38.7 ไฮเพอร์โบลา

สถานีตรวจอากาศสองแห่งตั้งห่างกัน $10$ กิโลเมตร เกิดฟ้าผ่าที่ไหนสักแห่ง เสียงฟ้าร้องถึงสถานีหนึ่งก่อนอีกสถานี เสียงเดินทางด้วยอัตราเร็วคงที่ราว $340$ เมตรต่อวินาที ถ้าเสียงถึงสองสถานีห่างกัน $18$ วินาที แปลว่าจุดฟ้าผ่าอยู่ห่างสถานีหนึ่งมากกว่าอีกสถานีราว $6$ กิโลเมตร ข้อมูลนี้ยังไม่บอกตำแหน่งจุดเดียว แต่บอกว่าจุดนั้นอยู่บนเส้นโค้งเส้นหนึ่ง เส้นโค้งที่ทุกจุดมีผลต่างระยะถึงสองจุดคงที่คือไฮเพอร์โบลา

ระบบนำทางเรือรุ่นเก่าและระบบหาตำแหน่งฟ้าผ่าใช้หลักการนี้ เมื่อมีสถานีคู่ที่สองก็ได้ไฮเพอร์โบลาอีกเส้น จุดที่สองเส้นตัดกันคือตำแหน่งจริง

นิยามด้วยผลต่างระยะ

นิยามนี้เหมือนวงรีทุกอย่าง ยกเว้นผลบวกเปลี่ยนเป็นผลต่าง ที่ต้องใส่ค่าสัมบูรณ์เพราะจุดที่อยู่ใกล้ $F_1$ มากกว่าให้ผลต่างเป็นบวกในทิศหนึ่ง จุดที่อยู่ใกล้ $F_2$ มากกว่าให้ผลต่างในทิศกลับกัน สองกรณีนี้ให้รูปสองกิ่งแยกกัน กิ่งละข้าง ไฮเพอร์โบลาจึงมีสองกิ่งเสมอ

ทำไมค่าคงตัวต้องน้อยกว่าระยะระหว่างโฟกัส ตามอสมการสามเหลี่ยม ผลต่างของสองด้านต้องสั้นกว่าด้านที่สาม ซึ่งตรงข้ามกับวงรี

วางศูนย์กลางที่จุดกำเนิด โฟกัสที่ $(\pm c, 0)$ และเรียกค่าคงตัวว่า $2a$ ด้วยเหตุผลเดียวกับวงรี จุดที่ไฮเพอร์โบลาตัดแกน $x$ ทางขวาคือ $(a, 0)$ เพราะระยะถึงโฟกัสซ้ายคือ $c + a$ ระยะถึงโฟกัสขวาคือ $c - a$ ผลต่างคือ $2a$ พอดี จุด $(\pm a, 0)$ เรียกว่าจุดยอด และเพราะ $c > a$ เราจึงนิยาม

$b^2 = c^2 - a^2$

สมการรูปมาตรฐานและเส้นกำกับ

จัดรูปสมการระยะแบบเดียวกับวงรีทุกขั้น จะได้ $(a^2 - c^2)x^2 + a^2y^2 = a^2(a^2 - c^2)$ เหมือนเดิม แต่คราวนี้ $a^2 - c^2$ ติดลบและเท่ากับ $-b^2$ หารด้วย $-a^2b^2$ ได้

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

สมการบอกอะไรเกี่ยวกับรูปได้ทันที แทน $x = 0$ ได้ $-\tfrac{y^2}{b^2} = 1$ ไม่มีคำตอบจริง ไฮเพอร์โบลาจึงไม่ตัดแกน $y$ เลย และเพราะ $\tfrac{x^2}{a^2} = 1 + \tfrac{y^2}{b^2} \ge 1$ จุดบนกราฟต้องมี $|x| \ge a$ กราฟจึงอยู่นอกแถบระหว่างจุดยอดทั้งสอง

เมื่อ $x$ ใหญ่มาก จัดสมการเป็น $y^2 = \tfrac{b^2}{a^2}x^2 - b^2$ พจน์ $-b^2$ เล็กมากเมื่อเทียบกับพจน์แรก กราฟจึงเกือบเป็น $y = \pm\tfrac{b}{a}x$ เส้นสองเส้นนี้เรียกว่าเส้นกำกับ กิ่งของไฮเพอร์โบลาเข้าใกล้เส้นกำกับขึ้นเรื่อยๆ แต่ไม่แตะ เพราะ $y^2$ บนกราฟน้อยกว่า $\tfrac{b^2}{a^2}x^2$ อยู่ $b^2$ เสมอ

วิธีวาดที่เร็วที่สุดคือวาดกรอบสี่เหลี่ยมกว้าง $2a$ สูง $2b$ รอบศูนย์กลาง ลากเส้นทแยงมุมของกรอบต่อออกไปเป็นเส้นกำกับ แล้ววาดกิ่งจากจุดยอดโค้งเข้าหาเส้นกำกับ ระยะจากศูนย์กลางถึงมุมกรอบคือ $\sqrt{a^2 + b^2} = c$ ใช้วงเวียนกางระยะนี้หาโฟกัสได้เลย

ถ้าพจน์ $y$ เป็นพจน์บวก ไฮเพอร์โบลาเปิดขึ้นลง สำหรับไฮเพอร์โบลา $a^2$ หมายถึงตัวส่วนใต้พจน์บวก ไม่จำเป็นต้องเป็นตัวส่วนที่ใหญ่กว่า ข้อนี้ต่างจากวงรี

อ่านค่าจากสมการ

ความชันของเส้นกำกับไม่ต้องท่องแยกสองแบบ คิดจากกรอบเสมอ ความชันคือความสูงของกรอบหารด้วยความกว้าง ถ้าเปิดขึ้นลง กรอบสูง $2a$ กว้าง $2b$ ความชันจึงเป็น $\pm\tfrac{a}{b}$

ทำกำลังสองสมบูรณ์

ไฮเพอร์โบลาในรูปทั่วไปมีสัมประสิทธิ์ของ $x^2$ กับ $y^2$ ต่างเครื่องหมายกัน วิธีจัดรูปเหมือนวงรีทุกขั้น แต่ต้องระวังเครื่องหมายลบที่ดึงออกมาหน้าวงเล็บ

ถ้าลืมว่าเลข $1$ ที่เติมในกลุ่ม $y$ ถูกคูณด้วย $-9$ แล้วบวกขวามือด้วย $+9$ จะได้ $54$ แทน $36$ และทุกค่าที่อ่านต่อจากนั้นผิดหมด ตรวจได้ด้วยการกระจายรูปมาตรฐานกลับไปเทียบกับโจทย์

กลับไปหาจุดฟ้าผ่า

เทียบภาคตัดกรวยทั้งสี่

เมื่อจัดสมการกำลังสองที่ไม่มีพจน์ $xy$ ให้อยู่ในรูป $Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ บอกชนิดรูปได้จากสัมประสิทธิ์ของพจน์กำลังสองก่อนลงมือจัดรูป

ใช้คำว่าน่าจะเป็น เพราะหลังจัดรูปแล้วอาจได้กรณีพิเศษ เช่นวงกลมที่ขวามือติดลบในหน้า 38.4 ซึ่งไม่มีจุดเลย หรือไฮเพอร์โบลาที่ขวามือเป็นศูนย์ ซึ่งกลายเป็นเส้นตรงสองเส้นตัดกัน จึงต้องจัดรูปจนจบเพื่อยืนยันเสมอ

สรุป

• ไฮเพอร์โบลาคือจุดที่ค่าสัมบูรณ์ของผลต่างระยะถึงสองโฟกัสเท่ากับ $2a$ จึงมีสองกิ่ง
• ไฮเพอร์โบลามีพจน์ลบและใช้ $c^2=a^2+b^2$ โฟกัสอยู่นอกจุดยอด
• $a^2$ คือตัวส่วนใต้พจน์บวก และพจน์บวกบอกทิศที่กราฟเปิด
• เส้นกำกับคือเส้นทแยงมุมของกรอบกว้าง $2a$ สูง $2b$ (หรือสลับเมื่อเปิดขึ้นลง)
• จำแนกภาคตัดกรวยจากสัมประสิทธิ์ของ $x^2$ กับ $y^2$ แล้วจัดรูปจนจบเพื่อยืนยัน