21.3 สมบัติของการไม่เท่ากันและการแก้อสมการ

ฝนอายุ 13 ปี พี่ชายอายุ 17 ปี ฝนอายุน้อยกว่าพี่ เขียนได้ว่า $13 < 17$ อีก 5 ปีข้างหน้าทั้งคู่อายุเพิ่ม 5 ปีเท่ากัน ได้ $18 < 22$ ฝนก็ยังอายุน้อยกว่า ย้อนไป 5 ปีก่อนได้ $8 < 12$ ก็ยังน้อยกว่า บวกหรือลบจำนวนเดียวกันทั้งสองข้างจึงไม่ทำให้ใครแซงใคร

แต่การคูณไม่ตรงไปตรงมาแบบนั้น ลองคูณทั้งสองข้างของ $13 < 17$ ด้วย $-1$ ได้ $-13$ กับ $-17$ ซึ่ง $-13 > -17$ เครื่องหมายกลับข้าง เรื่องนี้คือจุดที่การแก้อสมการต่างจากการแก้สมการในบทที่ 6

คูณด้วยจำนวนบวกหรือจำนวนลบ

กราฟข้างล่างเริ่มจาก $1 < 3$ บนเส้นบน แล้วคูณทั้งสองจำนวนด้วยจำนวนเดียวกัน ผลคูณอยู่บนเส้นล่าง เส้นประต่อจากจำนวนเดิมไปผลคูณของมัน

เริ่มจากคูณด้วย $2$ แล้วเลื่อนไปทาง $-2$ ทีละขั้น เส้นประสองเส้นเริ่มไขว้กันเมื่อไร

คูณด้วยจำนวนบวก ทุกจุดถูกยืดหรือหดออกจากศูนย์ไปทางเดิม จุดที่เคยอยู่ทางขวายังอยู่ทางขวา คูณด้วยจำนวนลบ ทุกจุดถูกพลิกไปอีกฝั่งของศูนย์ด้วย จุดที่เคยอยู่ทางขวาจึงไปอยู่ทางซ้าย ลำดับมากน้อยกลับกันพอดี

สมบัติของการไม่เท่ากัน

เมื่อ $a$ $b$ และ $c$ เป็นจำนวนจริงใดๆ

สมบัติการบวก ถ้า $a < b$ แล้ว $a + c < b + c$
สมบัติการคูณด้วยจำนวนบวก ถ้า $a < b$ และ $c > 0$ แล้ว $ac < bc$
สมบัติการคูณด้วยจำนวนลบ ถ้า $a < b$ และ $c < 0$ แล้ว $ac > bc$

สมบัติทั้งสามข้อใช้กับ $>$ $\le$ และ $\ge$ ได้ในทำนองเดียวกัน

เหมือนในบทที่ 6 การลบ $c$ คือการบวกด้วย $-c$ และการหารด้วย $c$ คือการคูณด้วย $\tfrac{1}{c}$ ถ้า $c$ เป็นจำนวนลบ $\tfrac{1}{c}$ ก็เป็นจำนวนลบ หารด้วยจำนวนลบจึงต้องกลับเครื่องหมายเหมือนกัน ส่วนการคูณด้วยศูนย์ใช้ไม่ได้ เพราะทั้งสองข้างกลายเป็น $0$ เท่ากัน

คูณหรือหารด้วยจำนวนลบ ต้องกลับเครื่องหมาย

$<$ กลายเป็น $>$ และ $\le$ กลายเป็น $\ge$ หรือกลับกัน ส่วนการบวก การลบ การคูณหรือหารด้วยจำนวนบวก เครื่องหมายเหมือนเดิม

แก้อสมการ

การแก้อสมการคือการหาคำตอบทั้งหมดของอสมการ ทำแบบเดียวกับแก้สมการ คือใช้สมบัติของการไม่เท่ากันเปลี่ยนอสมการให้ง่ายลงทีละขั้น จนเหลือ $x$ ตัวเดียวข้างหนึ่ง ทุกขั้นคำตอบไม่เปลี่ยน จึงอ่านคำตอบจากขั้นสุดท้ายได้เลย

ตัวอย่าง 1

แก้อสมการ $x - 7 > -3$

บวก $7$ ทั้งสองข้าง (สมบัติการบวก) ได้ $x - 7 + 7 > -3 + 7$
ได้ $x > 4$ คำตอบคือจำนวนจริงทุกจำนวนที่มากกว่า $4$

ตัวอย่าง 2

แก้อสมการ $3x + 4 \le 19$ แล้วตรวจคำตอบ

บวก $-4$ ทั้งสองข้าง ได้ $3x \le 15$
คูณทั้งสองข้างด้วย $\tfrac{1}{3}$ ซึ่งเป็นจำนวนบวก เครื่องหมายเหมือนเดิม ได้ $x \le 5$
ตรวจจุดปลาย แทน $x = 5$ ได้ $3(5) + 4 = 19$ สองข้างเท่ากันพอดี
ตรวจทิศ แทน $x = 0$ ซึ่งน้อยกว่า $5$ ได้ $4 \le 19$ เป็นจริง ทิศถูก

ตัวอย่าง 3

แก้อสมการ $5 - 2x < 11$ แล้วเขียนกราฟของคำตอบ

บวก $-5$ ทั้งสองข้าง ได้ $-2x < 6$
หารทั้งสองข้างด้วย $-2$ ซึ่งเป็นจำนวนลบ ต้องกลับ $<$ เป็น $>$ ได้ $x > -3$
ตรวจทิศ แทน $x = 0$ ซึ่งมากกว่า $-3$ ได้ $5 < 11$ เป็นจริง
กราฟเป็นจุดโปร่งที่ $-3$ แล้วลากเส้นไปทางขวา

%%NL lo=-5 hi=5 shape=ray a=-3 ea=open dir=right aria="เส้นจำนวน มีวงกลมโปร่งที่ลบ 3 และเส้นทึบลากไปทางขวา" cap="กราฟของ $x > -3$ คำตอบของ $5 - 2x < 11$ "%%

ลองคิดก่อน

เพื่อนแก้ $-3x > 12$ ได้ $x > -4$ ใช้ $x = 0$ ตรวจได้ไหมว่าเพื่อนทำถูกหรือผิด

ดูคำตอบ

ได้ $0$ อยู่ในคำตอบของเพื่อน เพราะ $0 > -4$ แต่แทนในอสมการเดิมได้ $-3(0) > 12$ คือ $0 > 12$ เป็นเท็จ คำตอบของเพื่อนจึงผิด เพื่อนหารด้วย $-3$ แล้วลืมกลับเครื่องหมาย ที่ถูกคือ $x < -4$ ลองแทน $x = -5$ ได้ $15 > 12$ เป็นจริง

ตัวอย่าง 4

แก้อสมการ $-\dfrac{x}{4} \ge 2$

คูณทั้งสองข้างด้วย $-4$ เพื่อให้เหลือ $x$ ตัวเดียว $-4$ เป็นจำนวนลบ ต้องกลับ $\ge$ เป็น $\le$
ได้ $x \le -8$
ตรวจทิศ แทน $x = -12$ ได้ $-\tfrac{-12}{4} = 3$ และ $3 \ge 2$ เป็นจริง

เลี่ยงการหารด้วยจำนวนลบ

ย้ายพจน์ที่มีตัวแปรไปข้างที่สัมประสิทธิ์เป็นบวก เช่น $5 - 2x < 11$ บวก $2x$ และ $-11$ ทั้งสองข้าง ได้ $-6 < 2x$ หารด้วย $2$ ได้ $-3 < x$ ซึ่งก็คือ $x > -3$ ตรงกับตัวอย่าง 3 โดยไม่ต้องกลับเครื่องหมาย แต่ต้องอ่านกลับให้ $x$ อยู่ข้างซ้ายก่อนเขียนกราฟ

ตรวจคำตอบสองอย่าง

ตรวจคำตอบของอสมการต้องตรวจสองอย่าง เพราะคำตอบมีทั้งจุดปลายและทิศ

ตรวจจุดปลาย แทนจุดปลายลงในอสมการเดิม สองข้างต้องเท่ากันพอดี
ตรวจทิศ เลือกจำนวนง่ายๆ หนึ่งจำนวนที่อยู่ในคำตอบ เช่น $0$ แทนแล้วต้องได้ประโยคที่เป็นจริง

ถ้าตรวจแค่จุดปลายจะจับการลืมกลับเครื่องหมายไม่ได้ เพราะคำตอบที่ลืมกลับมีจุดปลายเท่าเดิม ผิดแค่ทิศ แบบในกล่องลองคิดข้างบน

สรุป

บวกหรือลบจำนวนเดียวกันทั้งสองข้าง เครื่องหมายเหมือนเดิม
คูณหรือหารด้วยจำนวนบวก เครื่องหมายเหมือนเดิม
คูณหรือหารด้วยจำนวนลบ ต้องกลับเครื่องหมาย
ตรวจคำตอบทั้งจุดปลายและทิศ