11.4 ประมาณค่ารากที่สองและเส้นจำนวน

จะตัดกระดาษสีเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสพื้นที่ $50$ ตารางเซนติเมตร ไปติดบอร์ดหน้าห้อง ด้านต้องยาว $\sqrt{50}$ เซนติเมตร แต่ $50$ ไม่ใช่จำนวนกำลังสองสมบูรณ์ $\sqrt{50}$ จึงเป็นจำนวนอตรรกยะ เขียนเป็นทศนิยมให้ครบไม่ได้

ไม้บรรทัดวัดได้ละเอียดแค่มิลลิเมตร คือทศนิยมหนึ่งตำแหน่งของเซนติเมตร เราจึงไม่ต้องการค่าที่แม่นทุกตำแหน่ง ต้องการแค่ค่าประมาณที่ดีพอ หน้านี้ประมาณค่ารากที่สองด้วยการบีบช่วงให้แคบลงทีละขั้น

อยู่ระหว่างจำนวนเต็มใด

จำนวนบวกที่มากกว่า ยกกำลังสองแล้วได้ค่ามากกว่า และกลับกันก็จริง จึงเทียบรากที่สองได้จากการเทียบจำนวนข้างใน

วิธีหาว่า $\sqrt{b}$ อยู่ระหว่างจำนวนเต็มใด คือหาจำนวนกำลังสองสมบูรณ์สองตัวที่อยู่ติดกัน ตัวหนึ่งน้อยกว่า $b$ อีกตัวมากกว่า $b$

ประมาณเป็นทศนิยม

รู้แล้วว่า $1 < \sqrt{2} < 2$ เพราะ $1^2 = 1$ และ $2^2 = 4$ จะให้แม่นขึ้น แบ่งช่วง $1$ ถึง $2$ เป็นสิบช่อง ทีละ $0.1$ แล้วยกกำลังสองไล่ไป

$1.96 < 2 < 2.25$ จึงได้ $1.4 < \sqrt{2} < 1.5$ ทำซ้ำกับช่วง $1.4$ ถึง $1.5$ ทีละ $0.01$ จะเจอว่า $1.41^2 = 1.9881$ และ $1.42^2 = 2.0164$ จึงได้ $1.41 < \sqrt{2} < 1.42$ ทุกครั้งที่ทำ ช่วงแคบลงสิบเท่า

ปัดเป็นทศนิยมหนึ่งตำแหน่ง

รู้ว่าอยู่ในช่วง $1.4$ ถึง $1.5$ ยังตอบไม่ได้ว่าปัดแล้วได้ $1.4$ หรือ $1.5$ ต้องดูว่าอยู่ซีกไหนของ $1.45$ ซึ่ง $1.45^2 = 2.1025$ มากกว่า $2$ จึงได้ $\sqrt{2} < 1.45$ ปัดได้ $1.4$

ข้อนี้พลาดกันบ่อย เห็นว่า $50$ ห่างจาก $49$ แค่ $1$ เลยคิดว่า $\sqrt{50}$ ต้องใกล้ $7$ มากจนปัดได้ $7.0$ แต่ที่จริง $\sqrt{50} \approx 7.07$ ปัดได้ $7.1$ ต้องยกกำลังสองจุดกึ่งกลาง $7.05$ ดูก่อนปัดเสมอ

ตำแหน่งของ √2 บนเส้นจำนวน

ทศนิยมประมาณได้ใกล้แค่ไหนก็ยังไม่ใช่ $\sqrt{2}$ พอดี แต่บนเส้นจำนวนเราหาจุด $\sqrt{2}$ ได้ตรงเป๊ะด้วยวงเวียน โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสจากบทที่ 10

สร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านยาว $1$ หน่วยบนเส้นจำนวน ให้ด้านล่างอยู่ระหว่าง $0$ กับ $1$ เส้นทแยงมุมเป็นด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากยาว $1$ ทั้งสองด้าน จึงยาว $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ หน่วย กางวงเวียนยาวเท่าเส้นทแยงมุม ใช้ $0$ เป็นจุดศูนย์กลาง เขียนส่วนโค้งลงมาตัดเส้นจำนวน จุดตัดอยู่ห่าง $0$ เป็นระยะ $\sqrt{2}$ พอดี

จุดที่ได้อยู่ระหว่าง $1.41$ กับ $1.42$ ตรงกับที่ประมาณไว้ ถ้าเขียนส่วนโค้งไปทางซ้ายแทน จะได้จุด $-\sqrt{2}$

สรุป

• ถ้า $a^2 < b < c^2$ เมื่อ $a$ $b$ $c$ เป็นบวก แล้ว $a < \sqrt{b} < c$ ใช้จำนวนกำลังสองสมบูรณ์ที่อยู่ติดกันบอกว่า $\sqrt{b}$ อยู่ระหว่างจำนวนเต็มใด
• ประมาณให้แม่นขึ้นด้วยการแบ่งช่วงเป็นสิบช่องแล้วยกกำลังสองไล่ไป ช่วงแคบลงสิบเท่าทุกครั้ง
• ก่อนปัดเป็นทศนิยมหนึ่งตำแหน่ง ต้องยกกำลังสองจุดกึ่งกลาง เช่น $7.05$ ดูว่าอยู่ซีกไหน
• ใส่เครื่องหมายลบแล้วลำดับกลับข้าง $-5 < -\sqrt{20} < -4$
• หาตำแหน่ง $\sqrt{2}$ บนเส้นจำนวนได้ด้วยเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้าน $1$ หน่วยกับวงเวียน