c$ หารด้วย $c$ คือคูณ $\tfrac{1}{c}$ เมื่อ $c \neq 0$
• กำจัดจำนวนที่บวกลบอยู่ก่อน แล้วจึงกำจัดจำนวนที่คูณอยู่
• ได้คำตอบแล้วแทนในสมการเดิมเพื่อตรวจทุกครั้ง