12.2 พื้นที่ผิวของปริซึม
จะห่อกล่องของขวัญกว้าง 15 เซนติเมตร ยาว 20 เซนติเมตร สูง 10 เซนติเมตร ต้องใช้กระดาษห่ออย่างน้อยเท่าไร ถ้าไม่นับส่วนที่พับทับกัน คำตอบคือพื้นที่ของทุกหน้าของกล่องรวมกัน ซึ่งก็คือพื้นที่ของรูปคลี่จากหน้า 12.1
พื้นที่ผิวคืออะไร
นิยาม
พื้นที่ผิว (surface area) ของรูปสามมิติ คือผลรวมของพื้นที่ทุกหน้า ซึ่งเท่ากับพื้นที่ของรูปคลี่
พื้นที่ผิวข้าง (lateral surface area) ของปริซึม คือผลรวมของพื้นที่หน้าข้างทั้งหมด ไม่รวมฐาน
พื้นที่ผิวเป็นพื้นที่ จึงมีหน่วยเป็นตารางหน่วย เช่น ตารางเซนติเมตร หรือตารางเมตร
หน้าข้างเรียงกันเป็นแถบยาว
คิดทีละหน้าก็ได้ แต่ถ้าปริซึมมีหลายหน้าจะช้าและลืมง่าย ลองตัดกล่องของขวัญให้หน้าข้างทั้งสี่หน้าเรียงกันเป็นแถบเดียว
หน้าข้างทุกหน้าสูง 10 เซนติเมตรเท่ากัน เพราะความสูงของปริซึมเท่ากันทุกขอบข้าง พอเรียงต่อกันจึงได้รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากรูปเดียว ด้านยาวของมันคือขอบของฐานทุกขอบต่อกัน ซึ่งก็คือความยาวรอบฐาน แถบนี้จึงมีพื้นที่ ตารางเซนติเมตร ไม่ต้องคิดทีละหน้า
พื้นที่ผิวของปริซึม
สำหรับปริซึมตรงทุกชนิด
สูตรนี้ใช้ได้กับฐานทุกรูป เพราะไม่ว่าฐานจะมีกี่ขอบ หน้าข้างก็เรียงต่อกันเป็นแถบเดียวที่สูงเท่ากับความสูงของปริซึมเสมอ
ตัวอย่าง 1
กล่องของขวัญกว้าง เซนติเมตร ยาว เซนติเมตร สูง เซนติเมตร มีพื้นที่ผิวเท่าไร
- ฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากขนาด พื้นที่ฐาน ตารางเซนติเมตร
- ความยาวรอบฐาน เซนติเมตร
- พื้นที่ผิวข้าง ตารางเซนติเมตร
- พื้นที่ผิว ตารางเซนติเมตร
- ตรวจด้วยการคิดทีละคู่หน้า หน้าบนล่าง หน้าหน้าหลัง หน้าซ้ายขวา รวม ตรงกัน
ลองคิดก่อน
เพื่อนคิดพื้นที่ผิวของกล่องในตัวอย่าง 1 ว่า ตารางเซนติเมตร ผิดตรงไหน
ดูคำตอบ
คือการคูณความยาวสามทิศเข้าด้วยกัน ได้เป็นปริมาตร ซึ่งมีหน่วยเป็นลูกบาศก์เซนติเมตร ไม่ใช่พื้นที่ ดูจากหน่วยก็จับได้ เซนติเมตรคูณกันสามตัวได้ลูกบาศก์เซนติเมตร ส่วนพื้นที่ต้องเป็นเซนติเมตรคูณกันสองตัว พื้นที่ผิวคือ ตารางเซนติเมตร ส่วน ลูกบาศก์เซนติเมตรคือปริมาตรที่กล่องจุได้ ซึ่งจะเรียนในหน้า 12.4
ปริซึมสามเหลี่ยม
ฐานที่ไม่ใช่สี่เหลี่ยมใช้สูตรเดิมได้ทุกอย่าง แต่บางครั้งโจทย์ไม่ได้ให้ความยาวทุกค่าที่ต้องใช้ ต้องหาเองด้วยทฤษฎีบทพีทาโกรัส
ตัวอย่าง 2
เต็นท์ในรูปทำด้วยผ้าทั้งหลังรวมพื้นด้วย ฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ด้านล่างยาว เมตร ด้านเอียงยาวด้านละ เมตร เต็นท์ยาว เมตร ต้องใช้ผ้าอย่างน้อยกี่ตารางเมตร
- ฐานของปริซึมคือรูปสามเหลี่ยมที่ปลายเต็นท์ ไม่ใช่พื้นเต็นท์ ความสูงของปริซึมจึงเป็นความยาวของเต็นท์ เมตร
- หาความสูงของรูปสามเหลี่ยม เส้นประแบ่งด้านล่างเป็นสองส่วน ส่วนละ เมตร และได้รูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านตรงข้ามมุมฉาก เมตร ความสูง เมตร
- พื้นที่ฐาน ตารางเมตร
- ความยาวรอบฐาน เมตร พื้นที่ผิวข้าง ตารางเมตร
- พื้นที่ผิว ตารางเมตร ต้องใช้ผ้าอย่างน้อย ตารางเมตร
ความยาวรอบฐานใช้ด้านของรูปสามเหลี่ยมทั้งสามด้าน ไม่ใช่ความสูงของรูปสามเหลี่ยม ความสูง เมตรใช้แค่ตอนหาพื้นที่ฐานเท่านั้น
ไม่ต้องใช้ทุกหน้า
โจทย์จริงหลายข้อไม่ได้ถามพื้นที่ผิวทั้งหมด เช่น ตู้ที่ไม่มีฝา ห้องที่ทาสีแค่ผนัง ให้อ่านโจทย์ก่อนว่าหน้าไหนต้องนับ หน้าไหนไม่ต้อง
ตัวอย่าง 3
ตู้ปลาทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากไม่มีฝา ยาว เซนติเมตร กว้าง เซนติเมตร สูง เซนติเมตร ต้องใช้กระจกกี่ตารางเซนติเมตร
- ไม่มีฝา จึงมีฐานแค่ฐานล่างฐานเดียว พื้นที่ ตารางเซนติเมตร
- ผนังทั้งสี่ด้านคือหน้าข้าง ความยาวรอบฐาน เซนติเมตร พื้นที่ผิวข้าง ตารางเซนติเมตร
- กระจกทั้งหมด ตารางเซนติเมตร
สรุป
- พื้นที่ผิวคือผลรวมพื้นที่ทุกหน้า เท่ากับพื้นที่ของรูปคลี่ มีหน่วยเป็นตารางหน่วย
- พื้นที่ผิวข้าง ความยาวรอบฐาน ความสูง เพราะหน้าข้างเรียงต่อกันเป็นแถบเดียว
- พื้นที่ผิว พื้นที่ผิวข้าง พื้นที่ฐาน
- หาฐานให้ถูกก่อน ถ้าขาดความยาวด้านใด ลองใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
- อ่านโจทย์ว่าต้องนับทุกหน้าหรือไม่ เช่นกล่องไม่มีฝามีฐานแค่ฐานเดียว