descartesclytie0x/descartes-math-platform
บทที่ 23 สมการกำลังสองตัวแปรเดียวตรงกับหนังสือ ม.3 เล่ม 1 บทที่ 3

23.3 สูตรสมการกำลังสอง

การทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ใช้ได้กับทุกสมการ แต่ถ้า bb เป็นเลขคี่หรือ aa หาร bb ไม่ลงตัว จะเจอเศษส่วนตลอดทาง เช่น 3x2+5x−1=03x^2 + 5x - 1 = 0 ต้องหารด้วย 33 แล้วเติม 2536\tfrac{25}{36} ถ้าทำกำลังสองสมบูรณ์กับ ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 ที่เป็นตัวอักษรไว้ครั้งเดียว จะได้สูตรที่แทนค่าได้ทันทีทุกครั้ง

ที่มาของสูตร

ทำทีละขั้นเหมือนตัวอย่าง 5 ของหน้าที่แล้ว เพียงแต่ใช้ aa bb cc แทนตัวเลข โดย a≠0a \neq 0

  1. หารทั้งสมการด้วย aa ได้ x2+bax+ca=0x^2 + \tfrac{b}{a}x + \tfrac{c}{a} = 0
  2. ย้ายค่าคงตัว x2+bax=−cax^2 + \tfrac{b}{a}x = -\tfrac{c}{a}
  3. ครึ่งหนึ่งของ ba\tfrac{b}{a} คือ b2a\tfrac{b}{2a} เติม b24a2\tfrac{b^2}{4a^2} ทั้งสองข้าง (x+b2a)2=b24a2−ca\left(x + \tfrac{b}{2a}\right)^2 = \tfrac{b^2}{4a^2} - \tfrac{c}{a}
  4. รวมข้างขวาเป็นเศษส่วนเดียว ตัวส่วน 4a24a^2 ได้ (x+b2a)2=b2−4ac4a2\left(x + \tfrac{b}{2a}\right)^2 = \tfrac{b^2 - 4ac}{4a^2}
  5. ถ้า b2−4ac≥0b^2 - 4ac \geq 0 ถอดรากที่สองได้ x+b2a=±b2−4ac2ax + \tfrac{b}{2a} = \pm\tfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} (รากที่สองของ 4a24a^2 คือ 2a2a หรือ −2a-2a แต่มี ±\pm อยู่แล้วจึงครอบคลุมทั้งสองกรณี)
  6. ย้าย b2a\tfrac{b}{2a} ไปข้างขวา รวมเป็นเศษส่วนเดียว ได้สูตรข้างล่าง

สูตรสมการกำลังสอง

คำตอบของสมการ ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 เมื่อ a≠0a \neq 0 และ b2−4ac≥0b^2 - 4ac \geq 0 คือ

x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

ก่อนแทนค่า ต้องจัดสมการให้อยู่ในรูปทั่วไปที่ข้างหนึ่งเป็นศูนย์ แล้วเขียน aa bb cc พร้อมเครื่องหมายให้ชัด

ตัวอย่าง 1

แก้สมการ x2+5x+2=0x^2 + 5x + 2 = 0

  1. a=1a = 1 b=5b = 5 c=2c = 2
  2. b2−4ac=25−4(1)(2)=17b^2 - 4ac = 25 - 4(1)(2) = 17
  3. x=−5±172(1)=−5±172x = \dfrac{-5 \pm \sqrt{17}}{2(1)} = \dfrac{-5 \pm \sqrt{17}}{2}
  4. คำตอบคือ −5+172\dfrac{-5 + \sqrt{17}}{2} และ −5−172\dfrac{-5 - \sqrt{17}}{2} ประมาณ −0.44-0.44 และ −4.56-4.56

ตัวอย่าง 2

แก้สมการ 3x2−2x−8=03x^2 - 2x - 8 = 0

  1. a=3a = 3 b=−2b = -2 c=−8c = -8
  2. b2−4ac=(−2)2−4(3)(−8)=4+96=100b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(3)(-8) = 4 + 96 = 100
  3. x=−(−2)±1002(3)=2±106x = \dfrac{-(-2) \pm \sqrt{100}}{2(3)} = \dfrac{2 \pm 10}{6}
  4. x=126=2x = \dfrac{12}{6} = 2 หรือ x=−86=−43x = \dfrac{-8}{6} = -\dfrac{4}{3}

b2−4ac=100b^2 - 4ac = 100 เป็นกำลังสองของจำนวนเต็ม คำตอบจึงไม่มีเครื่องหมายราก แปลว่าสมการนี้แยกตัวประกอบได้ด้วย คือ (3x+4)(x−2)=0(3x + 4)(x - 2) = 0 ถ้าเห็นตัวประกอบตั้งแต่แรก วิธีของหน้า 23.1 จะเร็วกว่า

ตัวอย่าง 3

แก้สมการ x2=3x+5x^2 = 3x + 5

  1. จัดให้อยู่ในรูปทั่วไปก่อน x2−3x−5=0x^2 - 3x - 5 = 0 จึงได้ a=1a = 1 b=−3b = -3 c=−5c = -5
  2. b2−4ac=(−3)2−4(1)(−5)=9+20=29b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(-5) = 9 + 20 = 29
  3. x=−(−3)±292=3±292x = \dfrac{-(-3) \pm \sqrt{29}}{2} = \dfrac{3 \pm \sqrt{29}}{2}

ลองคิดก่อน

ในตัวอย่าง 3 นักเรียนคนหนึ่งคิด b2−4acb^2 - 4ac ได้ −9−20=−29-9 - 20 = -29 แล้วสรุปว่าสมการไม่มีคำตอบ พลาดตรงไหนบ้าง

ดูคำตอบ

พลาดสองที่ ที่แรก b=−3b = -3 ต้องยกกำลังทั้งก้อน (−3)2=9(-3)^2 = 9 ไม่ใช่ −32=−9-3^2 = -9 ที่สอง c=−5c = -5 ทำให้ −4ac=−4(1)(−5)=+20-4ac = -4(1)(-5) = +20 ลบคูณลบเป็นบวก

ทางกันพลาดคือใส่วงเล็บรอบทุกค่าที่แทนลงไป (−3)2−4(1)(−5)(-3)^2 - 4(1)(-5) แล้วค่อยคิดทีละพจน์

b² − 4ac บอกจำนวนคำตอบ

ค่า b2−4acb^2 - 4ac อยู่ใต้เครื่องหมายราก ค่านี้ค่าเดียวจึงบอกได้ว่าสมการมีคำตอบกี่คำตอบ โดยไม่ต้องแก้จนจบ ค่านี้มีชื่อเรียกว่าดิสคริมิแนนต์ (discriminant)

สมบัติ

สำหรับสมการ ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 เมื่อ a≠0a \neq 0

  • ถ้า b2−4ac>0b^2 - 4ac > 0 สมการมีคำตอบที่เป็นจำนวนจริงสองคำตอบที่ไม่เท่ากัน เพราะ +x+\sqrt{\phantom{x}} กับ −x-\sqrt{\phantom{x}} ให้ค่าต่างกัน
  • ถ้า b2−4ac=0b^2 - 4ac = 0 สมการมีคำตอบเดียว คือ x=−b2ax = -\tfrac{b}{2a} เพราะ ±0\pm\sqrt{0} เป็นศูนย์ทั้งคู่
  • ถ้า b2−4ac<0b^2 - 4ac < 0 สมการไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง เพราะจำนวนลบไม่มีรากที่สองที่เป็นจำนวนจริง

กราฟข้างล่างคือกราฟของ y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c ซึ่งเป็นเส้นโค้งที่จะเรียนละเอียดในบทที่ 25 ตอนนี้ให้ดูแค่จุดที่เส้นโค้งตัดแกน xx ที่จุดนั้น y=0y = 0 พิกัด xx ของจุดตัดจึงเป็นคำตอบของสมการ ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 พอดี

ตั้ง a=1a = 1 b=4b = 4 c=4c = 4 แล้วดูว่าเส้นโค้งแตะแกน xx กี่จุด จากนั้นเลื่อน cc ขึ้นเป็น 66 จุดตัดหายไปไหน

ตัวอย่าง 4

ไม่ต้องแก้สมการ บอกว่าแต่ละสมการมีคำตอบที่เป็นจำนวนจริงกี่คำตอบ

(1) x2−6x+9=0x^2 - 6x + 9 = 0 (2) 2x2+3x+5=02x^2 + 3x + 5 = 0 (3) x2+x−1=0x^2 + x - 1 = 0

  1. (−6)2−4(1)(9)=36−36=0(-6)^2 - 4(1)(9) = 36 - 36 = 0 มีคำตอบเดียว
  2. 32−4(2)(5)=9−40=−313^2 - 4(2)(5) = 9 - 40 = -31 น้อยกว่าศูนย์ ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง
  3. 12−4(1)(−1)=1+4=51^2 - 4(1)(-1) = 1 + 4 = 5 มากกว่าศูนย์ มีสองคำตอบ

ตัวอย่าง 5

หาค่า kk ที่ทำให้สมการ x2+kx+9=0x^2 + kx + 9 = 0 มีคำตอบเดียว

  1. มีคำตอบเดียวเมื่อ b2−4ac=0b^2 - 4ac = 0 ในที่นี้ a=1a = 1 b=kb = k c=9c = 9
  2. k2−4(1)(9)=0k^2 - 4(1)(9) = 0 ได้ k2=36k^2 = 36
  3. k=6k = 6 หรือ k=−6k = -6 ตรวจ k=6k = 6 ได้ x2+6x+9=(x+3)2x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2 และ k=−6k = -6 ได้ (x−3)2(x - 3)^2 เป็นกำลังสองสมบูรณ์ทั้งคู่

เลือกวิธีไหนดี

สมการหน้าตาแบบนี้วิธีที่เร็ว
ไม่มีพจน์ xx เช่น 3x2=273x^2 = 27จัดเป็น x2=kx^2 = k แล้วถอดราก
ไม่มีค่าคงตัว เช่น x2=4xx^2 = 4xดึงตัวร่วม xx
เห็นตัวประกอบที่เป็นจำนวนเต็มเร็วแยกตัวประกอบ
อยู่ในรูป (x+p)2=q(x + p)^2 = q แล้วถอดรากทั้งก้อน
นอกจากนั้นสูตรสมการกำลังสอง

สูตรใช้ได้กับทุกสมการ ถ้าลังเลก็ใช้สูตรได้เสมอ แต่ถ้าสมการแยกตัวประกอบง่าย การแยกตัวประกอบพลาดน้อยกว่าเพราะคิดเลขน้อยกว่า

สรุป

  • x=−b±b2−4ac2ax = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ได้จากการทำกำลังสองสมบูรณ์กับ ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0
  • จัดสมการให้ข้างหนึ่งเป็นศูนย์ก่อน แล้วเขียน aa bb cc พร้อมเครื่องหมาย
  • ใส่วงเล็บตอนแทนค่าติดลบ เช่น (−3)2=9(-3)^2 = 9 และ −4(1)(−5)=20-4(1)(-5) = 20
  • b2−4acb^2 - 4ac มากกว่าศูนย์ มีสองคำตอบ เท่ากับศูนย์ มีคำตอบเดียว น้อยกว่าศูนย์ ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง