48.3 แผนภูมิที่ทำให้เข้าใจผิด

ก่อนเลือกตั้งประธานนักเรียน ทีมผู้สมัครคนหนึ่งโพสต์แผนภูมิแท่งจากโพลในโรงเรียน แท่งของตัวเองสูงเกือบสามเท่าของคู่แข่ง พร้อมข้อความว่าชนะขาดลอย ตัวเลขบนแท่งคือ $52\%$ กับ $48\%$ ตัวเลขไม่ผิด แต่ภาพบอกคนละเรื่องกับตัวเลข

ในหน้า 9.4 เราเคยเห็นกลเม็ดพื้นฐานแล้ว คือแกนตั้งไม่เริ่มที่ศูนย์ ช่วงเวลาบนแกนนอนไม่เท่ากัน และรูปภาพที่ขยายทั้งกว้างและสูง หน้านี้ไปต่ออีกสองขั้น ขั้นแรกคือคำนวณให้ได้ว่าภาพบิดความต่างไปกี่เท่า ขั้นที่สองคือจับกลเม็ดที่ไม่ได้อยู่ที่รูป แต่อยู่ที่ฐานและหมวดของข้อมูล

วัดว่าภาพบิดไปกี่เท่า

แผนภูมิแท่งใช้ความยาวแทนค่า ถ้าแกนเริ่มที่ $0$ แท่งของค่า $v$ ยาวเป็นสัดส่วนกับ $v$ แต่ถ้าแกนเริ่มที่ค่า $b$ ส่วนที่มองเห็นของแท่งยาวเป็นสัดส่วนกับ $v-b$ เท่านั้น ส่วนล่างถูกตัดทิ้งไป

เทียบอัตราส่วนสองแบบ

ค่าบวกสองค่า $v_1$ น้อยกว่า $v_2$ บนแผนภูมิแท่งที่แกนเริ่มที่ $b$ ซึ่ง $b$ น้อยกว่า $v_1$ อัตราส่วนในข้อมูลคือ $\dfrac{v_2}{v_1}$ แต่อัตราส่วนความยาวในภาพคือ $\dfrac{v_2-b}{v_1-b}$ ภาพซื่อตรงเมื่อสองค่านี้เท่ากัน ซึ่งเกิดเมื่อ $b=0$

เมื่อ $b$ เป็นบวกและเข้าใกล้ $v_1$ ตัวส่วน $v_1-b$ เล็กลงมาก อัตราส่วนในภาพจึงโตขึ้นเรื่อยๆ ผู้ทำแผนภูมิจึงทำให้ความต่างเล็กน้อยดูมหาศาลได้ ด้วยการเลือก $b$ ให้ชิดค่าที่น้อยกว่า

ตัวอย่าง 1

โพลในโรงเรียนได้ $52\%$ กับ $48\%$ แผนภูมิแกนเริ่มที่ $46$ แท่งของ $52\%$ ดูยาวกี่เท่าของแท่ง $48\%$ และค่าจริงต่างกันกี่เท่า

ส่วนที่มองเห็นของแท่งแรก $52-46=6$ หน่วย แท่งที่สอง $48-46=2$ หน่วย อัตราส่วนในภาพ $6/2=3$ เท่า
อัตราส่วนในข้อมูล $52/48=13/12$ ประมาณ $1.08$ เท่า คือมากกว่ากันไม่ถึงหนึ่งในสิบ
ภาพจึงขยายความต่างจาก $1.08$ เท่าเป็น $3$ เท่า ถ้าโพลมีผู้ตอบไม่กี่ร้อยคน ความต่าง $4$ จุดร้อยละอาจเกิดจากการสุ่มตัวอย่างเพียงอย่างเดียว คำว่าชนะขาดลอยจึงเกินหลักฐานมาก

ลองคิดก่อน

ถ้าแกนไม่เริ่มที่ศูนย์ทำให้ภาพบิด กราฟเส้นแสดงอุณหภูมิร่างกายทุกชั่วโมงของผู้ป่วย ซึ่งแกนตั้งเริ่มที่ $36$ องศาเซลเซียส ก็ผิดด้วยใช่ไหม

ดูคำตอบ

ไม่จำเป็น กฎแกนเริ่มที่ศูนย์ใช้กับแผนภูมิแท่ง เพราะแท่งใช้ความยาวทั้งแท่งแทนค่า กราฟเส้นใช้ตำแหน่งและความชันบอกการเปลี่ยนแปลง ไม่มีใครเทียบความสูงของจุดกับพื้นกราฟ อุณหภูมิร่างกายไม่เคยเข้าใกล้ $0$ องศา ถ้าบังคับเริ่มที่ศูนย์ ไข้ $38$ องศาจะมองไม่เห็น สิ่งที่ต้องมีคือตัวเลขบนแกนที่อ่านชัด และไม่เลือกช่วงแกนเพื่อขยายความต่างที่ไม่สำคัญ

รูปภาพที่ขยายทั้งกว้างและสูง

แผนภูมิรูปภาพบางแบบไม่ได้ใช้รูปเล็กเรียงซ้ำ แต่ใช้รูปเดียวที่ขนาดต่างกัน ปัญหาคือตาของเราอ่านพื้นที่ ไม่ได้อ่านความสูง ถ้าขยายด้านทั้งสองด้วยตัวคูณ $k$ พื้นที่จะเพิ่มเป็น $k^2$ เท่า ความต่างในภาพจึงเกินความต่างในข้อมูลเสมอเมื่อ $k$ มากกว่า $1$

ลองคิดก่อน

ใช้รูปคนแทนความถี่แล้วขยายทั้งกว้างและสูงเป็นสองเท่าเพื่อแทนจำนวนสองเท่าได้ไหม

ดูคำตอบ

ทำให้พื้นที่รูปเป็นสี่เท่าและชวนให้มองเกินจริง ใช้รูปหน่วยขนาดเท่ากันซ้ำ หรือใช้แท่งความกว้างคงที่ที่ความสูงเป็นสัดส่วนกับข้อมูล

ตัวอย่าง 2

งบประมาณชมรมคอมพิวเตอร์ปีที่แล้ว $20{,}000$ บาท ปีนี้ $45{,}000$ บาท ฝ่ายประชาสัมพันธ์วาดถุงเงินรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ปีนี้ให้ด้านยาวเป็น $2.25$ เท่าของปีที่แล้ว ภาพบอกว่างบเพิ่มกี่เท่า และควรขยายด้านกี่เท่าจึงจะซื่อตรง

งบจริงเพิ่ม $45000/20000=2.25$ เท่า
ด้านยาวขึ้น $2.25$ เท่าทั้งกว้างและสูง พื้นที่จึงเพิ่ม $2.25^2=5.0625$ เท่า ผู้อ่านจะรู้สึกว่างบเพิ่มราวห้าเท่า
ถ้าต้องการให้พื้นที่เพิ่ม $2.25$ เท่าพอดี ด้านต้องขยาย $\sqrt{2.25}=1.5$ เท่า เพราะ $1.5^2=2.25$
ทางที่ดีกว่าคือไม่ใช้พื้นที่เลย ใช้แท่งกว้างเท่ากันสองแท่งสูง $20$ กับ $45$ หน่วย หรือใช้ถุงเงินขนาดเท่ากัน ถุงละ $5{,}000$ บาท ปีที่แล้ว $4$ ถุง ปีนี้ $9$ ถุง

งบประมาณเพิ่ม

2.25

เท่า รูปกลางขยายด้าน

1.5

เท่าให้พื้นที่เพิ่ม

2.25

เท่า รูปขวาขยายด้าน

2.25

เท่า พื้นที่จึงเพิ่มราว

5

เท่า

แผนภูมิวงกลมแบบสามมิติเป็นปัญหาเดียวกันในอีกรูปหนึ่ง เมื่อเอียงวงกลมให้ดูมีความหนา ชิ้นที่อยู่ด้านหน้าจะเห็นทั้งหน้าและขอบ จึงดูใหญ่กว่าชิ้นด้านหลังที่มีขนาดเท่ากัน ชิ้นที่ถูกดึงแยกออกมาก็ดึงสายตาเกินสัดส่วน ภาพสามมิติไม่ได้เพิ่มข้อมูลใดเลย จึงควรใช้วงกลมแบนเสมอ

วงกลมที่รวมกันไม่ได้หนึ่งวง

แผนภูมิวงกลมสัญญาว่าทุกชิ้นรวมกันเป็นทั้งหมด ถ้าข้อมูลมาจากคำถามที่เลือกได้หลายข้อ หรือหมวดทับซ้อนกัน คำสัญญานี้ผิดตั้งแต่ต้น การตรวจทำได้ง่ายมาก คือบวกร้อยละทุกชิ้น

ตัวอย่าง 3

เพจของโรงเรียนลงแผนภูมิวงกลมหัวข้อกิจกรรมที่อยากให้มีในวันกีฬาสี เลือกได้หลายข้อ ชิ้นต่างๆ เขียนว่า ชักเยอ $45\%$ วิ่งผลัด $35\%$ ฟุตบอล $30\%$ เต้นเชียร์ $20\%$ ภาพนี้ผิดตรงไหน และควรนำเสนออย่างไร

บวกร้อยละทุกชิ้น $45+35+30+20=130$ เกิน $100$ เพราะคนหนึ่งเลือกได้หลายกิจกรรม
ถ้าวาดมุมตามร้อยละจริง ต้องใช้มุมรวม $130\times3.6=468$ องศา ซึ่งเกินหนึ่งวง ผู้ทำจึงต้องย่อทุกชิ้นลงเพื่อให้ได้ $360$ องศา ชิ้นชักเยอจะกินมุมเพียง $45/130\times360$ ประมาณ $125$ องศา ซึ่งดูเหมือนราวหนึ่งในสามของนักเรียน ไม่ใช่ $45\%$ ตามที่เขียนไว้
ควรใช้แผนภูมิแท่ง ร้อยละของผู้ตอบ และเขียนกำกับว่าเลือกได้หลายข้อ ผลรวมจึงเกิน $100$

ฐานที่ไม่ได้บอก

กลเม็ดที่จับยากที่สุดไม่ได้อยู่ในรูปเลย แต่อยู่ที่คำถามว่าร้อยละนั้นคิดจากใคร ร้อยละที่สูงมากจากผู้ตอบไม่กี่คน หรือจากกลุ่มที่เลือกตัวเองเข้ามาตอบ บอกอะไรเกี่ยวกับทั้งโรงเรียนได้น้อยมาก

ตัวอย่าง 4

โรงอาหารประกาศว่า นักเรียน $80\%$ ชอบเมนูใหม่ โดยตั้งกล่องให้ใครอยากตอบก็หยอดบัตรได้ มีบัตร $25$ ใบ เขียนว่าชอบ $20$ ใบ โรงเรียนมีนักเรียน $240$ คน ข้อความนี้บอกอะไรได้แน่ และเกินหลักฐานตรงไหน

$80\%$ มาจาก $20/25$ ฐานคือผู้หยอดบัตร $25$ คน ไม่ใช่นักเรียนทั้งหมด
ผู้ตอบมีเพียง $25/240$ ประมาณ $10.4\%$ ของนักเรียน และเป็นคนที่เลือกมาตอบเอง ซึ่งมักเป็นคนที่ชอบหรือไม่ชอบมากเป็นพิเศษ
ที่รู้แน่คือมีอย่างน้อย $20$ คนชอบ คิดเป็น $20/240$ ประมาณ $8.3\%$ ของนักเรียน ส่วนอีก $215$ คนไม่รู้ความเห็นเลย
ข้อความที่ตรงหลักฐานคือ ในผู้หยอดบัตร $25$ คน มี $20$ คนชอบเมนูใหม่ การเขียนว่า นักเรียน $80\%$ ชอบ จึงเกินหลักฐานไปมาก

ลองคิดก่อน

โพลเลือกประธานนักเรียนแสดงแผนภูมิวงกลมสองชิ้น ผู้สมัคร ก $60\%$ ผู้สมัคร ข $40\%$ แต่ในเชิงอรรถเขียนว่าตัดผู้ตอบว่ายังไม่ตัดสินใจออกแล้ว ซึ่งมีครึ่งหนึ่งของผู้ตอบ สรุปได้ไหมว่าผู้สมัคร ก ได้เสียงส่วนใหญ่ของผู้ตอบ

ดูคำตอบ

ไม่ได้ $60\%$ คิดจากผู้ที่ตัดสินใจแล้วซึ่งเป็นครึ่งเดียว เมื่อเทียบกับผู้ตอบทั้งหมด ผู้สมัคร ก ได้ $0.6\times0.5=0.3$ หรือ $30\%$ ผู้สมัคร ข ได้ $20\%$ และยังไม่ตัดสินใจ $50\%$ ผู้ที่ยังไม่ตัดสินใจมากกว่าผู้สนับสนุนทั้งสองคน ผลจึงเปลี่ยนได้มาก การตัดหมวดใดหมวดหนึ่งทิ้งต้องบอกในชื่อแผนภูมิ ไม่ใช่ซ่อนในเชิงอรรถ

ตรวจก่อนเชื่อแผนภูมิ

รวมกับรายการในหน้า 9.4 ได้คำถามที่ควรถามทุกครั้งที่เห็นแผนภูมิในข่าวหรือโซเชียล

ภาพใช้อะไรแทนค่า ความยาว พื้นที่ หรือมุม ถ้าเป็นความยาว แกนต้องเริ่มที่ศูนย์ ถ้าเป็นพื้นที่ ให้ระวังตัวคูณยกกำลังสอง
ฐานคือใคร ร้อยละคิดจากทั้งหมด จากผู้ตอบ หรือจากกลุ่มย่อย และมีกี่คน
หมวดครบไหม มีหมวดที่ถูกตัด รวม หรือซ่อนในอื่นๆ หรือไม่ ถ้าเป็นวงกลม ร้อยละรวมได้ $100$ หรือไม่
ข้อความบนภาพตรงกับตัวเลขไหม คำอย่าง ขาดลอย ส่วนใหญ่ เพิ่มขึ้นมาก ต้องตรวจกับตัวเลขจริงทุกครั้ง

สรุป

แกนแท่งเริ่มที่ $b$ ทำให้อัตราส่วนในภาพเป็น $(v_2-b)/(v_1-b)$ แทน $v_2/v_1$
ขยายรูปทั้งสองด้าน $k$ เท่า พื้นที่เพิ่ม $k^2$ เท่า ถ้าจำเป็นต้องใช้พื้นที่ ให้ขยายด้าน $\sqrt{k}$ เท่า
วงกลมต้องรวมได้ $100\%$ คำถามเลือกได้หลายข้อใช้แผนภูมิแท่ง
ร้อยละทุกตัวต้องบอกฐานและจำนวนผู้ตอบ

หน้าสุดท้ายจะดูว่าแม้แผนภูมิจะซื่อตรงทุกอย่าง การอ่านตารางที่รวมหลายกลุ่มก็ยังพาไปสู่ข้อสรุปที่กลับด้านได้