17.1 รูปที่เท่ากันทุกประการ

ห้องเรียนปูพื้นด้วยกระเบื้องที่ออกมาจากแม่พิมพ์เดียวกัน ถ้ากระเบื้องแผ่นหนึ่งแตก ช่างหยิบแผ่นใหม่จากกล่องมาวางแทนได้เลยโดยไม่ต้องวัดหรือตัด เพราะแผ่นใหม่วางลงในช่องของแผ่นเก่าได้พอดีทุกขอบ แต่ถ้าหยิบกระเบื้องรุ่นที่ใหญ่กว่า ต่อให้ลายเหมือนกันทุกอย่างก็ใส่แทนไม่ได้ หน้านี้ทำให้คำว่าวางทับได้พอดีชัดเจนขึ้น และเขียนเป็นสัญลักษณ์ได้

ทับกันได้สนิท

นิยาม

รูปเรขาคณิตสองรูปเท่ากันทุกประการ (congruent) เมื่อเคลื่อนที่รูปหนึ่งไปทับอีกรูปหนึ่งได้สนิทพอดี

การเคลื่อนที่ในที่นี้คือการแปลงสามแบบจากบทที่ 13 คือ การเลื่อนขนาน การหมุน และการสะท้อนซึ่งก็คือการพลิกรูป ทั้งสามแบบไม่เปลี่ยนความยาวของด้านและขนาดของมุม รูปจึงไม่ยืด ไม่หด และไม่บิดเบี้ยว จะใช้กี่ครั้งต่อกันก็ได้

ลองเองในกราฟข้างล่าง รูปสามเหลี่ยม $ABC$ สีส้มเคลื่อนได้ ส่วนรูปสามเหลี่ยม $DEF$ เส้นประอยู่กับที่ ก่อนลงมือ เดาก่อนว่าต้องพลิกรูปด้วยหรือไม่

ลากจุด $A$ เพื่อเลื่อนรูป เลื่อนแถบเพื่อหมุน ติ๊กช่องเพื่อพลิก จนรูปทั้งสองทับกันสนิท

ถ้าหมุนอย่างเดียวโดยไม่พลิก จะหมุนกี่องศาก็ทับไม่สนิท เพราะ $DEF$ เป็นภาพสะท้อนของ $ABC$ แต่ถ้าพลิกหนึ่งครั้ง หมุน $90^\circ$ แล้วเลื่อนจุด $A$ ไปที่ $D$ รูปจะทับกันพอดี จึงสรุปได้ว่าสองรูปนี้เท่ากันทุกประการ

ลองคิดก่อน

รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาด $2 \times 8$ เซนติเมตร กับรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด $4 \times 4$ เซนติเมตร มีพื้นที่ $16$ ตารางเซนติเมตรเท่ากัน สองรูปนี้เท่ากันทุกประการไหม

ดูคำตอบ

ไม่เท่ากันทุกประการ พื้นที่เท่ากันยังไม่พอ ด้านยาว $8$ เซนติเมตรของรูปแรกยาวกว่าทุกด้านของรูปที่สอง เคลื่อนยังไงก็ทับกันไม่สนิท ส่วนทางกลับกันเป็นจริงเสมอ รูปที่เท่ากันทุกประการต้องมีพื้นที่เท่ากัน เพราะทับกันได้พอดี

ทำนองเดียวกัน รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้าน $3$ เซนติเมตรกับด้าน $6$ เซนติเมตรมีรูปร่างเหมือนกัน แต่ไม่เท่ากันทุกประการ เพราะขนาดต่างกัน

ส่วนที่สมนัยกัน

เมื่อรูปสองรูปทับกันสนิท จุดยอดแต่ละจุดของรูปแรกจะทับจุดยอดหนึ่งจุดของอีกรูป ในกราฟข้างบน $A$ ทับ $D$ $B$ ทับ $E$ และ $C$ ทับ $F$ จุดยอดที่ทับกันเรียกว่าจุดยอดที่สมนัยกัน ด้านที่ทับกัน เช่น $AB$ กับ $DE$ เรียกว่าด้านคู่ที่สมนัยกัน และมุมที่ทับกัน เช่น $A\hat{B}C$ กับ $D\hat{E}F$ เรียกว่ามุมคู่ที่สมนัยกัน

สมบัติ

ถ้ารูปเรขาคณิตสองรูปเท่ากันทุกประการ แล้ว

ด้านคู่ที่สมนัยกันยาวเท่ากัน
มุมคู่ที่สมนัยกันมีขนาดเท่ากัน

สมบัตินี้คือเหตุผลที่ช่างเปลี่ยนกระเบื้องได้โดยไม่ต้องวัด รู้ว่าสองรูปเท่ากันทุกประการแล้ว ก็รู้ความยาวทุกด้านและขนาดทุกมุมของอีกรูปทันที

ตัวอย่าง 1

รูปสี่เหลี่ยม $ABCD$ เท่ากันทุกประการกับรูปสี่เหลี่ยม $PQRS$ โดย $A$ $B$ $C$ $D$ สมนัยกับ $P$ $Q$ $R$ $S$ ตามลำดับ จงหาความยาวของ $QR$ ขนาดของ $\hat{Q}$ และขนาดของ $\hat{S}$

รูป PQRS เป็นภาพสะท้อนของรูป ABCD จึงหันกลับด้าน

$Q$ สมนัยกับ $B$ และ $R$ สมนัยกับ $C$ ด้าน $QR$ จึงสมนัยกับด้าน $BC$ ได้ $QR = BC = 4$ เซนติเมตร
$\hat{Q}$ สมนัยกับ $\hat{B}$ จึงได้ $\hat{Q} = 110^\circ$
$\hat{S}$ สมนัยกับ $\hat{D}$ ซึ่งรูปไม่ได้บอกขนาดไว้ แต่มุมภายในของรูปสี่เหลี่ยมรวมกันได้ $360^\circ$ จึงได้ $\hat{D} = 360^\circ - 70^\circ - 110^\circ - 85^\circ = 95^\circ$
ดังนั้น $\hat{S} = 95^\circ$

ตัวอย่างนี้จับคู่จุดยอดตามที่โจทย์บอก ไม่ได้ดูจากตำแหน่งบนกระดาษ เพราะรูปที่พลิกหรือหมุนแล้ว จุดที่อยู่มุมซ้ายล่างของรูปแรกไม่จำเป็นต้องอยู่มุมซ้ายล่างของรูปที่สอง ในรูปนี้ $A$ อยู่ซ้ายล่าง แต่ $P$ ที่สมนัยกับมันอยู่ขวาล่าง

เขียนด้วยสัญลักษณ์

สัญลักษณ์ $\cong$ อ่านว่า เท่ากันทุกประการกับ เช่น $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ อ่านว่า รูปสามเหลี่ยม $ABC$ เท่ากันทุกประการกับรูปสามเหลี่ยม $DEF$

ลำดับของตัวอักษรสำคัญมาก ประโยค $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ บอกด้วยว่าจุดยอดตัวที่หนึ่ง สอง และสาม สมนัยกันตามลำดับ คือ $A$ กับ $D$ $B$ กับ $E$ และ $C$ กับ $F$ จากประโยคเดียวจึงอ่านสิ่งที่เท่ากันได้ครบหกคู่

ด้านคู่ที่สมนัยกัน	มุมคู่ที่สมนัยกัน
$AB = DE$	$\hat{A} = \hat{D}$
$BC = EF$	$\hat{B} = \hat{E}$
$CA = FD$	$\hat{C} = \hat{F}$

วิธีอ่านด้านให้เร็ว ด้าน $BC$ ใช้ตัวที่สองกับตัวที่สามของชื่อแรก ด้านคู่ของมันจึงเป็นตัวที่สองกับตัวที่สามของชื่อหลัง คือ $EF$

ตัวอย่าง 2

ในรูปข้างล่าง ด้านที่มีจำนวนขีดเท่ากันยาวเท่ากัน จงเขียนประโยคบอกว่ารูปสามเหลี่ยมสองรูปนี้เท่ากันทุกประการ โดยเริ่มจาก $\triangle ABC$

ด้านที่มีจำนวนขีดเท่ากันยาวเท่ากัน

หาจุดที่สมนัยกับ $A$ จุด $A$ เป็นที่พบกันของด้านหนึ่งขีด ( $AB$ ) กับด้านสามขีด ( $CA$ ) ในรูปขวา ด้านหนึ่งขีดคือ $RP$ และด้านสามขีดคือ $QR$ สองด้านนี้พบกันที่ $R$ จึงได้ $A$ สมนัยกับ $R$
จุด $B$ เป็นที่พบกันของด้านหนึ่งขีดกับด้านสองขีด ในรูปขวาคือ $RP$ กับ $PQ$ ซึ่งพบกันที่ $P$ จึงได้ $B$ สมนัยกับ $P$
ที่เหลือคือ $C$ สมนัยกับ $Q$ ตรวจได้ว่า $C$ เป็นที่พบกันของด้านสองขีดกับด้านสามขีด ตรงกับ $Q$
เขียนได้ $\triangle ABC \cong \triangle RPQ$

ลองคิดก่อน

เพื่อนตอบตัวอย่าง 2 ว่า $\triangle ABC \cong \triangle PQR$ เพราะเห็นว่าสองรูปเท่ากันทุกประการแน่ๆ เลยเรียงชื่อตามตัวอักษรให้ดูง่าย คำตอบนี้ผิดตรงไหน

ดูคำตอบ

สองรูปเท่ากันทุกประการจริง แต่ประโยค $\triangle ABC \cong \triangle PQR$ บอกว่า $A$ สมนัยกับ $P$ และ $B$ สมนัยกับ $Q$ จึงได้ $AB = PQ$ ทั้งที่ในรูป $AB$ มีหนึ่งขีดแต่ $PQ$ มีสองขีด ประโยคนี้จึงผิด ถ้าอยากให้ทางขวาเป็น $\triangle PQR$ ต้องเรียงทางซ้ายใหม่ให้สมนัยกัน คือ $\triangle BCA \cong \triangle PQR$ ซึ่งมีความหมายเดียวกับ $\triangle ABC \cong \triangle RPQ$ ทุกอย่าง

สรุป

รูปสองรูปเท่ากันทุกประการเมื่อเลื่อน หมุน หรือพลิก แล้วทับกันได้สนิท
รูปที่เท่ากันทุกประการมีด้านคู่ที่สมนัยกันยาวเท่ากัน และมุมคู่ที่สมนัยกันมีขนาดเท่ากัน
พื้นที่เท่ากันหรือรูปร่างเหมือนกันอย่างเดียว ยังไม่พอให้เท่ากันทุกประการ
ใน $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ ตัวอักษรที่อยู่ลำดับเดียวกันสมนัยกัน ต้องเรียงให้ถูก