20.4 ผลต่างของกำลังสอง ลองคิดในใจ 21 × 19 21 \times 19 21 × 19 ( 20 + 1 ) ( 20 − 1 ) (20 + 1)(20 - 1) ( 20 + 1 ) ( 20 − 1 ) 400 − 20 + 20 − 1 400 - 20 + 20 - 1 400 − 20 + 20 − 1 400 − 1 = 399 400 - 1 = 399 400 − 1 = 399
หน้านี้ใช้ข้อสังเกตเดียวกันกลับด้าน ถ้าเจอพหุนามที่เป็นกำลังสองลบกำลังสอง จะแยกเป็นผลคูณได้ทันที
สูตรผลต่างของกำลังสอง
ผลต่างของกำลังสอง
A 2 − B 2 = ( A + B ) ( A − B ) A^2 - B^2 = (A + B)(A - B) A 2 − B 2 = ( A + B ) ( A − B ) ตรวจด้วยการคูณ ( A + B ) ( A − B ) = A 2 − A B + A B − B 2 = A 2 − B 2 (A + B)(A - B) = A^2 - AB + AB - B^2 = A^2 - B^2 ( A + B ) ( A − B ) = A 2 − A B + A B − B 2 = A 2 − B 2 A B AB A B − A B -AB − A B
ดูเป็นรูปก็ได้ เริ่มจากสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้าน a a a b b b a 2 − b 2 a^2 - b^2 a 2 − b 2
ก่อนเลื่อนแถบย้ายชิ้น ลองเดาว่าสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ได้จะกว้างและยาวเท่าไร
ชิ้นสีส้มกว้าง a − b a - b a − b b b b a + b a + b a + b a − b a - b a − b a 2 − b 2 = ( a + b ) ( a − b ) a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) a 2 − b 2 = ( a + b ) ( a − b )
พหุนามจะใช้สูตรนี้ได้ ต้องมีสองพจน์ ทั้งสองพจน์เป็นกำลังสอง และเป็นผลต่าง คือลบกัน
ตัวอย่าง 1
แยกตัวประกอบของ x 2 − 49 x^2 - 49 x 2 − 49 25 − x 2 25 - x^2 25 − x 2
x 2 − 49 = x 2 − 7 2 x^2 - 49 = x^2 - 7^2 x 2 − 49 = x 2 − 7 2 A = x A = x A = x B = 7 B = 7 B = 7 x 2 − 49 = ( x + 7 ) ( x − 7 ) x^2 - 49 = (x + 7)(x - 7) x 2 − 49 = ( x + 7 ) ( x − 7 ) 25 − x 2 = 5 2 − x 2 25 - x^2 = 5^2 - x^2 25 − x 2 = 5 2 − x 2 A = 5 A = 5 A = 5 B = x B = x B = x x 2 x^2 x 2 25 − x 2 = ( 5 + x ) ( 5 − x ) 25 - x^2 = (5 + x)(5 - x) 25 − x 2 = ( 5 + x ) ( 5 − x ) ตัวอย่าง 2
แยกตัวประกอบของ 9 x 2 − 25 9x^2 - 25 9 x 2 − 25 16 x 2 − 81 y 2 16x^2 - 81y^2 16 x 2 − 81 y 2
9 x 2 = ( 3 x ) 2 9x^2 = (3x)^2 9 x 2 = ( 3 x ) 2 25 = 5 2 25 = 5^2 25 = 5 2 9 x 2 − 25 = ( 3 x + 5 ) ( 3 x − 5 ) 9x^2 - 25 = (3x + 5)(3x - 5) 9 x 2 − 25 = ( 3 x + 5 ) ( 3 x − 5 ) 16 x 2 = ( 4 x ) 2 16x^2 = (4x)^2 16 x 2 = ( 4 x ) 2 81 y 2 = ( 9 y ) 2 81y^2 = (9y)^2 81 y 2 = ( 9 y ) 2 16 x 2 − 81 y 2 = ( 4 x + 9 y ) ( 4 x − 9 y ) 16x^2 - 81y^2 = (4x + 9y)(4x - 9y) 16 x 2 − 81 y 2 = ( 4 x + 9 y ) ( 4 x − 9 y ) ลองคิดก่อน
ปิ่นแยกตัวประกอบของ x 2 − 16 x^2 - 16 x 2 − 16 ( x − 4 ) 2 (x - 4)^2 ( x − 4 ) 2 x 2 x^2 x 2 16 16 16
ดูคำตอบ ไม่ถูก ( x − 4 ) 2 = x 2 − 8 x + 16 (x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16 ( x − 4 ) 2 = x 2 − 8 x + 16 + 16 +16 + 16 − 16 -16 − 16 x 2 − 16 = ( x + 4 ) ( x − 4 ) x^2 - 16 = (x + 4)(x - 4) x 2 − 16 = ( x + 4 ) ( x − 4 )
ลองคิดก่อน
x 2 + 25 x^2 + 25 x 2 + 25
ดูคำตอบ แยกเป็น ( x + p ) ( x + q ) (x + p)(x + q) ( x + p ) ( x + q ) x x x p + q = 0 p + q = 0 p + q = 0 q = − p q = -p q = − p p q = − p 2 pq = -p^2 pq = − p 2 25 25 25 ผลต่าง เท่านั้น ผลบวกของกำลังสองอย่าง x 2 + 25 x^2 + 25 x 2 + 25
ดึงตัวร่วมก่อน
ตัวอย่าง 3
แยกตัวประกอบของ 2 x 2 − 18 2x^2 - 18 2 x 2 − 18
2 x 2 2x^2 2 x 2 18 18 18 2 2 2 2 ( x 2 − 9 ) 2(x^2 - 9) 2 ( x 2 − 9 ) ในวงเล็บเป็นผลต่างของกำลังสอง x 2 − 9 = ( x + 3 ) ( x − 3 ) x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3) x 2 − 9 = ( x + 3 ) ( x − 3 )
ได้ 2 x 2 − 18 = 2 ( x + 3 ) ( x − 3 ) 2x^2 - 18 = 2(x + 3)(x - 3) 2 x 2 − 18 = 2 ( x + 3 ) ( x − 3 )
A และ B เป็นพหุนามได้
สูตรใช้ได้ไม่ว่า A A A B B B A A A B B B
ตัวอย่าง 4
แยกตัวประกอบของ ( x + 2 ) 2 − 9 (x + 2)^2 - 9 ( x + 2 ) 2 − 9
A = x + 2 A = x + 2 A = x + 2 9 = 3 2 9 = 3^2 9 = 3 2 B = 3 B = 3 B = 3 ( x + 2 ) 2 − 9 = [ ( x + 2 ) + 3 ] [ ( x + 2 ) − 3 ] (x + 2)^2 - 9 = \big[(x + 2) + 3\big]\big[(x + 2) - 3\big] ( x + 2 ) 2 − 9 = [ ( x + 2 ) + 3 ] [ ( x + 2 ) − 3 ] รวมพจน์ในวงเล็บ ได้ ( x + 5 ) ( x − 1 ) (x + 5)(x - 1) ( x + 5 ) ( x − 1 )
ตรวจ ( x + 5 ) ( x − 1 ) = x 2 + 4 x − 5 (x + 5)(x - 1) = x^2 + 4x - 5 ( x + 5 ) ( x − 1 ) = x 2 + 4 x − 5 ( x + 2 ) 2 − 9 = x 2 + 4 x + 4 − 9 = x 2 + 4 x − 5 (x + 2)^2 - 9 = x^2 + 4x + 4 - 9 = x^2 + 4x - 5 ( x + 2 ) 2 − 9 = x 2 + 4 x + 4 − 9 = x 2 + 4 x − 5
หน้า 20.3 เขียน x 2 + 6 x + 5 = ( x + 3 ) 2 − 4 x^2 + 6x + 5 = (x + 3)^2 - 4 x 2 + 6 x + 5 = ( x + 3 ) 2 − 4
( x + 3 ) 2 − 2 2 = ( x + 3 + 2 ) ( x + 3 − 2 ) = ( x + 5 ) ( x + 1 ) (x + 3)^2 - 2^2 = (x + 3 + 2)(x + 3 - 2) = (x + 5)(x + 1) ( x + 3 ) 2 − 2 2 = ( x + 3 + 2 ) ( x + 3 − 2 ) = ( x + 5 ) ( x + 1 ) ได้คำตอบเดียวกับการหาสองจำนวนที่คูณกันได้ 5 5 5 6 6 6
คิดเลขในใจ
ตัวอย่าง 5
หาค่าของ 102 2 − 98 2 102^2 - 98^2 10 2 2 − 9 8 2 45 × 35 45 \times 35 45 × 35
102 2 − 98 2 = ( 102 + 98 ) ( 102 − 98 ) = 200 × 4 = 800 102^2 - 98^2 = (102 + 98)(102 - 98) = 200 \times 4 = 800 10 2 2 − 9 8 2 = ( 102 + 98 ) ( 102 − 98 ) = 200 × 4 = 800 45 45 45 35 35 35 40 40 40 5 5 5 45 × 35 = ( 40 + 5 ) ( 40 − 5 ) 45 \times 35 = (40 + 5)(40 - 5) 45 × 35 = ( 40 + 5 ) ( 40 − 5 ) = 40 2 − 5 2 = 1600 − 25 = 1575 = 40^2 - 5^2 = 1600 - 25 = 1575 = 4 0 2 − 5 2 = 1600 − 25 = 1575 เลือกวิธีแยกตัวประกอบ
ทั้งบทมีสี่วิธี เจอพหุนามดีกรีสองตัวไหนก็ไล่ตามลำดับนี้
ดึงตัวร่วม ก่อนเสมอ ถ้ามีดูจำนวนพจน์ที่เหลือ
สองพจน์ที่ลบกันและเป็นกำลังสองทั้งคู่ ใช้ผลต่างของกำลังสอง
สามพจน์ ดูก่อนว่าเป็นกำลังสองสมบูรณ์ ไหม ถ้าไม่ใช่ หาสองจำนวนที่คูณกันได้ a c ac a c b b b
สี่พจน์ ลองจัดกลุ่ม
ดูตัวประกอบแต่ละตัวว่าแยกต่อได้อีกไหม แล้วคูณกลับตรวจ
ตัวอย่าง 6
แยกตัวประกอบของ 3 x 2 − 12 x + 12 3x^2 - 12x + 12 3 x 2 − 12 x + 12
ดึงตัวร่วม 3 3 3 3 ( x 2 − 4 x + 4 ) 3(x^2 - 4x + 4) 3 ( x 2 − 4 x + 4 )
ในวงเล็บมีสามพจน์ x 2 = ( x ) 2 x^2 = (x)^2 x 2 = ( x ) 2 4 = 2 2 4 = 2^2 4 = 2 2 2 A B = 4 x 2AB = 4x 2 A B = 4 x
ได้ 3 x 2 − 12 x + 12 = 3 ( x − 2 ) 2 3x^2 - 12x + 12 = 3(x - 2)^2 3 x 2 − 12 x + 12 = 3 ( x − 2 ) 2
สรุป
A 2 − B 2 = ( A + B ) ( A − B ) A^2 - B^2 = (A + B)(A - B) A 2 − B 2 = ( A + B ) ( A − B ) A A A B B B ผลบวกของกำลังสอง เช่น x 2 + 25 x^2 + 25 x 2 + 25
ใช้คิดเลขในใจได้ เช่น 45 × 35 = 40 2 − 5 2 45 \times 35 = 40^2 - 5^2 45 × 35 = 4 0 2 − 5 2
ลำดับการแยกตัวประกอบ ดึงตัวร่วม ดูจำนวนพจน์ เลือกวิธี แล้วตรวจว่าแยกครบ