17.5 การนำไปใช้

เงื่อนไขทั้งสี่ข้อมีประโยชน์ตรงที่เปลี่ยนเรื่องที่ไม่รู้ให้เป็นเรื่องที่รู้ ถ้าอยากรู้ว่าด้านสองด้านยาวเท่ากันไหม แต่วัดไม่ได้หรือไม่อยากวัด ให้หารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีสองด้านนั้นเป็นด้านคู่ที่สมนัยกัน แล้วแสดงว่ารูปสามเหลี่ยมทั้งสองเท่ากันทุกประการ ด้านคู่นั้นก็ยาวเท่ากันทันที มุมก็ใช้วิธีเดียวกัน

เขียนการพิสูจน์

การพิสูจน์ทางเรขาคณิตเขียนเป็นขั้น ทุกขั้นต้องมีเหตุผลกำกับ เหตุผลที่ใช้บ่อยในบทนี้มีห้าแบบ

กำหนดให้ คือสิ่งที่โจทย์บอกมา
ด้านร่วม หรือมุมร่วม คือด้านหรือมุมที่รูปสามเหลี่ยมสองรูปใช้ร่วมกัน
มุมตรงข้าม คือมุมที่เกิดจากเส้นตรงสองเส้นตัดกันแล้วอยู่ตรงข้ามกัน ซึ่งมีขนาดเท่ากันเสมอ
ชื่อเงื่อนไข คือ ด.ม.ด. ม.ด.ม. ด.ด.ด. หรือ ฉ.ด.ด. ใช้ในขั้นที่สรุปว่ารูปสามเหลี่ยมเท่ากันทุกประการ
ด้านคู่ที่สมนัยกันหรือมุมคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ ใช้ในขั้นสุดท้ายที่ดึงสิ่งที่ต้องการออกมา

ทำไมมุมตรงข้ามจึงเท่ากัน

เส้นตรงสองเส้นตัดกันเกิดมุมสี่มุม มุมที่อยู่ติดกันรวมกันได้ $180^\circ$ เพราะประกอบกันเป็นมุมตรง ถ้ามุมหนึ่งเป็น $50^\circ$ มุมที่อยู่ติดกันต้องเป็น $130^\circ$ และมุมที่อยู่ตรงข้ามกับมุมแรกก็ติดกับมุม $130^\circ$ เหมือนกัน จึงเป็น $180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$ เท่ากับมุมแรก ใช้เหตุผลเดียวกันได้กับมุมทุกขนาด

ตัวอย่าง 1

กำหนดให้ $\triangle ABC$ มี $AB = AC$ และ $\overline{AD}$ แบ่งครึ่ง $B\hat{A}C$ โดย $D$ อยู่บน $\overline{BC}$ จงพิสูจน์ว่า $A\hat{B}C = A\hat{C}B$

AB = AC และ AD แบ่งครึ่งมุม BAC

$AB = AC$ (กำหนดให้)
$B\hat{A}D = C\hat{A}D$ ( $\overline{AD}$ แบ่งครึ่ง $B\hat{A}C$ )
$AD = AD$ (ด้านร่วม)
$\triangle ABD \cong \triangle ACD$ (ด.ม.ด.) เพราะมุมในขั้นที่ 2 อยู่ระหว่างด้านในขั้นที่ 1 กับขั้นที่ 3 พอดี
$A\hat{B}D = A\hat{C}D$ (มุมคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ)
$D$ อยู่บน $\overline{BC}$ มุม $A\hat{B}D$ จึงเป็นมุมเดียวกับ $A\hat{B}C$ และ $A\hat{C}D$ เป็นมุมเดียวกับ $A\hat{C}B$ ได้ $A\hat{B}C = A\hat{C}B$ ตามที่ต้องการ

ในกระดาษ นิยมเขียนการพิสูจน์เป็นตารางสองช่อง ช่องซ้ายเป็นข้อความ ช่องขวาเป็นเหตุผล

ข้อความ	เหตุผล
$AB = AC$	กำหนดให้
$B\hat{A}D = C\hat{A}D$	$\overline{AD}$ แบ่งครึ่ง $B\hat{A}C$
$AD = AD$	ด้านร่วม
$\triangle ABD \cong \triangle ACD$	ด.ม.ด.
$A\hat{B}C = A\hat{C}B$	มุมคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ

ผลของตัวอย่างนี้ใช้บ่อยมากจนตั้งเป็นสมบัติ

รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

ถ้ารูปสามเหลี่ยมมีด้านยาวเท่ากันสองด้าน มุมที่อยู่ตรงข้ามด้านทั้งสองนั้น ซึ่งเรียกว่ามุมที่ฐาน มีขนาดเท่ากัน

จาก $\triangle ABD \cong \triangle ACD$ ในตัวอย่าง 1 ยังได้อีกสองอย่าง คือ $BD = CD$ แปลว่า $D$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $\overline{BC}$ และ $A\hat{D}B = A\hat{D}C$ ซึ่งสองมุมนี้รวมกันเป็นมุมตรง $180^\circ$ จึงเป็นมุมละ $90^\circ$ เส้นแบ่งครึ่งมุมยอดของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วจึงตั้งฉากกับฐานและแบ่งฐานออกเป็นสองส่วนเท่ากัน

ลองคิดก่อน

เพื่อนพิสูจน์ตัวอย่าง 1 แบบนี้ ขั้นแรก $A\hat{B}D = A\hat{C}D$ เพราะเป็นมุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ขั้นต่อมา $AB = AC$ และ $B\hat{A}D = C\hat{A}D$ แล้วสรุปว่า $\triangle ABD \cong \triangle ACD$ แบบ ม.ด.ม. สุดท้ายจึงได้ $A\hat{B}C = A\hat{C}B$ การพิสูจน์นี้มีปัญหาตรงไหน

ดูคำตอบ

ขั้นแรกใช้สิ่งที่โจทย์ให้พิสูจน์มาเป็นเหตุผล มุมที่ฐานเท่ากันคือข้อสรุปที่ต้องการ ตอนนั้นยังไม่ได้พิสูจน์ จึงยกมาใช้ไม่ได้ การพิสูจน์แบบนี้วนกลับมาที่จุดเริ่มต้นโดยไม่ได้แสดงอะไรเลย เหตุผลทุกขั้นต้องมาจากสิ่งที่กำหนดให้ สมบัติที่พิสูจน์ไว้แล้ว หรือขั้นก่อนหน้าเท่านั้น

วัดระยะที่เข้าไปวัดไม่ได้

ตัวอย่าง 2

นักเรียนอยากรู้ระยะจากต้นไม้ $A$ ไปเสาไฟ $B$ ซึ่งอยู่คนละฝั่งของสระน้ำในโรงเรียน เดินลุยน้ำไปวัดตรงๆ ไม่ได้ จึงทำแบบนี้ เลือกจุด $O$ บนบกที่เดินไปถึงทั้ง $A$ และ $B$ ได้ เดินจาก $A$ ผ่าน $O$ ต่อไปอีกเท่าระยะ $AO$ ปักหลักที่ $C$ แล้วเดินจาก $B$ ผ่าน $O$ ต่อไปอีกเท่าระยะ $BO$ ปักหลักที่ $D$ จากนั้นนับก้าวจาก $C$ ไป $D$ ได้ $62$ ก้าว ถ้าก้าวหนึ่งยาว $0.75$ เมตร ระยะ $AB$ เป็นเท่าใด

เดินผ่าน O ไปจนได้ OC เท่ากับ OA และ OD เท่ากับ OB แล้ววัด CD บนบกแทน AB

$OA = OC$ (เดินต่อไปเท่าระยะเดิม)
$A\hat{O}B = C\hat{O}D$ (มุมตรงข้าม)
$OB = OD$ (เดินต่อไปเท่าระยะเดิม)
$\triangle AOB \cong \triangle COD$ (ด.ม.ด.) โดย $A$ $O$ $B$ สมนัยกับ $C$ $O$ $D$
$AB = CD$ (ด้านคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ)
$CD = 62 \times 0.75 = 46.5$ เมตร ดังนั้น $AB$ ยาว $46.5$ เมตร

วิธีนี้ย้ายระยะที่อยู่ข้ามน้ำมาไว้บนบก ช่างสำรวจใช้หลักเดียวกันนี้วัดความกว้างของแม่น้ำและระยะข้ามบึงมานานก่อนจะมีเครื่องวัดระยะด้วยเลเซอร์

หาขนาดของมุม

ตัวอย่าง 3

โครงว่าว $ABCD$ ทำจากไม้สี่ท่อนที่ $AB = AD = 30$ เซนติเมตร และ $CB = CD = 50$ เซนติเมตร มีไม้ $\overline{AC}$ เป็นแกนกลาง ถ้า $B\hat{A}D = 80^\circ$ จงหาขนาดของ $B\hat{A}C$

โครงว่าว AB = AD และ CB = CD มีไม้ AC เป็นแกนกลาง

$AB = AD$ (กำหนดให้)
$CB = CD$ (กำหนดให้)
$AC = AC$ (ด้านร่วม)
$\triangle ABC \cong \triangle ADC$ (ด.ด.ด.)
$B\hat{A}C = D\hat{A}C$ (มุมคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ) แปลว่า $\overline{AC}$ แบ่งครึ่ง $B\hat{A}D$
$B\hat{A}C = 80^\circ \div 2 = 40^\circ$

ข้อสังเกตคือตัวอย่างนี้ไม่ได้ใช้ความยาว $30$ กับ $50$ เซนติเมตรในการคำนวณเลย ใช้แค่ว่าด้านคู่ไหนยาวเท่ากัน ตัวเลขช่วยให้นึกภาพออกเท่านั้น ช่างทำว่าวใช้สมบัตินี้วางแกนกลางให้ว่าวทั้งสองซีกเท่ากัน ว่าวจึงไม่เอียงตอนลอยลม

สรุป

พิสูจน์ว่าด้านหรือมุมสองอย่างเท่ากัน ด้วยการหารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่เท่ากันทุกประการ ซึ่งมีด้านหรือมุมนั้นเป็นคู่ที่สมนัยกัน
ทุกขั้นต้องมีเหตุผล ห้ามใช้สิ่งที่ต้องพิสูจน์เป็นเหตุผล
มองหาด้านร่วม มุมร่วม และมุมตรงข้าม ซึ่งมักเป็นข้อมูลที่โจทย์ไม่ได้บอกตรงๆ
มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากัน และเส้นแบ่งครึ่งมุมยอดตั้งฉากกับฐานที่จุดกึ่งกลาง