descartesclytie0x/descartes-math-platform
บทที่ 39 ฟังก์ชันตรีโกณมิติตรงกับหนังสือ เพิ่มเติม ม.5 เล่ม 1 บทที่ 1เพิ่มเติม

39.4 สมการตรีโกณมิติ

ชิงช้าสวรรค์ในหน้า 39.3 มีความสูง h=22−20cos⁡πt10h = 22 - 20\cos\tfrac{\pi t}{10} เมตร ถ้าอยากรู้ว่าช่วงไหนกระเช้าสูงเกิน 3232 เมตร ต้องหาก่อนว่ากระเช้าอยู่ที่ 3232 เมตรพอดีเมื่อไร ซึ่งก็คือการแก้สมการ 22−20cos⁡πt10=3222 - 20\cos\tfrac{\pi t}{10} = 32 แต่ลองนึกภาพการนั่งชิงช้าหนึ่งรอบ กระเช้าผ่านความสูง 3232 เมตรสองครั้ง ขาขึ้นครั้งหนึ่งและขาลงอีกครั้ง คำตอบจึงมีอย่างน้อยสองค่า

นี่คือความต่างสำคัญระหว่างสมการตรีโกณมิติกับสมการเชิงเส้นในบทก่อนๆ ฟังก์ชันตรีโกณมิติวนกลับมาที่ค่าเดิมซ้ำๆ ค่าหนึ่งค่าจึงมาจากมุมหลายมุม การหามุมได้หนึ่งมุมยังไม่ใช่คำตอบที่ครบ หน้านี้จะทำขั้นตอนที่เก็บคำตอบได้ครบทุกตัวในช่วงที่โจทย์กำหนด

ทำไมคำตอบมีหลายค่า

สมการ sin⁡x=12\sin x = \tfrac{1}{2} ถามว่ามุมไหนมีจุดปลายบนวงกลมหนึ่งหน่วยสูง 12\tfrac{1}{2} ลากเส้นแนวนอน y=12y = \tfrac{1}{2} ตัดวงกลม จะตัดสองจุด จุดหนึ่งในจตุภาคที่ 1 อีกจุดในจตุภาคที่ 2 ที่สะท้อนกันข้ามแกน yy นอกจากนั้น ทุกครั้งที่หมุนเพิ่มอีกหนึ่งรอบก็กลับมาที่สองจุดเดิม

ดังนั้นการแก้สมการตรีโกณมิติจึงใช้สามขั้น

  1. หามุมอ้างอิง จากขนาดของค่า โดยไม่สนเครื่องหมาย
  2. หาจตุภาค ที่ฟังก์ชันมีเครื่องหมายตรงกับโจทย์ ซึ่งมักมีสองจตุภาค แล้วสร้างมุมในแต่ละจตุภาคจากมุมอ้างอิง
  3. ใช้คาบ บวกหรือลบรอบเต็มเพื่อเก็บทุกคำตอบที่อยู่ในช่วงที่โจทย์กำหนด และตัดคำตอบที่อยู่นอกช่วงทิ้ง

ถ้าโจทย์ไม่กำหนดช่วง ให้ตอบเป็นคำตอบทั่วไป เช่น sin⁡x=12\sin x = \tfrac{1}{2} มีคำตอบ x=π6+2nπx = \tfrac{\pi}{6} + 2n\pi หรือ x=5π6+2nπx = \tfrac{5\pi}{6} + 2n\pi เมื่อ nn เป็นจำนวนเต็ม

ตัวอย่าง 1

แก้สมการ 2sin⁡x=12\sin x = 1 เมื่อ 0≤x<2π0 \le x \lt 2\pi

  1. แยกฟังก์ชันออกมาก่อน หารด้วย 22 ได้ sin⁡x=12\sin x = \tfrac{1}{2}
  2. มุมแหลมที่มีไซน์เท่ากับ 12\tfrac{1}{2} คือ π6\tfrac{\pi}{6} นี่คือมุมอ้างอิง
  3. ไซน์เป็นบวกในจตุภาคที่ 1 และ 2 มุมในจตุภาคที่ 1 คือ π6\tfrac{\pi}{6} มุมในจตุภาคที่ 2 คือ π−π6=5π6\pi - \tfrac{\pi}{6} = \tfrac{5\pi}{6}
  4. ช่วง [0,2π)[0, 2\pi) คือหนึ่งรอบพอดี บวก 2π2\pi เข้าไปจะเกินช่วง จึงได้คำตอบ x=π6x = \tfrac{\pi}{6} และ x=5π6x = \tfrac{5\pi}{6} ตรวจโดยแทนกลับ 2sin⁡5π6=2⋅12=12\sin\tfrac{5\pi}{6} = 2 \cdot \tfrac{1}{2} = 1 ถูกต้อง

ตัวอย่าง 2

แก้สมการ tan⁡x=−3\tan x = -\sqrt{3} เมื่อ 0≤x<2π0 \le x \lt 2\pi

  1. มุมแหลมที่ tan⁡\tan เท่ากับ 3\sqrt{3} คือ π3\tfrac{\pi}{3} เป็นมุมอ้างอิง
  2. แทนเจนต์เป็นลบในจตุภาคที่ 2 และ 4 ได้ π−π3=2π3\pi - \tfrac{\pi}{3} = \tfrac{2\pi}{3} และ 2π−π3=5π32\pi - \tfrac{\pi}{3} = \tfrac{5\pi}{3}
  3. สองคำตอบนี้ห่างกัน π\pi พอดี ตรงกับคาบ π\pi ของแทนเจนต์ ถ้าช่วงยาวกว่านี้ก็ไล่บวก π\pi ต่อไปได้

ลองคิดก่อน

สมการ sin⁡x=2\sin x = 2 มีคำตอบกี่ค่าในช่วง [0,2π)[0, 2\pi)

ดูคำตอบ

ไม่มีเลย ไซน์คือความสูงของจุดบนวงกลมรัศมี 11 เรนจ์จึงเป็น [−1,1][-1, 1] เส้น y=2y = 2 ลอยอยู่เหนือวงกลมทั้งวง ไม่ตัดเลย ก่อนเริ่มหามุมอ้างอิง ให้ดูก่อนว่าค่าทางขวาอยู่ในเรนจ์ไหม จะไม่เสียเวลาหามุมที่ไม่มีอยู่จริง

เมื่อมุมภายในไม่ใช่ x เฉยๆ

สมการอย่าง cos⁡2x=12\cos 2x = \tfrac{1}{2} มีมุมภายในเป็น 2x2x ถ้า xx เดินหนึ่งรอบ มุม 2x2x เดินสองรอบ จำนวนคำตอบจึงเพิ่มเป็นสองเท่า วิธีที่ไม่พลาดคือแทนมุมภายในด้วยตัวแปรใหม่ แล้วแปลงช่วงตามไปด้วย

ตัวอย่าง 3

แก้สมการ cos⁡2x=12\cos 2x = \tfrac{1}{2} เมื่อ 0≤x<2π0 \le x \lt 2\pi ให้ครบทุกคำตอบ

  1. ให้ u=2xu = 2x ช่วงของ xx คือ 0≤x<2π0 \le x \lt 2\pi คูณด้วย 22 ได้ช่วงของ uu เป็น 0≤u<4π0 \le u \lt 4\pi คือสองรอบ
  2. แก้ cos⁡u=12\cos u = \tfrac{1}{2} มุมอ้างอิง π3\tfrac{\pi}{3} โคไซน์บวกในจตุภาคที่ 1 และ 4 รอบแรกได้ u=π3u = \tfrac{\pi}{3} และ u=2π−π3=5π3u = 2\pi - \tfrac{\pi}{3} = \tfrac{5\pi}{3}
  3. รอบที่สองบวก 2π2\pi เข้าไป ได้ u=7π3u = \tfrac{7\pi}{3} และ u=11π3u = \tfrac{11\pi}{3} ทั้งสองยังน้อยกว่า 4π4\pi บวกอีกรอบจะเกินช่วง
  4. แปลงกลับด้วย x=u2x = \tfrac{u}{2} ได้ x=π6x = \tfrac{\pi}{6} 5π6\tfrac{5\pi}{6} 7π6\tfrac{7\pi}{6} และ 11π6\tfrac{11\pi}{6} รวมสี่คำตอบ

ลองคิดก่อน

เพื่อนแก้ตัวอย่างที่ 3 โดยหา 2x=π32x = \tfrac{\pi}{3} หรือ 5π3\tfrac{5\pi}{3} แล้วหารสองได้ x=π6x = \tfrac{\pi}{6} และ 5π6\tfrac{5\pi}{6} จบแค่สองคำตอบ ขาดอะไรไป

ดูคำตอบ

เพื่อนหา u=2xu = 2x แค่ในรอบเดียว ทั้งที่ x<2πx \lt 2\pi ทำให้ uu ไปได้ถึง 4π4\pi คำตอบในรอบที่สองของ uu คือ 7π3\tfrac{7\pi}{3} กับ 11π3\tfrac{11\pi}{3} หายไปทั้งคู่ ลองแทน x=7π6x = \tfrac{7\pi}{6} ได้ cos⁡7π3=cos⁡(2π+π3)=12\cos\tfrac{7\pi}{3} = \cos\left(2\pi + \tfrac{\pi}{3}\right) = \tfrac{1}{2} เป็นคำตอบจริง ทุกครั้งที่มุมภายในมีตัวคูณ ให้แปลงช่วงก่อนเริ่มแก้

สมการที่ต้องแยกตัวประกอบ

ถ้าในสมการมีฟังก์ชันตรีโกณมิติยกกำลังสอง ให้มองฟังก์ชันนั้นเป็นตัวแปรตัวเดียว เช่น ให้ s=sin⁡xs = \sin x แล้วสมการจะกลายเป็นสมการกำลังสองที่แยกตัวประกอบได้ด้วยวิธีจากบทที่ 23 จากนั้นค่อยแก้สมการตรีโกณมิติง่ายๆ ทีละตัว

ตัวอย่าง 4

แก้สมการ 2sin⁡2x−sin⁡x−1=02\sin^2 x - \sin x - 1 = 0 เมื่อ 0≤x<2π0 \le x \lt 2\pi

  1. ให้ s=sin⁡xs = \sin x สมการกลายเป็น 2s2−s−1=02s^2 - s - 1 = 0 แยกตัวประกอบได้ (2s+1)(s−1)=0(2s + 1)(s - 1) = 0
  2. จึงได้ sin⁡x=1\sin x = 1 หรือ sin⁡x=−12\sin x = -\tfrac{1}{2} ทั้งสองค่าอยู่ในเรนจ์ [−1,1][-1, 1] จึงมีคำตอบทั้งคู่
  3. sin⁡x=1\sin x = 1 คือจุดปลายที่ยอดวงกลม (0,1)(0, 1) มีมุมเดียวในหนึ่งรอบ คือ x=π2x = \tfrac{\pi}{2}
  4. sin⁡x=−12\sin x = -\tfrac{1}{2} มุมอ้างอิง π6\tfrac{\pi}{6} ไซน์ลบในจตุภาคที่ 3 และ 4 ได้ π+π6=7π6\pi + \tfrac{\pi}{6} = \tfrac{7\pi}{6} และ 2π−π6=11π62\pi - \tfrac{\pi}{6} = \tfrac{11\pi}{6}
  5. รวมคำตอบ x=π2x = \tfrac{\pi}{2} 7π6\tfrac{7\pi}{6} และ 11π6\tfrac{11\pi}{6}

ตัวอย่าง 5

แก้สมการ 2sin⁡xcos⁡x=sin⁡x2\sin x\cos x = \sin x เมื่อ 0≤x<2π0 \le x \lt 2\pi

  1. ย้ายทุกพจน์มาข้างเดียวให้อีกข้างเป็นศูนย์ 2sin⁡xcos⁡x−sin⁡x=02\sin x\cos x - \sin x = 0
  2. ดึงตัวร่วม sin⁡x\sin x ออก ได้ sin⁡x (2cos⁡x−1)=0\sin x\,(2\cos x - 1) = 0 ผลคูณเป็นศูนย์เมื่อตัวใดตัวหนึ่งเป็นศูนย์
  3. sin⁡x=0\sin x = 0 คือจุดปลายบนแกน xx ได้ x=0x = 0 และ x=πx = \pi
  4. 2cos⁡x−1=02\cos x - 1 = 0 คือ cos⁡x=12\cos x = \tfrac{1}{2} ได้ x=π3x = \tfrac{\pi}{3} และ x=5π3x = \tfrac{5\pi}{3}
  5. รวมสี่คำตอบ 00 π3\tfrac{\pi}{3} π\pi และ 5π3\tfrac{5\pi}{3}

ลองคิดก่อน

อีกคนแก้ตัวอย่างที่ 5 โดยหารทั้งสองข้างด้วย sin⁡x\sin x ได้ 2cos⁡x=12\cos x = 1 แล้วตอบ π3\tfrac{\pi}{3} กับ 5π3\tfrac{5\pi}{3} ทำไมคำตอบไม่ครบ

ดูคำตอบ

การหารด้วย sin⁡x\sin x ทำได้เฉพาะเมื่อ sin⁡x≠0\sin x \ne 0 การหารจึงแอบตัดกรณี sin⁡x=0\sin x = 0 ทิ้งไปโดยไม่รู้ตัว และ x=0x = 0 กับ x=πx = \pi ซึ่งอยู่ในกรณีนั้นก็เป็นคำตอบจริง แทนกลับได้ 0=00 = 0 ห้ามหารด้วยนิพจน์ที่มีตัวแปรและเป็นศูนย์ได้ ให้ย้ายข้างแล้วดึงตัวร่วมแทน เหมือนที่ไม่หารสมการ x2=xx^2 = x ด้วย xx เพราะจะทำให้คำตอบ x=0x = 0 หายไป

กลับไปที่ชิงช้าสวรรค์

ตัวอย่าง 6

ใช้ h=22−20cos⁡πt10h = 22 - 20\cos\tfrac{\pi t}{10} หาว่าในรอบแรก 0≤t<200 \le t \lt 20 กระเช้าอยู่สูงเกิน 3232 เมตรนานกี่นาที

  1. หาเวลาที่สูง 3232 เมตรพอดีก่อน 22−20cos⁡πt10=3222 - 20\cos\tfrac{\pi t}{10} = 32 ได้ cos⁡πt10=−12\cos\tfrac{\pi t}{10} = -\tfrac{1}{2}
  2. ให้ u=πt10u = \tfrac{\pi t}{10} ช่วงของ tt คือ [0,20)[0, 20) ทำให้ uu อยู่ใน [0,2π)[0, 2\pi) หนึ่งรอบพอดี
  3. โคไซน์ลบในจตุภาคที่ 2 และ 3 มุมอ้างอิง π3\tfrac{\pi}{3} ได้ u=2π3u = \tfrac{2\pi}{3} และ u=4π3u = \tfrac{4\pi}{3} แปลงกลับ t=10uπt = \tfrac{10u}{\pi} ได้ t=203t = \tfrac{20}{3} และ t=403t = \tfrac{40}{3} นาที
  4. ระหว่างสองเวลานี้กระเช้าอยู่ครึ่งบนของวงล้อ ตรวจที่ t=10t = 10 ได้ h=42h = 42 ซึ่งสูงกว่า 3232 จริง จึงสูงเกิน 3232 เมตรเป็นเวลา 403−203=203\tfrac{40}{3} - \tfrac{20}{3} = \tfrac{20}{3} นาที ประมาณ 66 นาที 4040 วินาที หรือหนึ่งในสามของรอบ

ทุกตัวอย่างในหน้านี้มีมุมอ้างอิงเป็นมุมพิเศษ หน้าถัดไปจะสร้างสูตรที่ใช้หาค่าแม่นตรงของมุมที่ไม่อยู่ในตาราง เช่น 75∘75^\circ และ 15∘15^\circ โดยแยกเป็นผลบวกหรือผลต่างของมุมพิเศษ

สรุป

  • ค่าตรีโกณมิติหนึ่งค่ามาจากหลายมุม ใช้มุมอ้างอิง จตุภาค และคาบ เก็บคำตอบให้ครบ
  • ตรวจก่อนว่าค่าทางขวาอยู่ในเรนจ์ของฟังก์ชัน
  • มุมภายในมีตัวคูณ ให้แทนด้วยตัวแปรใหม่และแปลงช่วงก่อน
  • สมการกำลังสองของไซน์หรือโคไซน์ ให้แยกตัวประกอบแล้วแก้ทีละตัว
  • ห้ามหารด้วยฟังก์ชันที่อาจเป็นศูนย์ ให้ดึงตัวร่วมแทน