descartesclytie0x/descartes-math-platform
บทที่ 36 ความสัมพันธ์และฟังก์ชันตรงกับหนังสือ พื้นฐาน ม.5 บทที่ 2 และเพิ่มเติม ม.4 เล่ม 2 บทที่ 1พื้นฐานเพิ่มเติม

36.1 ฟังก์ชันและกราฟ

เครื่องขายน้ำหน้าโรงอาหารรับรหัสสินค้าแล้วบอกราคา กดรหัส A1 ได้น้ำเปล่า 1010 บาท กดรหัส B2 ได้ชาเขียว 2020 บาท สมมติวันหนึ่งกด A1 แล้วหน้าจอขึ้น 1010 บาท แต่กดซ้ำอีกครั้งกลับขึ้น 1515 บาท เราคงไม่กล้าหยอดเหรียญ เพราะบอกไม่ได้ว่าต้องจ่ายเท่าไร

แต่ถ้ารหัส A1 กับ A2 ราคา 1010 บาทเท่ากัน ไม่มีใครเดือดร้อน ของสองอย่างราคาเท่ากันเป็นเรื่องปกติ ความต่างของสองกรณีนี้คือหัวใจของคำว่าฟังก์ชัน หน้านี้จะทำให้ตัดสินได้ว่าข้อมูลชุดใดเป็นฟังก์ชัน ทั้งจากคู่อันดับ ตาราง และกราฟ แล้วคำนวณค่าของฟังก์ชันได้โดยไม่พลาดเรื่องวงเล็บ

หนึ่งข้อมูลเข้าต้องมีหนึ่งผลลัพธ์

ในบทที่ 8 เราวาดกราฟของ y=2x+1y = 2x + 1 และในบทที่ 25 เราเรียก y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c ว่าฟังก์ชันกำลังสอง ทั้งสองแบบมีสิ่งหนึ่งเหมือนกัน คือใส่ค่า xx หนึ่งค่าแล้วคำนวณ yy ออกมาได้ค่าเดียวเสมอ ม.ปลายตั้งชื่อสมบัตินี้ให้ชัด

นิยาม

ฟังก์ชันคือการจับคู่ที่สมาชิกแต่ละตัวของเซตต้นทาง ซึ่งเรียกว่าโดเมน จับคู่กับผลลัพธ์ได้เพียงค่าเดียว ถ้าเรียกฟังก์ชันว่า ff ผลลัพธ์ของข้อมูลเข้า xx เขียนว่า f(x)f(x) อ่านว่า เอฟของเอกซ์

ทำไมต้องบังคับว่าค่าเดียว เพราะเราใช้ฟังก์ชันเพื่อทำนาย รู้ข้อมูลเข้าแล้วต้องบอกผลได้แน่นอน เหมือนเครื่องขายน้ำ ถ้าข้อมูลเข้าตัวเดียวให้ได้หลายผล สัญลักษณ์ f(3)f(3) ก็ไม่รู้ว่าหมายถึงค่าไหน

เงื่อนไขนี้ห้ามเพียงทางเดียว คือห้ามข้อมูลเข้าตัวเดียวแยกไปหลายผล แต่ไม่ได้ห้ามข้อมูลเข้าหลายตัวมารวมที่ผลเดียว เช่น f(x)=x2f(x) = x^2 มี f(2)=4f(2) = 4 และ f(−2)=4f(-2) = 4 ก็ยังเป็นฟังก์ชัน เหมือนน้ำสองชนิดที่ราคาเท่ากัน

อีกเรื่องที่ต้องระวังตั้งแต่ต้น f(x)f(x) ไม่ใช่ ff คูณ xx วงเล็บตรงนี้แปลว่าส่ง xx เข้าไปในกฎ ff แล้วดูว่าได้อะไรออกมา

แผนภาพลูกศรช่วยให้เห็นเงื่อนไขนี้ชัดที่สุด วงรีซ้ายเป็นข้อมูลเข้า วงรีขวาเป็นผลลัพธ์ วิธีตรวจคือนับลูกศรที่ออกจากข้อมูลเข้าแต่ละตัว ต้องมีหนึ่งเส้นพอดี

12325เป็นฟังก์ชัน123245ไม่เป็นฟังก์ชัน
รูปซ้ายเป็นฟังก์ชัน ทุกตัวทางซ้ายมีลูกศรออกหนึ่งเส้น แม้ 11 กับ 22 ไปที่ 22 เหมือนกัน รูปขวาไม่เป็นฟังก์ชัน เพราะ 11 มีลูกศรออกสองเส้น

ตัวอย่าง 1

ชุดคู่อันดับ {(1,2),(2,2),(3,5)}\{(1,2),(2,2),(3,5)\} เป็นฟังก์ชันหรือไม่ แล้วถ้าเพิ่มคู่ (1,4)(1,4) เข้าไปล่ะ

  1. ในคู่อันดับ (x,y)(x, y) ตัวหน้าเป็นข้อมูลเข้า ตัวหลังเป็นผลลัพธ์ จึงไล่ดูตัวหน้าทีละค่า 11 คู่กับ 22 ส่วน 22 คู่กับ 22 และ 33 คู่กับ 55 ตัวหน้าไม่ซ้ำกันเลย แต่ละตัวจึงมีผลลัพธ์เดียว
  2. ผลลัพธ์ 22 ปรากฏสองครั้ง ไม่เป็นปัญหา เพราะเงื่อนไขห้ามเฉพาะตัวหน้าตัวเดียวแยกไปหลายค่า ชุดแรกจึงเป็นฟังก์ชัน ตรงกับแผนภาพรูปซ้าย
  3. เมื่อเพิ่ม (1,4)(1,4) ตัวหน้า 11 ปรากฏสองครั้ง คู่กับ 22 ครั้งหนึ่งและคู่กับ 44 อีกครั้ง ถ้าถามว่า f(1)f(1) เท่ากับเท่าไรจะตอบไม่ได้ ชุดใหม่จึงไม่เป็นฟังก์ชัน
  4. วิธีตรวจชุดคู่อันดับให้เร็ว คือหาตัวหน้าที่ซ้ำกันแต่ตัวหลังต่างกัน ถ้าพบแม้คู่เดียวก็ไม่เป็นฟังก์ชัน

ตัวอย่าง 2

ครูบันทึกคะแนนสอบย่อยเต็ม 2020 ของนักเรียนสี่คน ต้นได้ 1515 ฝนได้ 1818 แก้มได้ 1515 บอสได้ 2020 ความสัมพันธ์จากชื่อไปคะแนนเป็นฟังก์ชันหรือไม่ แล้วความสัมพันธ์จากคะแนนไปชื่อล่ะ

  1. จากชื่อไปคะแนน ข้อมูลเข้าคือชื่อ นักเรียนแต่ละคนสอบครั้งเดียวจึงมีคะแนนเดียว เป็นฟังก์ชัน การที่ต้นกับแก้มได้ 1515 เท่ากันไม่ผิดเงื่อนไข
  2. จากคะแนนไปชื่อ ทิศกลับกัน คะแนนกลายเป็นข้อมูลเข้า คะแนน 1515 ชี้ไปได้ทั้งต้นและแก้ม ถ้าถามว่าใครได้ 1515 คำตอบมีสองคน จึงไม่เป็นฟังก์ชัน
  3. ข้อมูลชุดเดียวกันเป็นหรือไม่เป็นฟังก์ชันขึ้นกับว่าอะไรเป็นข้อมูลเข้า โจทย์จึงต้องบอกทิศให้ชัด เรื่องการกลับทิศนี้จะกลับมาอีกครั้งในหน้า 36.5

ตรวจจากกราฟด้วยเส้นตั้ง

ถ้าความสัมพันธ์มาเป็นกราฟ เราไล่คู่อันดับทีละคู่ไม่ได้ เพราะจุดบนเส้นโค้งมีนับไม่ถ้วน จึงใช้เส้นตรงแนวตั้งช่วย

ทำไมต้องเป็นเส้นตั้ง ทุกจุดบนเส้นตั้ง x=1x = 1 มีพิกัด xx เท่ากับ 11 หมด จุดที่เส้นนี้ตัดกราฟจึงเป็นคู่อันดับทุกคู่ของกราฟที่มีข้อมูลเข้าเท่ากับ 11 ถ้าตัดสองจุด แปลว่าข้อมูลเข้า 11 มีผลลัพธ์สองค่า ซึ่งขัดกับนิยาม

การตรวจด้วยเส้นตั้ง

กราฟเป็นฟังก์ชันของ xx ก็ต่อเมื่อไม่มีเส้นตรงแนวตั้งเส้นใดตัดกราฟเกินหนึ่งจุด

x = 1x = 4
ซ้าย y=x2y = x^2 เส้นตั้งทุกเส้นตัดกราฟไม่เกินหนึ่งจุด จึงเป็นฟังก์ชัน ขวา x=y2x = y^2 เส้น x=4x = 4 ตัดสองจุดคือ (4,2)(4, 2) กับ (4,−2)(4, -2) จึงไม่เป็นฟังก์ชันของ xx

ตัวอย่าง 3

ความสัมพันธ์ x=y2x = y^2 เป็นฟังก์ชันของ xx หรือไม่ ให้ตอบด้วยการคำนวณ ไม่ใช่ดูรูปอย่างเดียว

  1. การเป็นฟังก์ชันของ xx หมายความว่า เลือก xx ค่าหนึ่งแล้วต้องได้ yy ค่าเดียว จึงลองเลือก x=4x = 4 ซึ่งเป็นค่าเดียวกับเส้นตั้งในรูป
  2. แทนลงไปได้ 4=y24 = y^2 จำนวนที่ยกกำลังสองแล้วได้ 44 มีสองตัวคือ y=2y = 2 และ y=−2y = -2
  3. ข้อมูลเข้า 44 จึงมีผลลัพธ์สองค่า ความสัมพันธ์นี้ไม่เป็นฟังก์ชันของ xx ตัวอย่างค้านเพียงค่าเดียวก็พอแล้ว ไม่ต้องลองทุกค่า

ลองคิดก่อน

กราฟวงกลม x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 เป็นฟังก์ชันของ xx หรือไม่ แล้วถ้าเอาเฉพาะครึ่งวงกลมด้านบนล่ะ

ดูคำตอบ

วงกลมทั้งวงไม่เป็น เส้นตั้ง x=3x = 3 ตัดที่ (3,4)(3, 4) และ (3,−4)(3, -4) ข้อมูลเข้าเดียวได้สองผลลัพธ์ แต่ครึ่งวงกลมด้านบนมีแค่จุดที่ y≥0y \ge 0 เส้นตั้งแต่ละเส้นจึงตัดไม่เกินหนึ่งจุด ครึ่งบนจึงเป็นฟังก์ชัน คือ y=25−x2y = \sqrt{25 - x^2}

แทนค่าทั้งวงเล็บ

เมื่อได้ฟังก์ชันมาเป็นสูตร การหาค่าฟังก์ชันคือการเอาข้อมูลเข้าไปแทน xx ทุกตำแหน่ง ข้อผิดพลาดเกือบทั้งหมดเกิดจากลืมใส่วงเล็บ ลองคิดว่า xx เป็นช่องว่าง เช่น f(x)=2x2−3x+1f(x) = 2x^2 - 3x + 1 คือ f(  )=2(  )2−3(  )+1f(\ \ ) = 2(\ \ )^2 - 3(\ \ ) + 1 ใส่อะไรเข้ามาก็ต้องใส่ลงช่องทั้งก้อน

ตัวอย่าง 4

ให้ f(x)=2x2−3x+1f(x) = 2x^2 - 3x + 1 หา f(−2)f(-2)

  1. แทน −2-2 ลงในทุกช่องพร้อมวงเล็บ ได้ 2(−2)2−3(−2)+12(-2)^2 - 3(-2) + 1 วงเล็บบอกว่ายกกำลังสองทั้ง −2-2 ไม่ใช่ยกกำลังเฉพาะ 22
  2. ทำเลขยกกำลังก่อนตามลำดับการคำนวณ (−2)2=4(-2)^2 = 4 จึงได้ 2(4)=82(4) = 8
  3. พจน์กลาง −3(−2)-3(-2) เป็นลบคูณลบ ได้ +6+6
  4. รวมกัน 8+6+1=158 + 6 + 1 = 15 จึงได้ f(−2)=15f(-2) = 15

ลองคิดก่อน

เพื่อนหา g(−3)g(-3) ของ g(x)=x2g(x) = x^2 แล้วกดเครื่องคิดเลขเป็น −32-3^2 ได้ −9-9 ถูกหรือไม่

ดูคำตอบ

ไม่ถูก −32-3^2 หมายถึง −(32)=−9-(3^2) = -9 เพราะยกกำลังทำก่อนเครื่องหมายลบ แต่ g(−3)g(-3) ต้องแทนทั้งก้อนเป็น (−3)2=9(-3)^2 = 9 ค่าของ x2x^2 ไม่มีวันติดลบ ถ้าได้คำตอบติดลบก็รู้ได้ทันทีว่าลืมวงเล็บ

แทนนิพจน์เป็นข้อมูลเข้า

ข้อมูลเข้าไม่จำเป็นต้องเป็นตัวเลข ใส่นิพจน์อย่าง a+1a + 1 หรือ 2x2x ก็ได้ ถ้าค่าเหล่านั้นอยู่ในโดเมน หลักการเหมือนเดิมทุกอย่าง แทนทั้งก้อนลงในช่องพร้อมวงเล็บแล้วค่อยกระจาย ทักษะนี้จะได้ใช้อีกมากในหน้า 36.4 เรื่องฟังก์ชันประกอบ

ตัวอย่าง 5

ถ้า f(x)=x2−1f(x) = x^2 - 1 หา f(a+1)f(a + 1) แล้วเทียบกับ f(a)+1f(a) + 1

  1. แทน a+1a + 1 ลงในช่องของ xx ได้ (a+1)2−1(a + 1)^2 - 1 ต้องมีวงเล็บ เพราะยกกำลังสองทั้งก้อน a+1a + 1
  2. กระจาย (a+1)2=a2+2a+1(a + 1)^2 = a^2 + 2a + 1 ด้วยการคูณพหุนามจากบทที่ 15 แล้วลบ 11 ได้ a2+2aa^2 + 2a
  3. ส่วน f(a)+1f(a) + 1 คือหาค่าฟังก์ชันที่ aa ก่อน ได้ a2−1a^2 - 1 แล้วจึงบวก 11 ได้ a2a^2
  4. สองนิพจน์ต่างกัน เพราะ f(a+1)f(a + 1) บวกหนึ่งก่อนเข้าเครื่อง ส่วน f(a)+1f(a) + 1 บวกหนึ่งหลังออกจากเครื่อง ลองแทน a=2a = 2 จะได้ f(3)=8f(3) = 8 แต่ f(2)+1=4f(2) + 1 = 4

f(a + h) ไม่เท่ากับ f(a) + f(h)

ถ้า f(x)=x2f(x) = x^2 แล้ว f(a+h)=(a+h)2=a2+2ah+h2f(a + h) = (a + h)^2 = a^2 + 2ah + h^2 ไม่ใช่ a2+h2a^2 + h^2 การแยกวงเล็บแบบนั้นใช้ไม่ได้กับฟังก์ชันส่วนใหญ่ ถ้าไม่แน่ใจให้ลองแทนตัวเลข เช่น a=1a = 1 และ h=2h = 2 จะได้ f(3)=9f(3) = 9 แต่ f(1)+f(2)=5f(1) + f(2) = 5

อ่านจากตารางต้องรู้ว่าข้อมูลบอกแค่ไหน

กราฟที่วาดจากสูตรบอกค่าได้ทุกจุด แต่ตารางที่มีเพียงบางค่า เช่นอุณหภูมิทุกชั่วโมง ไม่ได้บอกว่าระหว่างชั่วโมงเกิดอะไรขึ้น ถ้าจะลากเส้นเชื่อมจุดหรือประมาณค่าตรงกลาง แปลว่าเราสมมติแบบจำลองเพิ่มขึ้นมาเอง ต้องแยกสิ่งที่อ่านจากข้อมูลตรงๆ ออกจากสิ่งที่สมมติ หน้าถัดไปจะดูว่าแบบจำลองที่ใช้บ่อยมีกี่ชนิด และเลือกชนิดให้เข้ากับสถานการณ์อย่างไร

สรุป

  • ฟังก์ชันให้ข้อมูลเข้าแต่ละตัวมีผลลัพธ์เดียว แต่หลายข้อมูลเข้าให้ผลเดียวกันได้
  • ชุดคู่อันดับ ให้หาตัวหน้าซ้ำที่ตัวหลังต่างกัน กราฟ ให้ใช้เส้นตั้งตรวจ
  • ข้อมูลชุดเดียวกันอาจเป็นฟังก์ชันในทิศหนึ่ง แต่ไม่เป็นในอีกทิศ
  • หาค่าฟังก์ชันด้วยการแทนทั้งก้อนพร้อมวงเล็บ แล้วจึงกระจาย
  • f(a+1)f(a + 1) กับ f(a)+1f(a) + 1 ต่างกัน และ f(a+h)f(a + h) มักไม่เท่ากับ f(a)+f(h)f(a) + f(h)