15.5 การหารด้วยพหุนาม

แปลงผักรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีพื้นที่ $x^2 + 7x + 12$ ตารางเมตร และกว้าง $x + 3$ เมตร แปลงนี้ยาวเท่าไร

ตัวหารคราวนี้มีสองพจน์ หารทีละพจน์แบบหน้าที่แล้วไม่ได้ เพราะ $\tfrac{x^2 + 7x + 12}{x + 3}$ ไม่เท่ากับ $\tfrac{x^2}{x} + \tfrac{7x}{3} + \ldots$ แต่ใช้วิธีตั้งหารยาวแบบที่เคยหารตัวเลขได้

นึกถึงการหารยาวของตัวเลข

หาร $157$ ด้วย $12$ ทำซ้ำสี่ขั้นจนหารต่อไม่ได้ คือ หาร คูณ ลบ แล้วดึงหลักถัดไปลงมา

$15 \div 12$ ได้ $1$ คูณกลับ $1 \times 12 = 12$ ลบ $15 - 12 = 3$ ดึง $7$ ลงมาเป็น $37$
$37 \div 12$ ได้ $3$ คูณกลับ $3 \times 12 = 36$ ลบ $37 - 36 = 1$
$1$ น้อยกว่า $12$ หารต่อไม่ได้ ผลหารคือ $13$ เศษ $1$

ตรวจได้ว่า $157 = 12 \times 13 + 1$ การหารพหุนามใช้สี่ขั้นนี้ทุกอย่าง ต่างกันแค่ว่าหารทีละพจน์แทนทีละหลัก

ตั้งหารยาว

ตัวอย่าง 1

หา $(x^2 + 7x + 12) \div (x + 3)$ แล้วบอกความยาวของแปลงผัก

เรียงพจน์ของตัวตั้งและตัวหารจากดีกรีมากไปน้อย ซึ่งเรียงไว้แล้ว
หาร พจน์แรกของตัวตั้งด้วยพจน์แรกของตัวหาร $x^2 \div x = x$ เขียน $x$ เป็นพจน์แรกของผลหาร
คูณ $x$ กับตัวหารทั้งตัว $x(x + 3) = x^2 + 3x$ เขียนไว้ใต้ตัวตั้ง ให้พจน์ที่คล้ายกันตรงกัน
ลบ $(x^2 + 7x) - (x^2 + 3x) = 4x$ แล้วดึง $+12$ ลงมา ได้ $4x + 12$
ทำซ้ำ $4x \div x = 4$ คูณ $4(x + 3) = 4x + 12$ ลบได้ $0$
ผลหารคือ $x + 4$ เศษ $0$ แปลงผักยาว $x + 4$ เมตร ตรวจ $(x + 3)(x + 4) = x^2 + 7x + 12$

เขียนเป็นการตั้งหารยาวได้แบบนี้ ตัวหารอยู่ทางซ้าย ผลหารอยู่ข้างบน แต่ละรอบเขียนผลคูณไว้แล้วขีดเส้นใต้ก่อนลบ

\begin{array}{r} x + 4 \\ x + 3\,\big)\,\overline{x^2 + 7x + 12} \\ \underline{x^2 + 3x}\phantom{{} + 12} \\ 4x + 12 \\ \underline{4x + 12} \\ 0 \end{array}

ขั้นตอนการหารยาว

เรียงพจน์ของตัวตั้งและตัวหารจากดีกรีมากไปน้อย
หารพจน์แรกของตัวตั้งด้วยพจน์แรกของตัวหาร ได้พจน์หนึ่งของผลหาร
คูณพจน์นั้นกับตัวหารทั้งตัว แล้วนำไปลบออกจากตัวตั้ง
ใช้ผลลบเป็นตัวตั้งใหม่ ทำข้อ 2 และ 3 ซ้ำ จนผลลบมีดีกรีน้อยกว่าตัวหาร ผลลบสุดท้ายคือเศษ

ลองคิดก่อน

เพื่อนหาร $x^2 - x - 6$ ด้วย $x + 2$ ขั้นแรกได้ $x$ คูณกลับได้ $x^2 + 2x$ แล้วลบได้ $x - 6$ ทำต่อจนได้ผลหาร $x + 1$ เศษ $-8$ เพื่อนพลาดตรงไหน

ดูคำตอบ

พลาดตอนลบ $-x - 2x = -3x$ ไม่ใช่ $x$ เพื่อนเอา $2x$ ไปลบแบบกลับข้าง ทำใหม่จะได้ $-3x - 6$ หาร $x$ ได้ $-3$ คูณกลับ $-3(x + 2) = -3x - 6$ ลบได้ $0$ ผลหารที่ถูกคือ $x - 3$ เศษ $0$

ตรวจคำตอบของเพื่อนด้วยการคูณกลับ $(x + 2)(x + 1) - 8 = x^2 + 3x - 6$ ไม่ตรงกับตัวตั้ง จึงรู้ทันทีว่าผิด ส่วน $(x + 2)(x - 3) = x^2 - x - 6$ ตรง

ลบทุกพจน์

ขั้นลบคือลบพหุนามทั้งก้อน ต้องเปลี่ยนเครื่องหมายทุกพจน์ของผลคูณก่อนรวม เหมือนการลบพหุนามในหน้า 15.2 ขั้นนี้คือจุดที่ผิดบ่อยที่สุดของการหารยาว

เมื่อหารไม่ลงตัว

ตัวเลขหารแล้วอาจมีเศษ พหุนามก็เหมือนกัน

ตัวอย่าง 2

หา $(2x^2 + 5x - 4) \div (x + 3)$

$2x^2 \div x = 2x$ คูณกลับ $2x(x + 3) = 2x^2 + 6x$ ลบ $(2x^2 + 5x) - (2x^2 + 6x) = -x$ ดึง $-4$ ลงมา ได้ $-x - 4$
$-x \div x = -1$ คูณกลับ $-1(x + 3) = -x - 3$ ลบ $(-x - 4) - (-x - 3) = -1$
$-1$ มีดีกรี $0$ น้อยกว่าดีกรีของ $x + 3$ ซึ่งเป็น $1$ จึงหยุด ผลหารคือ $2x - 1$ เศษ $-1$

\begin{array}{r} 2x - 1 \\ x + 3\,\big)\,\overline{2x^2 + 5x - 4} \\ \underline{2x^2 + 6x}\phantom{{} - 4} \\ -x - 4 \\ \underline{-x - 3} \\ -1 \end{array}

สมบัติ

เมื่อหารพหุนามด้วยพหุนาม

ตัวตั้ง $=$ ตัวหาร $\times$ ผลหาร $+$ เศษ

โดยเศษเป็น $0$ หรือมีดีกรีน้อยกว่าตัวหาร ถ้าเศษเป็น $0$ เรียกว่าหารลงตัว

ตรวจตัวอย่างที่ 2 ได้ $(x + 3)(2x - 1) + (-1) = 2x^2 + 5x - 3 - 1 = 2x^2 + 5x - 4$ ตรงกับตัวตั้ง

เมื่อตัวตั้งขาดบางพจน์

ตัวอย่าง 3

หา $(x^3 - 8) \div (x - 2)$

ตัวตั้งไม่มีพจน์ $x^2$ และ $x$ ให้เติม $0x^2$ กับ $0x$ ไว้จองที่ เขียนเป็น $x^3 + 0x^2 + 0x - 8$
$x^3 \div x = x^2$ คูณกลับ $x^2(x - 2) = x^3 - 2x^2$ ลบได้ $0x^2 - (-2x^2) = 2x^2$ ดึง $0x$ ลงมา ได้ $2x^2 + 0x$
$2x^2 \div x = 2x$ คูณกลับ $2x(x - 2) = 2x^2 - 4x$ ลบได้ $4x$ ดึง $-8$ ลงมา ได้ $4x - 8$
$4x \div x = 4$ คูณกลับ $4(x - 2) = 4x - 8$ ลบได้ $0$
ผลหารคือ $x^2 + 2x + 4$ หารลงตัว

\begin{array}{r} x^2 + 2x + 4 \\ x - 2\,\big)\,\overline{x^3 + 0x^2 + 0x - 8} \\ \underline{x^3 - 2x^2}\phantom{{} + 0x - 8} \\ 2x^2 + 0x\phantom{{} - 8} \\ \underline{2x^2 - 4x}\phantom{{} - 8} \\ 4x - 8 \\ \underline{4x - 8} \\ 0 \end{array}

ถ้าไม่จองที่ไว้ พจน์ $2x^2$ ที่เกิดจากการลบจะไม่มีพจน์ไหนในตัวตั้งให้ตั้งตรง แล้วจะลบผิดหลักได้ง่าย เหมือนเลข $0$ สองตัวใน $1008$ ที่ต้องเขียนไว้ ไม่อย่างนั้นจะกลายเป็น $18$ และ $1$ จะไม่อยู่ในหลักพัน

โจทย์ปัญหา

ตัวอย่าง 4

ป้ายผ้ารูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าสำหรับงานกีฬาสีมีพื้นที่ $2x^2 + 7x + 3$ ตารางเมตร และสูง $x + 3$ เมตร ป้ายนี้ยาวเท่าไร ถ้า $x = 4$ ป้ายยาวกี่เมตร

ความยาวคือพื้นที่หารด้วยความสูง ตั้งหาร $(2x^2 + 7x + 3) \div (x + 3)$
$2x^2 \div x = 2x$ คูณกลับ $2x(x + 3) = 2x^2 + 6x$ ลบได้ $x$ ดึง $+3$ ลงมา ได้ $x + 3$
$x \div x = 1$ คูณกลับ $1(x + 3) = x + 3$ ลบได้ $0$ ผลหารคือ $2x + 1$
ป้ายยาว $2x + 1$ เมตร ถ้า $x = 4$ ป้ายสูง $7$ เมตร ยาว $9$ เมตร ตรวจ $7 \times 9 = 63$ และ $2(16) + 7(4) + 3 = 63$ ตรงกัน

สรุป

หารยาวพหุนามทำซ้ำสี่ขั้น หาร คูณ ลบ ดึงลง จนผลลบมีดีกรีน้อยกว่าตัวหาร
หารพจน์แรกด้วยพจน์แรกเสมอ ได้พจน์ของผลหารทีละพจน์
ขั้นลบต้องเปลี่ยนเครื่องหมายทุกพจน์ของผลคูณ
ตัวตั้งที่ขาดพจน์ ให้เติมพจน์ที่มีสัมประสิทธิ์ $0$ จองที่ไว้
ตัวตั้ง $=$ ตัวหาร $\times$ ผลหาร $+$ เศษ ใช้ตรวจคำตอบทุกครั้ง