descartesclytie0x/descartes-math-platform
บทที่ 16 สถิติ (2)ตรงกับหนังสือ ม.2 เล่ม 2 บทที่ 1

16.4 ค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม

ถ้ามีคนถามว่า "นักเรียน ม.2/4 นอนคืนละกี่ชั่วโมง" จะยื่นแผนภาพจุดของ 25 คนให้ดูทั้งรูปก็ได้ แต่คนถามอยากได้คำตอบเป็นตัวเลขตัวเดียว ตัวเลขที่ใช้เป็นตัวแทนของข้อมูลทั้งชุดแบบนี้เรียกว่าค่ากลางของข้อมูล ค่ากลางที่ใช้บ่อยมีสามตัว แต่ละตัวมีความหมายต่างกัน หน้านี้หาให้ได้ทั้งสามตัว หน้าถัดไปจะเลือกว่าเมื่อไรควรใช้ตัวไหน

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

นิยาม

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (arithmetic mean) คือผลรวมของข้อมูลทุกตัวหารด้วยจำนวนข้อมูล ถ้าข้อมูลคือ x1,x2,…,xNx_1, x_2, \dots, x_N ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเขียนแทนด้วย xˉ\bar{x} อ่านว่า เอกซ์บาร์

xˉ=x1+x2+⋯+xNN\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_N}{N}

ในชีวิตประจำวันมักเรียกสั้นๆ ว่าค่าเฉลี่ย

ตัวอย่าง 1

มะปรางจดค่าขนมที่ใช้ในห้าวันของสัปดาห์หนึ่งได้ 45 60 50 55 และ 40 บาท มะปรางใช้ค่าขนมเฉลี่ยวันละเท่าไร

  1. ผลรวม 45+60+50+55+40=25045 + 60 + 50 + 55 + 40 = 250 บาท
  2. มีข้อมูล 5 วัน ค่าเฉลี่ย xˉ=2505=50\bar{x} = \tfrac{250}{5} = 50 บาทต่อวัน

ค่าเฉลี่ยมีความหมายสองแบบที่ช่วยให้เข้าใจ

  • เกลี่ยให้เท่ากัน ถ้าเอาเงิน 250 บาทที่ใช้ทั้งสัปดาห์มาแบ่งใช้วันละเท่ากัน จะได้วันละ 50 บาท
  • จุดสมดุล ข้อมูลแต่ละตัวห่างจากค่าเฉลี่ย −5-5 1010 00 55 และ −10-10 บาท ส่วนที่มากกว่าค่าเฉลี่ยรวมกันได้ 15 พอดีกับส่วนที่น้อยกว่ารวมกัน ผลรวมของระยะห่างที่มีเครื่องหมายจึงเป็นศูนย์เสมอ ถ้าวางข้อมูลเป็นน้ำหนักบนไม้บรรทัด ไม้จะสมดุลพอดีที่ค่าเฉลี่ย

ความหมายแบบเกลี่ยให้เท่ากันทำให้ย้อนหาข้อมูลที่หายไปได้ เพราะรู้ค่าเฉลี่ยกับจำนวนข้อมูล ก็รู้ผลรวม

ตัวอย่าง 2

ต้นข้าวสอบเก็บคะแนนสี่ครั้งได้ 14 17 12 และ 15 คะแนน ครั้งที่ห้าต้องได้กี่คะแนนจึงจะมีค่าเฉลี่ยทั้งห้าครั้งเท่ากับ 15 คะแนน

  1. ค่าเฉลี่ย 15 จากห้าครั้ง แปลว่าผลรวมทั้งห้าครั้งต้องเป็น 15×5=7515 \times 5 = 75 คะแนน
  2. สี่ครั้งแรกได้ 14+17+12+15=5814 + 17 + 12 + 15 = 58 คะแนน
  3. ครั้งที่ห้าต้องได้ 75−58=1775 - 58 = 17 คะแนน
  4. ตรวจ 58+175=15\tfrac{58 + 17}{5} = 15

ค่าเฉลี่ยจากตารางความถี่

ถ้าข้อมูลมาเป็นตารางความถี่ ค่า xx ที่มีความถี่ ff คือข้อมูล xx ซ้ำกัน ff ตัว ผลรวมของมันคือ f×xf \times x ไม่ต้องบวกทีละตัว

xˉ=f1x1+f2x2+⋯+fkxkNเมื่อ N=f1+f2+⋯+fk\bar{x} = \frac{f_1x_1 + f_2x_2 + \dots + f_kx_k}{N} \qquad \text{เมื่อ } N = f_1 + f_2 + \dots + f_k

ตัวอย่าง 3

สอบถามนักเรียน 20 คนว่าสัปดาห์ที่แล้วไปห้องสมุดกี่ครั้ง ได้ตารางนี้ หาค่าเฉลี่ยเลขคณิต

จำนวนครั้ง xx01234
จำนวนคน ff38621
  1. จำนวนข้อมูลคือผลรวมของความถี่ N=3+8+6+2+1=20N = 3 + 8 + 6 + 2 + 1 = 20
  2. คูณแต่ละค่ากับความถี่ของมัน 0×3=00 \times 3 = 0 1×8=81 \times 8 = 8 2×6=122 \times 6 = 12 3×2=63 \times 2 = 6 4×1=44 \times 1 = 4
  3. ผลรวมของข้อมูลทั้ง 20 ตัว 0+8+12+6+4=300 + 8 + 12 + 6 + 4 = 30
  4. xˉ=3020=1.5\bar{x} = \tfrac{30}{20} = 1.5 ครั้ง

ไม่มีใครไปห้องสมุด 1.5 ครั้งได้จริง ค่าเฉลี่ยไม่จำเป็นต้องเป็นค่าที่มีอยู่ในข้อมูล ความหมายคือถ้าเกลี่ยจำนวนครั้งทั้งหมด 30 ครั้งให้ 20 คนเท่ากัน จะได้คนละ 1.5 ครั้ง

ลองคิดก่อน

เพื่อนหาค่าเฉลี่ยของตารางห้องสมุดโดยบวกค่าในแถวบน 0+1+2+3+45=2\tfrac{0 + 1 + 2 + 3 + 4}{5} = 2 ผิดตรงไหน

ดูคำตอบ

เพื่อนนับว่าข้อมูลมี 5 ตัว ตัวละครั้ง แต่จริงๆ มี 20 ตัว คนที่ไป 1 ครั้งมีถึง 8 คน แต่คนที่ไป 4 ครั้งมีแค่ 1 คน การบวกแถวบนแล้วหารด้วย 5 เท่ากับให้ทุกค่ามีคนอยู่ค่าละหนึ่งคน ค่าที่มีคนเยอะจึงไม่ได้น้ำหนักเพิ่ม ต้องคูณความถี่ก่อนเสมอ และหารด้วยผลรวมของความถี่ ไม่ใช่จำนวนช่องในตาราง

มัธยฐาน

นิยาม

มัธยฐาน (median) คือค่าที่อยู่ตรงกลางเมื่อเรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก ข้อมูลที่น้อยกว่าหรือเท่ากับมัธยฐานมีอย่างน้อยครึ่งหนึ่ง และที่มากกว่าหรือเท่ากับก็มีอย่างน้อยครึ่งหนึ่ง

  • ถ้า NN เป็นจำนวนคี่ มัธยฐานคือข้อมูลตัวที่ N+12\tfrac{N + 1}{2}
  • ถ้า NN เป็นจำนวนคู่ ตรงกลางมีสองตัว คือตัวที่ N2\tfrac{N}{2} กับตัวที่ N2+1\tfrac{N}{2} + 1 มัธยฐานคือค่าเฉลี่ยของสองตัวนั้น

ตัวอย่าง 4

ถามเพื่อน 7 คนว่าเมื่อวานเล่นเกมกี่นาที ได้ 30 45 20 90 60 35 40 นาที หามัธยฐาน แล้วถ้าถามเพิ่มอีกคนได้ 50 นาที มัธยฐานใหม่เป็นเท่าไร

  1. เรียงจากน้อยไปมาก 20 30 35 40 45 60 90
  2. N=7N = 7 เป็นจำนวนคี่ มัธยฐานคือตัวที่ 7+12=4\tfrac{7 + 1}{2} = 4 ได้ 40 นาที มีสามคนเล่นน้อยกว่าและสามคนเล่นมากกว่า
  3. เพิ่ม 50 แล้วเรียงใหม่ 20 30 35 40 45 50 60 90 ได้ N=8N = 8 เป็นจำนวนคู่
  4. ตรงกลางคือตัวที่ 4 กับตัวที่ 5 คือ 40 กับ 45 มัธยฐาน 40+452=42.5\tfrac{40 + 45}{2} = 42.5 นาที

มัธยฐานของข้อมูลจำนวนคู่ไม่จำเป็นต้องเป็นค่าที่มีอยู่ในข้อมูล เหมือนค่าเฉลี่ย ส่วน N+12\tfrac{N + 1}{2} เป็นตำแหน่ง ของมัธยฐาน ไม่ใช่ตัวมัธยฐานเอง อย่าตอบ 4 ในขั้นที่ 2

ลองคิดก่อน

ข้อมูล 12 7 3 15 9 เพื่อนตอบว่ามัธยฐานคือ 3 เพราะอยู่ตรงกลางพอดี เพื่อนพลาดตรงไหน

ดูคำตอบ

เพื่อนลืมเรียงข้อมูล 3 อยู่ตรงกลางแค่ตามลำดับที่จดมา แต่เป็นค่าที่น้อยที่สุดในชุด เรียงก่อนได้ 3 7 9 12 15 มัธยฐานคือ 9 การเรียงข้อมูลเป็นขั้นแรกที่ข้ามไม่ได้ ถ้าข้อมูลมาเป็นแผนภาพจุดหรือแผนภาพต้นใบที่เรียงใบแล้ว จะหาได้เร็วมากเพราะเรียงไว้ให้แล้ว

ตัวอย่าง 5

หามัธยฐานของจำนวนครั้งที่ไปห้องสมุดในตัวอย่าง 3 และของจำนวนครั้งที่กระโดดเชือกในหน้า 16.2

  1. ห้องสมุด N=20N = 20 เป็นจำนวนคู่ ต้องหาข้อมูลตัวที่ 10 และตัวที่ 11
  2. นับสะสมจากค่าน้อย ค่า 0 คือตัวที่ 1 ถึง 3 ค่า 1 มีอีก 8 ตัว คือตัวที่ 4 ถึง 11
  3. ตัวที่ 10 และ 11 จึงเป็น 1 ทั้งคู่ มัธยฐานคือ 1+12=1\tfrac{1 + 1}{2} = 1 ครั้ง
  4. กระโดดเชือก N=20N = 20 แผนภาพต้นใบเรียงไว้แล้ว นับใบจากต้น 4 ลงมา ต้น 4 ถึง 6 มี 1+3+5=91 + 3 + 5 = 9 ใบ ตัวที่ 10 และ 11 จึงเป็นสองใบแรกของต้น 7 คือ 70 กับ 71
  5. มัธยฐานของการกระโดดเชือก 70+712=70.5\tfrac{70 + 71}{2} = 70.5 ครั้ง

ฐานนิยม

นิยาม

ฐานนิยม (mode) คือค่าที่มีความถี่สูงที่สุดในข้อมูลชุดนั้น ข้อมูลชุดหนึ่งอาจมีฐานนิยมมากกว่าหนึ่งค่า และถ้าทุกค่ามีความถี่เท่ากันหมด ถือว่าข้อมูลชุดนั้นไม่มีฐานนิยม

ฐานนิยมเป็นค่ากลางตัวเดียวที่ใช้กับข้อมูลเชิงคุณภาพได้ เพราะไม่ต้องบวกหรือเรียงข้อมูล แค่นับว่าอะไรพบบ่อยที่สุด

ตัวอย่าง 6

หาฐานนิยมของข้อมูลแต่ละชุด

(1) จำนวนครั้งที่ไปห้องสมุดในตัวอย่าง 3
(2) จำนวนลูกที่ยิงลงห่วงจาก 10 ลูกของนักบาสเกตบอล 7 คน คือ 3 5 5 7 8 8 9
(3) อายุของพี่น้องสี่คน คือ 2 4 6 8 ปี
(4) เครื่องดื่มที่นักเรียน ม.1/2 ชอบที่สุดในบทที่ 9 หน้า 9.1

  1. ค่า 1 มีความถี่ 8 สูงที่สุดในตาราง ฐานนิยมคือ 1 ครั้ง
  2. 5 กับ 8 มีความถี่ 2 เท่ากันและสูงที่สุด ฐานนิยมมีสองค่าคือ 5 และ 8 ลูก
  3. ทุกค่ามีความถี่ 1 เท่ากันหมด ข้อมูลชุดนี้ไม่มีฐานนิยม
  4. น้ำส้มมีคนเลือก 9 คน มากที่สุด ฐานนิยมคือน้ำส้ม ข้อมูลชุดนี้หาค่าเฉลี่ยหรือมัธยฐานไม่ได้เลย เพราะเครื่องดื่มบวกกันหรือเรียงจากน้อยไปมากไม่ได้

ค่ากลางสามตัวของข้อมูลชุดเดียวกัน

กลับไปที่คำถามแรกของหน้านี้ นักเรียน ม.2/4 นอนคืนละกี่ชั่วโมง ใช้แผนภาพจุดในหน้า 16.1 ซึ่งมี 55 ชั่วโมง 1 คน 66 ชั่วโมง 3 คน 77 ชั่วโมง 6 คน 88 ชั่วโมง 9 คน 99 ชั่วโมง 4 คน 1010 ชั่วโมง 1 คน และ 1212 ชั่วโมง 1 คน

ตัวอย่าง 7

หาค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม ของจำนวนชั่วโมงที่นอน

  1. ผลรวม 5(1)+6(3)+7(6)+8(9)+9(4)+10(1)+12(1)=1955(1) + 6(3) + 7(6) + 8(9) + 9(4) + 10(1) + 12(1) = 195 ค่าเฉลี่ย xˉ=19525=7.8\bar{x} = \tfrac{195}{25} = 7.8 ชั่วโมง
  2. N=25N = 25 เป็นจำนวนคี่ มัธยฐานคือตัวที่ 25+12=13\tfrac{25 + 1}{2} = 13 นับสะสม ค่า 5 ถึง 7 มี 1+3+6=101 + 3 + 6 = 10 ตัว ค่า 8 คือตัวที่ 11 ถึง 19 ตัวที่ 13 จึงเป็น 8 ชั่วโมง
  3. ฐานนิยมคือค่าที่จุดซ้อนสูงที่สุด คือ 8 ชั่วโมง

ค่ากลางทั้งสามตัวอยู่ใกล้กันมาก จะตอบว่านักเรียนห้องนี้นอนประมาณคืนละ 8 ชั่วโมงก็ได้ ข้อมูลที่กองอยู่ตรงกลางแล้วลดลงสองข้างใกล้เคียงกันแบบนี้ ค่ากลางสามตัวมักใกล้กัน แต่ข้อมูลบางชุดให้ค่ากลางสามตัวห่างกันมาก หน้าถัดไปจะดูว่าเกิดจากอะไร และควรเลือกตัวไหน

สรุป

  • ค่าเฉลี่ยเลขคณิต xˉ\bar{x} คือผลรวมหารด้วยจำนวนข้อมูล จากตารางความถี่ต้องคูณความถี่ก่อนบวก และหารด้วยผลรวมของความถี่
  • รู้ค่าเฉลี่ยกับจำนวนข้อมูล ก็รู้ผลรวม ใช้ย้อนหาข้อมูลที่หายไปได้
  • มัธยฐานคือค่าตรงกลางหลังเรียงข้อมูลแล้ว NN คี่ใช้ตัวที่ N+12\tfrac{N + 1}{2} NN คู่ใช้ค่าเฉลี่ยของสองตัวกลาง
  • ฐานนิยมคือค่าที่พบบ่อยที่สุด อาจมีหลายค่าหรือไม่มีเลย และใช้กับข้อมูลเชิงคุณภาพได้
  • ค่าเฉลี่ยและมัธยฐานไม่จำเป็นต้องเป็นค่าที่มีอยู่ในข้อมูล