38.1 ระยะทางและจุดกึ่งกลาง

แผนที่โรงเรียนแทนอาคารสองหลังด้วยจุดบนตาราง การนับช่องแนวนอนบวกแนวตั้งเป็นระยะเดินตามทางฉาก แต่ระยะตรงต้องใช้พีทาโกรัส

ถ้าโรงอาหารอยู่ที่จุด $(1, 2)$ และห้องสมุดอยู่ที่ $(7, 10)$ บนแผนที่ที่หนึ่งช่องยาว $10$ เมตร นักเรียนที่เดินตามถนนแนวนอนแล้วเลี้ยวขึ้นแนวตั้งต้องเดิน $6 + 8 = 14$ ช่อง แต่คนที่เดินตัดสนามตรงไปเดินแค่ $10$ ช่อง หน้านี้จะหาระยะตรงแบบนี้จากพิกัดอย่างเดียว โดยไม่ต้องวาดรูปให้ตรงมาตราส่วน และหาจุดที่อยู่ตรงกลางทางพอดี เช่นตำแหน่งตั้งจุดพักระหว่างสองอาคาร

แนวคิดนี้คือหัวใจของเรขาคณิตวิเคราะห์ เราแทนรูปเรขาคณิตด้วยพิกัดและสมการ แล้วใช้พีชคณิตตอบคำถามเรื่องรูป ทั้งบทนี้จะใช้สูตรระยะในหน้านี้ซ้ำแล้วซ้ำอีก ตั้งแต่ระยะจากจุดถึงเส้นตรงไปจนถึงวงกลม พาราโบลา วงรี และไฮเพอร์โบลา

จากสามเหลี่ยมมุมฉากสู่สูตร

ในบทที่ 10 เราหาระยะระหว่างจุดสองจุดบนตารางด้วยการวาดสามเหลี่ยมมุมฉาก ตอนนี้ทำแบบเดียวกันแต่ใช้ตัวแปรแทนตัวเลข จะได้สูตรที่ใช้กับจุดคู่ไหนก็ได้

ให้จุด $A(x_1, y_1)$ กับ $B(x_2, y_2)$ ลากเส้นแนวนอนผ่าน $A$ และเส้นแนวตั้งผ่าน $B$ มาพบกันที่มุมฉาก ขาแนวนอนยาวเท่ากับผลต่างพิกัด $x$ คือ $x_2 - x_1$ ขาแนวตั้งยาวเท่ากับผลต่างพิกัด $y$ คือ $y_2 - y_1$ ทฤษฎีบทพีทาโกรัสจึงให้

$AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

ผลต่างอาจติดลบแต่กำลังสองไม่ติดลบ ระยะสุดท้ายเลือกค่ารากบวก การสลับจุดไม่เปลี่ยนระยะ เพราะผลต่างเปลี่ยนเครื่องหมายพร้อมกัน เช่น $(5 - 2)^2$ กับ $(2 - 5)^2$ ได้ $9$ เท่ากัน จึงไม่ต้องกังวลว่าจุดไหนคือจุดแรก

ทำไมต้องยกกำลังสองก่อนแล้วค่อยถอดราก ไม่บวกผลต่างตรงๆ ผลบวก $|x_2 - x_1| + |y_2 - y_1|$ คือระยะเดินตามขาสองข้างของสามเหลี่ยม ซึ่งยาวกว่าด้านตรงข้ามมุมฉากเสมอ ยกเว้นเมื่อจุดสองจุดอยู่บนเส้นแนวนอนหรือแนวตั้งเดียวกัน ขาข้างหนึ่งจะยาวศูนย์ และสองระยะนี้เท่ากันพอดี

ตัวอย่างระยะทาง

ระยะส่วนใหญ่ไม่ลงตัว ให้ตอบในรูปกรณฑ์ที่ทำให้อย่างง่ายแล้ว ตามที่เรียนในบทที่ 11 ถ้าโจทย์เป็นเรื่องจริงที่ต้องใช้ตัวเลข ค่อยประมาณเป็นทศนิยม

จุดกึ่งกลาง

เริ่มจากเส้นจำนวนก่อน จุดกึ่งกลางระหว่าง $2$ กับ $8$ คือ $5$ ซึ่งได้จากเดินจาก $2$ ไปครึ่งหนึ่งของระยะ $6$ คือ $2 + 3 = 5$ หรือคิดอีกแบบคือค่าเฉลี่ย $\tfrac{2 + 8}{2} = 5$ สองวิธีให้ค่าเดียวกันเสมอ เพราะ $x_1 + \tfrac{x_2 - x_1}{2} = \tfrac{x_1 + x_2}{2}$

บนระนาบก็ทำแบบเดียวกัน ถ้าเดินจาก $A$ ไป $B$ ครึ่งทาง พิกัดแต่ละแกนเพิ่มครึ่งหนึ่งของผลต่าง ในรูปข้างบน เส้นประจาก $M$ ลงมาแบ่งขาแนวนอนเป็นสองส่วนเท่ากัน เพราะสามเหลี่ยมเล็กคล้ายกับสามเหลี่ยมใหญ่ด้วยอัตราส่วน $1 : 2$ ตามบทที่ 24 จึงได้

$M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)$

สูตรนี้ใช้ได้กับเส้นเอียง แนวนอน และแนวตั้ง ไม่จำเป็นต้องวาดกราฟตรงมาตราส่วน

ถ้าทราบจุดกึ่งกลางและปลายหนึ่งด้าน สามารถแก้สมการพิกัดหาปลายอีกด้านได้ ตรวจด้วยการเฉลี่ยกลับ และตรวจว่าระยะ $AM=MB$ จริง

หาระยะเมื่อมีตัวแปร

สูตรระยะให้สมการกำลังสองเมื่อพิกัดหนึ่งยังไม่รู้ ต้องหาทุกค่าที่ทำให้ระยะตรงตามกำหนด และตรวจความเป็นไปได้ทางรูปด้วย

การได้สองคำตอบไม่ได้เป็นความผิดพลาดเสมอ สมมาตรของรูปอธิบายว่าทั้งสองจุดเป็นไปได้ หากโจทย์เพิ่มเงื่อนไขว่าอยู่ขวาของแกนตั้ง จึงค่อยเลือก $x=4$ เพียงค่าเดียว

โจทย์อีกแบบที่พบบ่อยคือหาจุดที่ห่างจากสองจุดเท่ากัน เช่นหาตำแหน่งตั้งเสาไฟให้ห่างจากบ้านสองหลังเท่ากัน ตั้งสมการระยะเท่ากันแล้วยกกำลังสองทั้งสองข้าง พจน์กำลังสองของตัวแปรจะตัดกันหมด เหลือสมการเชิงเส้นที่แก้ง่าย

จุดทุกจุดที่ห่างจาก $A$ และ $B$ เท่ากันเรียงกันเป็นเส้นตรงเส้นหนึ่ง คือเส้นแบ่งครึ่งและตั้งฉากกับ $AB$ ซึ่งเคยสร้างด้วยวงเวียนในบทที่ 2 ศาลาในตัวอย่างนี้คือจุดที่เส้นนั้นตัดแกน $x$ หน้าถัดไปจะเขียนสมการของเส้นแบบนี้ได้โดยตรง

ใช้ระยะตรวจชนิดของรูปสามเหลี่ยม

เมื่อรู้ความยาวทุกด้าน ก็บอกได้ว่าสามเหลี่ยมเป็นหน้าจั่วหรือไม่ และใช้บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัสในหน้า 10.3 ตรวจมุมฉากได้ เทียบกำลังสองของด้านตรงๆ จะสะดวกกว่า เพราะไม่ต้องถอดราก

สรุป

• ใช้ผลต่างพิกัดเป็นขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก ได้ $AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
• ระยะไม่ติดลบและไม่เปลี่ยนเมื่อสลับจุด ตอบในรูปกรณฑ์อย่างง่ายถ้าไม่ลงตัว
• จุดกึ่งกลางเฉลี่ยพิกัดแยกกัน ถ้ารู้จุดกึ่งกลางกับปลายหนึ่ง ให้แก้สมการทีละแกน
• โจทย์ระยะเท่ากัน ยกกำลังสองทั้งสองข้างแล้วพจน์กำลังสองมักตัดกัน
• เทียบกำลังสองของด้านเพื่อตรวจสามเหลี่ยมหน้าจั่วและมุมฉาก