descartesclytie0x/descartes-math-platform
บทที่ 36 ความสัมพันธ์และฟังก์ชันตรงกับหนังสือ พื้นฐาน ม.5 บทที่ 2 และเพิ่มเติม ม.4 เล่ม 2 บทที่ 1เพิ่มเติม

36.5 ฟังก์ชันผกผัน

พยากรณ์อากาศของไทยบอกอุณหภูมิเป็นองศาเซลเซียส แต่แอปบางตัวบอกเป็นองศาฟาเรนไฮต์ สูตรแปลงคือคูณ 1.81.8 แล้วบวก 3232 วันที่อากาศ 3535 องศาเซลเซียส แอปจะขึ้น 9595 องศาฟาเรนไฮต์ ถ้าเห็นตัวเลขฟาเรนไฮต์แล้วอยากรู้ว่าเป็นกี่องศาเซลเซียส ต้องย้อนสูตรกลับ คือลบ 3232 ก่อนแล้วจึงหารด้วย 1.81.8

สังเกตว่าการย้อนกลับต้องทำขั้นตอนตรงข้ามและกลับลำดับ เหมือนตอนเช้าใส่ถุงเท้าก่อนแล้วใส่รองเท้า ตอนเย็นต้องถอดรองเท้าก่อนแล้วจึงถอดถุงเท้า แต่ไม่ใช่ทุกกระบวนการจะย้อนได้ ถ้าบอกแค่ว่าจำนวนหนึ่งยกกำลังสองแล้วได้ 99 เราตอบไม่ได้ว่าจำนวนนั้นคือ 33 หรือ −3-3 เพราะการยกกำลังสองทำเครื่องหมายหายไป หน้านี้จะดูว่าเมื่อไรย้อนได้ ย้อนอย่างไร และถ้าย้อนไม่ได้ต้องแก้อย่างไร

สลับคู่อันดับ

ถ้าฟังก์ชันคือเซตของคู่อันดับ การย้อนกลับก็คือการสลับตัวหน้ากับตัวหลังของทุกคู่ ผลที่ได้เรียกว่าความสัมพันธ์ผกผัน ถ้า rr มีคู่ (a,b)(a, b) ความสัมพันธ์ผกผัน r−1r^{-1} จะมีคู่ (b,a)(b, a)

เมื่อสลับคู่ ตัวหน้าเดิมทั้งหมดย้ายไปเป็นตัวหลัง โดเมนของ r−1r^{-1} จึงเป็นเรนจ์ของ rr และเรนจ์ของ r−1r^{-1} เป็นโดเมนของ rr สองเซตแลกที่กันพอดี

ตัวอย่าง 1

ให้ f={(1,4),(2,5),(3,4)}f = \{(1, 4), (2, 5), (3, 4)\} หาความสัมพันธ์ผกผันของ ff และบอกว่าเป็นฟังก์ชันหรือไม่

  1. ff เป็นฟังก์ชัน เพราะตัวหน้า 1,2,31, 2, 3 ไม่ซ้ำกัน ตามวิธีตรวจในหน้า 36.1
  2. สลับทุกคู่ได้ f−1={(4,1),(5,2),(4,3)}f^{-1} = \{(4, 1), (5, 2), (4, 3)\} โดเมนคือ {4,5}\{4, 5\} ซึ่งเป็นเรนจ์ของ ff
  3. ตัวหน้า 44 คู่กับทั้ง 11 และ 33 ความสัมพันธ์ผกผันจึงไม่เป็นฟังก์ชัน
  4. ต้นเหตุอยู่ที่ ff เอง เพราะ f(1)=f(3)=4f(1) = f(3) = 4 ข้อมูลเข้าสองตัวไปรวมที่ผลเดียว พอย้อนกลับ ผลนั้นจึงแยกไปได้สองทาง

ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

ตัวอย่าง 1 แสดงว่าผกผันจะเป็นฟังก์ชันได้ ฟังก์ชันเดิมต้องไม่มีข้อมูลเข้าสองตัวที่ให้ผลเดียวกัน เงื่อนไขนี้มีชื่อเรียก

นิยาม

ฟังก์ชัน ff เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง เมื่อข้อมูลเข้าที่ต่างกันให้ผลลัพธ์ต่างกันเสมอ หรือพูดอีกแบบคือ ถ้า f(x1)=f(x2)f(x_1) = f(x_2) แล้วต้องได้ x1=x2x_1 = x_2

ความสัมพันธ์ผกผันของ ff เป็นฟังก์ชัน ก็ต่อเมื่อ ff เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

บนกราฟตรวจด้วยเส้นนอน เหตุผลเหมือนเส้นตั้งในหน้า 36.1 ทุกจุดบนเส้นนอน y=4y = 4 มีผลลัพธ์เท่ากับ 44 ถ้าเส้นนี้ตัดกราฟสองจุด แปลว่ามีข้อมูลเข้าสองตัวให้ผลเดียวกัน ฟังก์ชันจึงไม่หนึ่งต่อหนึ่ง

y = 4(2, 4)(4, 2)y = x
ซ้าย y=x2y = x^2 บน R\mathbb R เส้น y=4y = 4 ตัดที่ x=−2x = -2 และ x=2x = 2 จึงไม่หนึ่งต่อหนึ่ง ขวา เมื่อจำกัดเหลือ x≥0x \ge 0 กราฟสีส้มกับกราฟ y=xy = \sqrt{x} สีเขียวสะท้อนกันข้ามเส้นประ y=xy = x จุด (2,4)(2, 4) คู่กับ (4,2)(4, 2)

ลองคิดก่อน

ฟังก์ชันเชิงเส้น f(x)=mx+bf(x) = mx + b ทุกตัวเป็นหนึ่งต่อหนึ่งหรือไม่

ดูคำตอบ

ไม่ทุกตัว ถ้า m≠0m \ne 0 กราฟเป็นเส้นเอียง เส้นนอนทุกเส้นตัดเพียงจุดเดียว จึงหนึ่งต่อหนึ่ง แต่ถ้า m=0m = 0 เช่น f(x)=7f(x) = 7 กราฟเป็นเส้นนอนเอง ข้อมูลเข้าทุกตัวให้ 77 เหมือนกัน จึงไม่หนึ่งต่อหนึ่งและไม่มีผกผันที่เป็นฟังก์ชัน

หาสูตรของฟังก์ชันผกผัน

ฟังก์ชันผกผันของ ff เขียนว่า f−1f^{-1} อ่านว่า เอฟอินเวอร์ส เลข −1-1 ตรงนี้ไม่ใช่เลขชี้กำลัง f−1(x)f^{-1}(x) ไม่ได้แปลว่า 1f(x)\dfrac{1}{f(x)}

วิธีหาสูตรมีสามขั้น

  1. ตั้ง y=f(x)y = f(x)
  2. แก้สมการหา xx ในรูปของ yy ขั้นนี้คือการย้อนขั้นตอนของ ff
  3. สลับชื่อ xx กับ yy เพราะเราตกลงกันว่าจะเขียนข้อมูลเข้าเป็น xx เสมอ

จากนั้นตรวจว่า f−1(f(x))=xf^{-1}(f(x)) = x ทุก xx ในโดเมนของ ff และ f(f−1(x))=xf(f^{-1}(x)) = x ทุก xx ในโดเมนของ f−1f^{-1} การประกอบจากหน้า 36.4 จึงเป็นเครื่องตรวจคำตอบที่ดีที่สุด

ตัวอย่าง 2

ให้ f(x)=1.8x+32f(x) = 1.8x + 32 แปลงองศาเซลเซียสเป็นองศาฟาเรนไฮต์ หา f−1f^{-1} แล้วแปลง 98.698.6 องศาฟาเรนไฮต์ เป็นองศาเซลเซียส

  1. ตั้ง y=1.8x+32y = 1.8x + 32 ฟังก์ชันนี้คูณ 1.81.8 ก่อนแล้วบวก 3232 การย้อนจึงลบ 3232 ก่อน ได้ y−32=1.8xy - 32 = 1.8x
  2. แล้วจึงหารด้วย 1.81.8 ได้ x=y−321.8x = \dfrac{y - 32}{1.8}
  3. สลับชื่อตัวแปร ได้ f−1(x)=x−321.8f^{-1}(x) = \dfrac{x - 32}{1.8} ซึ่งรับองศาฟาเรนไฮต์แล้วคืนองศาเซลเซียส
  4. f−1(98.6)=66.61.8=37f^{-1}(98.6) = \dfrac{66.6}{1.8} = 37 องศาเซลเซียส คืออุณหภูมิร่างกายปกติ ตรวจกลับ f(37)=66.6+32=98.6f(37) = 66.6 + 32 = 98.6 ตรง

ตัวอย่าง 3

หาฟังก์ชันผกผันของ f(x)=3x−6f(x) = 3x - 6 บนจำนวนจริง และตรวจทั้งสองทิศ

  1. ff มีความชัน 3≠03 \ne 0 จึงหนึ่งต่อหนึ่งตามกล่องลองคิดก่อนข้างบน มีผกผันแน่นอน
  2. ตั้ง y=3x−6y = 3x - 6 ย้อนการลบ 66 ด้วยการบวก 66 ได้ y+6=3xy + 6 = 3x แล้วย้อนการคูณ 33 ด้วยการหาร ได้ x=y+63x = \dfrac{y + 6}{3}
  3. สลับชื่อ ได้ f−1(x)=x+63f^{-1}(x) = \dfrac{x + 6}{3}
  4. ตรวจทิศแรก f−1(f(x))=(3x−6)+63=xf^{-1}(f(x)) = \dfrac{(3x - 6) + 6}{3} = x ตรวจทิศที่สอง f(f−1(x))=3⋅x+63−6=xf(f^{-1}(x)) = 3 \cdot \dfrac{x + 6}{3} - 6 = x ถูกทั้งคู่

ลองคิดก่อน

f−1(x)f^{-1}(x) ของ f(x)=2xf(x) = 2x คือ 12x\dfrac{1}{2x} หรือไม่

ดูคำตอบ

ไม่ใช่ ผกผันต้องย้อนการคูณสอง จึงเป็น f−1(x)=x2f^{-1}(x) = \dfrac{x}{2} ส่วน 12x\dfrac{1}{2x} เป็นส่วนกลับของค่าฟังก์ชัน ตรวจได้ทันที f(3)=6f(3) = 6 ผกผันต้องคืน 33 จาก 66 ซึ่ง 62=3\dfrac{6}{2} = 3 ถูก แต่ 112\dfrac{1}{12} ไม่ใช่

ลองคิดก่อน

ถ้า f(x)=3x−6f(x) = 3x - 6 หา f−1(5)f^{-1}(5) โดยไม่ต้องหาสูตรของ f−1f^{-1} ได้หรือไม่

ดูคำตอบ

ได้ f−1(5)f^{-1}(5) คือข้อมูลเข้าที่ทำให้ ff ให้ผล 55 จึงแก้ 3x−6=53x - 6 = 5 ได้ x=113x = \dfrac{11}{3} ตรงกับสูตร 5+63\dfrac{5 + 6}{3} ในตัวอย่าง 3 วิธีนี้เร็วกว่าเมื่อโจทย์ถามค่าเดียว

กราฟของฟังก์ชันผกผัน

ถ้าจุด (a,b)(a, b) อยู่บนกราฟของ ff แปลว่า f(a)=bf(a) = b ผกผันจึงมี f−1(b)=af^{-1}(b) = a จุด (b,a)(b, a) อยู่บนกราฟของ f−1f^{-1} การสลับพิกัดสองตัวคือการสะท้อนข้ามเส้น y=xy = x ตามที่เรียนในบทที่ 13 กราฟของ ff กับ f−1f^{-1} จึงสะท้อนกันข้ามเส้น y=xy = x เสมอ ดูรูปขวาข้างบนประกอบ ใช้ข้อนี้ตรวจคำตอบได้ ถ้าวาดสองกราฟแล้วไม่สมมาตรกันข้ามเส้น y=xy = x แสดงว่าสูตรผิด

จำกัดโดเมนเพื่อให้มีผกผัน

y=x2y = x^2 บนจำนวนจริงทั้งหมดไม่หนึ่งต่อหนึ่ง แต่ถ้าตัดกราฟเหลือครึ่งเดียว ครึ่งที่เหลือผ่านการตรวจด้วยเส้นนอน ปัญหาคือแก้ y=x2y = x^2 แล้วได้ x=±yx = \pm\sqrt{y} สองแบบ ต้องเลือกเครื่องหมายให้ตรงกับครึ่งที่เก็บไว้ การแก้สมการอย่างเดียวจึงยังไม่จบ

ตัวอย่าง 4

ให้ g(x)=x2g(x) = x^2 เมื่อ x≥0x \ge 0 หา g−1g^{-1} พร้อมโดเมนและเรนจ์

  1. บนโดเมน x≥0x \ge 0 กราฟคือครึ่งขวาของพาราโบลา เส้นนอนตัดไม่เกินหนึ่งจุด จึงหนึ่งต่อหนึ่ง เรนจ์ของ gg คือ [0,∞)[0, \infty)
  2. แก้ y=x2y = x^2 ได้ x=yx = \sqrt{y} หรือ x=−yx = -\sqrt{y} แต่ xx ต้องไม่ติดลบตามโดเมนเดิม จึงเลือก x=yx = \sqrt{y}
  3. สลับชื่อ ได้ g−1(x)=xg^{-1}(x) = \sqrt{x} โดเมนคือ [0,∞)[0, \infty) ซึ่งเป็นเรนจ์ของ gg และเรนจ์คือ [0,∞)[0, \infty) ซึ่งเป็นโดเมนของ gg
  4. ตรวจ g(3)=9g(3) = 9 และ g−1(9)=3g^{-1}(9) = 3 คืนค่าเดิม ตรงกับจุด (2,4)(2, 4) และ (4,2)(4, 2) ในรูปด้านบน

ตัวอย่าง 5

ให้ f(x)=(x−2)2f(x) = (x - 2)^2 เมื่อ x≤2x \le 2 หา f−1f^{-1}

  1. โดเมน x≤2x \le 2 คือครึ่งซ้ายของพาราโบลาที่มีจุดยอด (2,0)(2, 0) จึงหนึ่งต่อหนึ่ง และเรนจ์คือ [0,∞)[0, \infty)
  2. ตั้ง y=(x−2)2y = (x - 2)^2 ถอดรากได้ x−2=yx - 2 = \sqrt{y} หรือ x−2=−yx - 2 = -\sqrt{y}
  3. เพราะ x≤2x \le 2 จึงได้ x−2≤0x - 2 \le 0 ต้องเลือกด้านลบ x−2=−yx - 2 = -\sqrt{y} จึงได้ x=2−yx = 2 - \sqrt{y}
  4. สลับชื่อ ได้ f−1(x)=2−xf^{-1}(x) = 2 - \sqrt{x} บนโดเมน x≥0x \ge 0
  5. ตรวจด้วยจุดที่ไม่ใช่จุดยอด เริ่มจาก x=−1x = -1 ได้ f(−1)=9f(-1) = 9 แล้ว f−1(9)=2−3=−1f^{-1}(9) = 2 - 3 = -1 คืนค่าเดิม ถ้าเผลอใช้รากบวกจะได้ 2+3=52 + 3 = 5 ซึ่งอยู่นอกโดเมนเดิม

การตรวจด้วยจุดยอดอย่าง x=2x = 2 จับความผิดไม่ได้ เพราะ 0=0\sqrt{0} = 0 ไม่ว่าเลือกรากบวกหรือลบก็ได้ 22 เหมือนกัน ให้เลือกจุดที่อยู่ห่างจากจุดยอดมาตรวจเสมอ

ฟังก์ชันผกผันที่สำคัญที่สุดในชั้น ม.ปลาย รออยู่ในบทที่ 37 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล y=axy = a^x เป็นหนึ่งต่อหนึ่ง จึงมีผกผัน และผกผันนั้นคือฟังก์ชันลอการิทึม

สรุป

  • ความสัมพันธ์ผกผันได้จากสลับทุกคู่อันดับ โดเมนกับเรนจ์แลกที่กัน
  • ผกผันเป็นฟังก์ชันก็ต่อเมื่อฟังก์ชันเดิมหนึ่งต่อหนึ่ง ตรวจบนกราฟด้วยเส้นนอน
  • หาสูตรโดยตั้ง y=f(x)y = f(x) แก้หา xx แล้วสลับชื่อ ย้อนขั้นตอนเดิมในลำดับกลับกัน
  • f−1(x)f^{-1}(x) ไม่ใช่ 1f(x)\dfrac{1}{f(x)} และตรวจด้วยการประกอบกลับทั้งสองทิศ
  • กราฟของ ff กับ f−1f^{-1} สะท้อนกันข้ามเส้น y=xy = x
  • ฟังก์ชันที่ไม่หนึ่งต่อหนึ่งต้องจำกัดโดเมนก่อน แล้วเลือกเครื่องหมายของรากให้ตรงกับโดเมนนั้น