descartesclytie0x/descartes-math-platform
บทที่ 24 ความคล้ายตรงกับหนังสือ ม.3 เล่ม 1 บทที่ 4

24.2 รูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

หน้าที่แล้ว รูปสี่เหลี่ยมต้องตรวจทั้งมุมและด้านจึงจะบอกได้ว่าคล้ายกัน รูปสามเหลี่ยมพิเศษกว่านั้น ลองวาดรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มุมเหมือนกันแต่ฐานยาวไม่เท่ากัน แล้วดูว่าเกิดอะไรขึ้น

50°60°70°50°60°70°4 ซม.8 ซม.
วาดฐานแล้วใช้ไม้โปรแทรกเตอร์สร้างมุม 50∘50^\circ กับ 60∘60^\circ ที่ปลายฐาน ได้มุมยอด 70∘70^\circ ทั้งสองรูป

ถ้าวัดด้านของสองรูปนี้ จะได้ว่าด้านของรูปใหญ่ยาวเป็น 22 เท่าของด้านที่คู่กันของรูปเล็กทุกด้าน ไม่ได้บังเอิญ เหตุผลมีอยู่สองขั้น

  1. เอารูปเล็กไปขยาย 22 เท่า ได้รูปที่ฐานยาว 88 เซนติเมตร และมุมที่ฐานยังเป็น 50∘50^\circ กับ 60∘60^\circ เพราะการขยายไม่เปลี่ยนมุม
  2. รูปที่ขยายแล้วกับรูปใหญ่มีมุม ด้าน มุม เท่ากัน จากบทที่ 17 จึงเท่ากันทุกประการแบบ ม.ด.ม. แปลว่ารูปใหญ่ก็คือรูปเล็กที่ขยาย 22 เท่านั่นเอง

ใช้ 88 แทนด้วยความยาวฐานเท่าไรก็ได้ เหตุผลเดิมยังใช้ได้ รูปสามเหลี่ยมที่มีมุมเท่ากันจึงคล้ายกันเสมอ

มุมเท่ากันก็พอ

รูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

  • รูปสามเหลี่ยมสองรูปคล้ายกัน ก็ต่อเมื่อ มุมที่สมนัยกันมีขนาดเท่ากันเป็นคู่ๆ ทั้งสามคู่
  • ถ้าอัตราส่วนของความยาวของด้านที่สมนัยกันเท่ากันทั้งสามคู่ รูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นคล้ายกัน

มุมภายในของรูปสามเหลี่ยมรวมกันได้ 180∘180^\circ เสมอ ถ้ามุมเท่ากันแล้วสองคู่ มุมคู่ที่สามก็ต้องเท่ากันเอง ในทางปฏิบัติจึงตรวจมุมแค่สองคู่ก็พอ นี่คือวิธีที่ใช้บ่อยที่สุดในบทนี้

ข้อนี้ใช้กับรูปสี่เหลี่ยมไม่ได้ รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสกับรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีมุมเท่ากันหมด แต่ไม่คล้ายกัน รูปสามเหลี่ยมพิเศษตรงที่พอกำหนดมุมแล้ว รูปร่างก็ถูกล็อกไว้ เหลือแค่ขนาดที่เปลี่ยนได้

เขียนสัญลักษณ์ให้จุดยอดตรงกัน

เมื่อเขียน △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF ตัวอักษรตำแหน่งเดียวกันคือจุดยอดที่สมนัยกัน แบบเดียวกับการเขียน ≅\cong ในบทที่ 17 จุด AA คู่กับ DD จุด BB คู่กับ EE จุด CC คู่กับ FF จึงอ่านได้ทันทีว่า

A^=D^B^=E^C^=F^\hat{A} = \hat{D} \qquad \hat{B} = \hat{E} \qquad \hat{C} = \hat{F} DEAB=EFBC=DFAC\frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = \frac{DF}{AC}

ด้านที่สมนัยกันคือด้านที่ใช้ตัวอักษรตำแหน่งเดียวกัน ABAB ใช้ตัวที่ 1 กับ 2 จึงคู่กับ DEDE ซึ่งเป็นตัวที่ 1 กับ 2 ของอีกรูป

ตัวอย่าง 1

กำหนดให้ △PQR∼△XZY\triangle PQR \sim \triangle XZY จงเขียนมุมที่เท่ากันและอัตราส่วนของด้านที่เท่ากัน

  1. จับคู่ตามตำแหน่ง PP คู่กับ XX QQ คู่กับ ZZ RR คู่กับ YY สังเกตว่า QQ ไม่ได้คู่กับ YY แม้ตัวอักษรจะเรียงกันในภาษาอังกฤษ
  2. มุมที่เท่ากัน P^=X^\hat{P} = \hat{X} Q^=Z^\hat{Q} = \hat{Z} R^=Y^\hat{R} = \hat{Y}
  3. PQPQ ใช้ตัวที่ 1 กับ 2 คู่กับ XZXZ ส่วน QRQR คู่กับ ZYZY และ PRPR คู่กับ XYXY
  4. ได้ XZPQ=ZYQR=XYPR\dfrac{XZ}{PQ} = \dfrac{ZY}{QR} = \dfrac{XY}{PR}

ตัวอย่าง 2

△ABC\triangle ABC มี A^=40∘\hat{A} = 40^\circ และ B^=75∘\hat{B} = 75^\circ ส่วน △DEF\triangle DEF มี D^=75∘\hat{D} = 75^\circ และ F^=65∘\hat{F} = 65^\circ รูปสามเหลี่ยมสองรูปนี้คล้ายกันหรือไม่ ถ้าคล้ายกัน ให้เขียนสัญลักษณ์ให้ถูกลำดับ

  1. หามุมที่เหลือของแต่ละรูป C^=180∘−40∘−75∘=65∘\hat{C} = 180^\circ - 40^\circ - 75^\circ = 65^\circ และ E^=180∘−75∘−65∘=40∘\hat{E} = 180^\circ - 75^\circ - 65^\circ = 40^\circ
  2. จับคู่มุมที่เท่ากัน A^=E^=40∘\hat{A} = \hat{E} = 40^\circ B^=D^=75∘\hat{B} = \hat{D} = 75^\circ C^=F^=65∘\hat{C} = \hat{F} = 65^\circ
  3. มุมเท่ากันครบทุกคู่ จึงคล้ายกัน
  4. เรียงตัวอักษรตามคู่ AA กับ EE BB กับ DD CC กับ FF ได้ △ABC∼△EDF\triangle ABC \sim \triangle EDF ถ้าเขียน △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF จะผิด เพราะบอกว่า AA คู่กับ DD

ลองคิดก่อน

รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วสองรูปใดๆ คล้ายกันเสมอไหม แล้วรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าสองรูปใดๆ ล่ะ

ดูคำตอบ

รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วไม่คล้ายกันเสมอ รูปที่มุมยอด 40∘40^\circ มีมุมที่ฐาน 70∘70^\circ สองมุม แต่รูปที่มุมยอด 100∘100^\circ มีมุมที่ฐาน 40∘40^\circ สองมุม มุมไม่เท่ากัน จึงไม่คล้ายกัน ส่วนรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าทุกรูปมีมุม 60∘60^\circ สามมุม จึงคล้ายกันเสมอ

ตัวอย่าง 3

รูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีด้านยาว 44 66 และ 88 เซนติเมตร รูปสามเหลี่ยมที่มีด้านยาวตามนี้ รูปใดคล้ายกับรูปแรก

(1) 99 1212 66 (2) 66 99 1111

  1. ไม่รู้ว่าด้านไหนคู่กับด้านไหน ให้เรียงจากสั้นไปยาวทั้งสองรูป แล้วจับคู่สั้นกับสั้น ยาวกับยาว
  2. รูป (1) เรียงได้ 66 99 1212 อัตราส่วน 64=96=128=1.5\tfrac{6}{4} = \tfrac{9}{6} = \tfrac{12}{8} = 1.5 เท่ากันทั้งสามคู่ จึงคล้ายกัน
  3. รูป (2) ได้ 64=96=1.5\tfrac{6}{4} = \tfrac{9}{6} = 1.5 แต่ 118=1.375\tfrac{11}{8} = 1.375 ไม่เท่ากัน จึงไม่คล้ายกัน แม้สองคู่แรกจะเท่ากันก็ตาม

หาด้านที่ไม่รู้

พอรู้ว่ารูปสามเหลี่ยมสองรูปคล้ายกัน ก็ตั้งสัดส่วนจากด้านที่สมนัยกันได้ แล้วแก้สัดส่วนแบบในบทที่ 7

ตัวอย่าง 4

กำหนดให้ △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF โดย AB=8AB = 8 BC=10BC = 10 AC=6AC = 6 และ DE=12DE = 12 เซนติเมตร จงหา EFEF และ DFDF

  1. ABAB คู่กับ DEDE BCBC คู่กับ EFEF ACAC คู่กับ DFDF
  2. ตั้งสัดส่วน EFBC=DEAB\dfrac{EF}{BC} = \dfrac{DE}{AB} ได้ EF10=128\dfrac{EF}{10} = \dfrac{12}{8}
  3. คูณ 1010 ทั้งสองข้าง EF=10×128=15EF = 10 \times \dfrac{12}{8} = 15 เซนติเมตร
  4. ทำแบบเดียวกัน DF=6×128=9DF = 6 \times \dfrac{12}{8} = 9 เซนติเมตร
  5. ตรวจด้วยตาว่าสมเหตุสมผล DEDE ยาวกว่า ABAB ด้านอื่นของ △DEF\triangle DEF ก็ต้องยาวกว่าด้านที่คู่กันใน △ABC\triangle ABC ด้วย

สรุป

  • รูปสามเหลี่ยมที่มีมุมเท่ากันเป็นคู่ๆ คล้ายกัน ตรวจแค่สองคู่ก็พอเพราะมุมรวมกันได้ 180∘180^\circ
  • รูปสามเหลี่ยมที่อัตราส่วนของด้านที่สมนัยกันเท่ากันทั้งสามคู่ก็คล้ายกัน
  • ใน △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF ตัวอักษรตำแหน่งเดียวกันคู่กัน ต้องเขียนให้ถูกลำดับ
  • หาด้านที่ไม่รู้ด้วยสัดส่วน แล้วตรวจว่ารูปที่ใหญ่กว่าได้ด้านยาวกว่าจริง