23.4 โจทย์ปัญหาสมการกำลังสอง

สามหน้าที่ผ่านมามีวิธีแก้สมการครบแล้ว หน้านี้ฝึกส่วนที่ยากกว่า คือการเขียนสมการจากเรื่องที่เล่ามา และการตัดสินว่าคำตอบที่ได้จากสมการใช้ได้จริงหรือไม่ สมการกำลังสองมักให้คำตอบสองตัว บางครั้งใช้ได้ทั้งคู่ บางครั้งใช้ได้ตัวเดียว และบางครั้งไม่มีคำตอบเลย ซึ่งก็เป็นคำตอบที่มีความหมาย

ขั้นตอนทำโจทย์

ตั้งตัวแปรแทนสิ่งที่โจทย์ถาม เขียนให้ชัดว่าหมายถึงอะไรและหน่วยอะไร
เขียนปริมาณอื่นในโจทย์ด้วยตัวแปรนั้น แล้วตั้งสมการ
จัดให้อยู่ในรูปทั่วไปแล้วแก้ ด้วยวิธีที่เหมาะจากหน้า 23.3
ตรวจทุกคำตอบกับเรื่องในโจทย์ ตัดค่าที่เป็นไปไม่ได้ เช่น ความยาวติดลบ จำนวนคนเป็นเศษส่วน
ตอบให้ตรงคำถาม พร้อมหน่วย

เลขหน้าหนังสือ

ตัวอย่าง 1

เปิดหนังสือเรียนค้างไว้ เลขหน้าซ้ายกับเลขหน้าขวาคูณกันได้ $156$ เปิดอยู่ที่หน้าใด

ให้หน้าซ้ายเป็นหน้า $n$ หน้าขวาเป็นหน้าถัดไปคือ $n + 1$
$n(n + 1) = 156$ จัดรูปได้ $n^2 + n - 156 = 0$
หาสองจำนวนที่คูณกันได้ $-156$ บวกกันได้ $1$ คือ $13$ กับ $-12$ ได้ $(n + 13)(n - 12) = 0$
$n = -13$ หรือ $n = 12$ เลขหน้าติดลบไม่ได้ จึงเหลือ $n = 12$
เปิดอยู่ที่หน้า 12 กับหน้า 13 ตรวจ $12 \times 13 = 156$

กรอบรูป

ตัวอย่าง 2

รูปถ่ายกว้าง 10 เซนติเมตร ยาว 15 เซนติเมตร ใส่กรอบที่กว้างเท่ากันทุกด้าน วัดทั้งรูปรวมกรอบได้พื้นที่ 266 ตารางเซนติเมตร กรอบกว้างกี่เซนติเมตร

ให้กรอบกว้าง $x$ เซนติเมตร กรอบอยู่ทั้งสองข้างของรูป ความกว้างรวมจึงเป็น $10 + 2x$ ความยาวรวมเป็น $15 + 2x$
$(10 + 2x)(15 + 2x) = 266$ กระจายได้ $4x^2 + 50x + 150 = 266$
ย้ายข้างได้ $4x^2 + 50x - 116 = 0$ หารด้วย $2$ ได้ $2x^2 + 25x - 58 = 0$
แยกตัวประกอบไม่เห็นทันที ใช้สูตร $b^2 - 4ac = 625 + 464 = 1089 = 33^2$
$x = \dfrac{-25 \pm 33}{4}$ ได้ $x = 2$ หรือ $x = -\dfrac{29}{2}$
ความกว้างของกรอบติดลบไม่ได้ กรอบกว้าง 2 เซนติเมตร ตรวจ $14 \times 19 = 266$

ลองคิดก่อน

ข้อนี้ถ้าตั้งสมการเป็น $(10 + x)(15 + x) = 266$ จะได้คำตอบเท่าไร และผิดตรงไหน

ดูคำตอบ

จะได้ $x^2 + 25x - 116 = 0$ ซึ่งมี $b^2 - 4ac = 1089$ เหมือนเดิม ได้ $x = 4$ หรือ $x = -29$ คำตอบ 4 ดูสมเหตุสมผลแต่ผิด เพราะกรอบอยู่ทั้งสองข้างของรูป ด้านกว้างจึงเพิ่ม $2x$ ไม่ใช่ $x$ วาดรูปก่อนตั้งสมการทุกครั้งจะเห็นเรื่องนี้ทันที

ทางเดินลัดแนวทแยง

ตัวอย่าง 3

สนามหญ้ารูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านยาวยาวกว่าด้านกว้าง 14 เมตร มีทางเดินลัดตามแนวเส้นทแยงมุมยาว 26 เมตร สนามกว้างและยาวเท่าใด

ให้สนามกว้าง $x$ เมตร ยาว $x + 14$ เมตร เส้นทแยงมุมกับสองด้านเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก
ทฤษฎีบทพีทาโกรัสจากบทที่ 10 ให้ $x^2 + (x + 14)^2 = 26^2$
กระจาย $x^2 + x^2 + 28x + 196 = 676$ ได้ $2x^2 + 28x - 480 = 0$ หารด้วย $2$ ได้ $x^2 + 14x - 240 = 0$
$(x + 24)(x - 10) = 0$ ได้ $x = -24$ หรือ $x = 10$ ตัด $-24$ ทิ้ง
สนามกว้าง 10 เมตร ยาว 24 เมตร ตรวจ $10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676 = 26^2$

เมื่อคำตอบใช้ได้ทั้งสองตัว

ตัวอย่าง 4

เตะลูกฟุตบอลโด่งขึ้นไป ความสูงของลูกบอลเมื่อเวลาผ่านไป $t$ วินาทีคือ $h = 1 + 14t - 5t^2$ เมตร ลูกบอลอยู่สูง 9 เมตรเมื่อใด

ให้ $h = 9$ ได้ $1 + 14t - 5t^2 = 9$ ย้ายข้างแล้วคูณด้วย $-1$ ได้ $5t^2 - 14t + 8 = 0$
แยกพจน์กลาง สองจำนวนที่คูณกันได้ $5 \times 8 = 40$ บวกกันได้ $-14$ คือ $-10$ กับ $-4$
$5t^2 - 10t - 4t + 8 = 5t(t - 2) - 4(t - 2) = (5t - 4)(t - 2) = 0$
$t = \tfrac{4}{5} = 0.8$ หรือ $t = 2$
ทั้งสองค่าเป็นบวกและใช้ได้ ลูกบอลผ่านความสูง 9 เมตรสองครั้ง ตอนขาขึ้นที่ 0.8 วินาที และตอนขาลงที่ 2 วินาที

ตัวอย่างนี้ห้ามตัดคำตอบใดทิ้ง เพราะทั้งสองค่ามีความหมายในเรื่องจริง การตัดคำตอบต้องมีเหตุผลจากโจทย์เสมอ ไม่ใช่ตัดเพราะเคยชินว่าต้องเหลือตัวเดียว

ลองคิดก่อน

ลูกบอลลูกเดิมขึ้นไปถึงความสูง 12 เมตรได้ไหม

ดูคำตอบ

ให้ $h = 12$ ได้ $5t^2 - 14t + 11 = 0$ ซึ่งมี $b^2 - 4ac = 196 - 220 = -24$ น้อยกว่าศูนย์ สมการไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง แปลว่าไม่มีเวลาไหนที่ลูกบอลสูง 12 เมตร คือขึ้นไปไม่ถึง การที่สมการไม่มีคำตอบจึงตอบคำถามได้เหมือนกัน

สรุป

ตั้งตัวแปร เขียนปริมาณอื่นด้วยตัวแปรนั้น ตั้งสมการ แล้วแก้
วาดรูปเมื่อโจทย์เกี่ยวกับความยาวหรือพื้นที่ จะเห็นว่าอะไรเพิ่มขึ้นกี่ด้าน
ตรวจทุกคำตอบกับเรื่องในโจทย์ ตัดเฉพาะค่าที่มีเหตุผลว่าเป็นไปไม่ได้
คำตอบสองตัวอาจใช้ได้ทั้งคู่ และสมการที่ไม่มีคำตอบก็บอกว่าสิ่งนั้นเกิดขึ้นไม่ได้
แทนคำตอบกลับในเรื่องเดิมเพื่อตรวจทุกครั้ง