24.1 รูปที่คล้ายกัน

รูปถ่ายใบหนึ่งกว้าง 6 เซนติเมตร สูง 4 เซนติเมตร อยากได้รูปที่กว้างขึ้นเป็น 9 เซนติเมตร ลองทำสองแบบ แบบแรกขยายทั้งด้านกว้างและด้านสูง ได้รูป $9 \times 6$ แบบที่สองดึงแค่ด้านกว้าง ได้รูป $9 \times 4$

รูปกลางหน้าตาเหมือนต้นแบบทุกอย่าง รูปขวาดูผิดทันที ภูเขาเตี้ยลง ดวงอาทิตย์เป็นวงรี

รูปกลางได้จากการคูณทุกความยาวด้วย $1.5$ เท่ากันหมด ด้านกว้าง $6 \times 1.5 = 9$ ด้านสูง $4 \times 1.5 = 6$ ส่วนรูปขวา ด้านกว้างคูณ $1.5$ แต่ด้านสูงคูณ $1$ ความยาวแต่ละทิศถูกขยายไม่เท่ากัน รูปจึงบิด รูปกลางกับรูปต้นแบบเป็นรูปที่คล้ายกัน รูปขวาไม่คล้ายกับรูปต้นแบบ

รูปที่คล้ายกันคืออะไร

นิยาม

รูปหลายเหลี่ยมสองรูปคล้ายกัน เมื่อจับคู่จุดยอดกันได้ โดยที่

มุมที่สมนัยกันมีขนาดเท่ากันทุกคู่
อัตราส่วนของความยาวของด้านที่สมนัยกันเท่ากันทุกคู่

เขียนแทนด้วยเครื่องหมาย $\sim$ เช่น รูปสี่เหลี่ยม $ABCD \sim$ รูปสี่เหลี่ยม $PQRS$

อัตราส่วนที่เท่ากันทุกคู่นั้นบอกว่ารูปหนึ่งเป็นอีกรูปที่ขยายหรือย่อกี่เท่า ในบทนี้จะเรียกค่านี้ว่า $k$ ถ้า $k > 1$ เป็นการขยาย ถ้า $k < 1$ เป็นการย่อ และถ้า $k = 1$ รูปทั้งสองเท่ากันทุกประการแบบในบทที่ 17 รูปที่เท่ากันทุกประการจึงคล้ายกันด้วยเสมอ

เลื่อนแถบข้างล่างเพื่อย่อหรือขยายรูปสามเหลี่ยม $ABC$ ก่อนเลื่อน ลองเดาว่าถ้า $k = 2$ มุมที่ $B$ จะกางออกเป็นสองเท่าด้วยไหม

ลองตั้ง $k$ เป็น $0.5$ $1$ และ $2$ แล้วดูว่าอะไรเปลี่ยน อะไรไม่เปลี่ยน

ทุกค่า $k$ ด้านทั้งสามของภาพหารด้วยด้านที่คู่กันของรูปต้นแบบได้ค่าเดียวกันคือ $k$ ส่วนมุมไม่ขยับเลย การขยายทำให้รูปใหญ่ขึ้น แต่ไม่ได้ทำให้มุมกว้างขึ้น

ตัวอย่าง 1

รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาด $6 \times 4$ เซนติเมตร คล้ายกับรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปใดบ้าง

(1) $9 \times 6$ (2) $8 \times 6$ (3) $3 \times 2$

รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าทุกรูปมีมุมฉากสี่มุม เงื่อนไขเรื่องมุมผ่านทุกรูป เหลือตรวจอัตราส่วนของด้าน
จับด้านยาวคู่กับด้านยาว ด้านกว้างคู่กับด้านกว้าง
รูป (1) ได้ $\tfrac{9}{6} = 1.5$ และ $\tfrac{6}{4} = 1.5$ เท่ากัน จึงคล้ายกัน เป็นการขยาย $1.5$ เท่า
รูป (2) ได้ $\tfrac{8}{6} = \tfrac{4}{3}$ แต่ $\tfrac{6}{4} = \tfrac{3}{2}$ ไม่เท่ากัน จึงไม่คล้ายกัน
รูป (3) ได้ $\tfrac{3}{6} = 0.5$ และ $\tfrac{2}{4} = 0.5$ เท่ากัน จึงคล้ายกัน เป็นการย่อเหลือครึ่งหนึ่ง

ต้องครบทั้งสองเงื่อนไข

ดูมุมอย่างเดียว หรือดูด้านอย่างเดียว ไม่พอสำหรับรูปสี่เหลี่ยม

รูปซ้ายไม่คล้ายกับรูปกลาง และไม่คล้ายกับรูปขวา ด้วยเหตุผลคนละข้อ

รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสกับรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า มุมเท่ากันหมดทุกมุมคือ $90^\circ$ แต่ด้านยาวได้อัตราส่วน $\tfrac{4}{2} = 2$ ด้านกว้างได้ $\tfrac{2}{2} = 1$ ไม่เท่ากัน จึงไม่คล้ายกัน
รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสกับรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ด้านทุกคู่ได้อัตราส่วน $\tfrac{2}{2} = 1$ เท่ากันหมด แต่มุมไม่เท่ากัน $90^\circ$ กับ $60^\circ$ จึงไม่คล้ายกัน

ลองคิดก่อน

รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองรูปใดๆ คล้ายกันเสมอไหม แล้วรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูปใดๆ ล่ะ

ดูคำตอบ

รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสคล้ายกันเสมอ ทุกมุมเป็น $90^\circ$ และด้านทั้งสี่ยาวเท่ากัน ถ้ารูปหนึ่งด้านยาว $a$ อีกรูปด้านยาว $b$ ทุกคู่จะได้อัตราส่วน $\tfrac{b}{a}$ เหมือนกันหมด ส่วนรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าไม่คล้ายกันเสมอ ตัวอย่าง 1 รูป (2) ก็มีมุมฉากครบสี่มุมแต่ไม่คล้ายกับรูป $6 \times 4$

หาความยาวด้านจากรูปที่คล้ายกัน

ถ้ารู้แล้วว่าสองรูปคล้ายกัน และรู้ด้านที่สมนัยกันหนึ่งคู่ ก็หาค่า $k$ ได้ แล้วใช้ $k$ หาด้านอื่นทั้งหมด

รูปสี่เหลี่ยม

ABCD \sim

รูปสี่เหลี่ยม

PQRS

ตัวอย่าง 2

กำหนดให้รูปสี่เหลี่ยม $ABCD \sim$ รูปสี่เหลี่ยม $PQRS$ โดย $AB = 6$ $BC = 4$ $CD = 5$ $PQ = 9$ เซนติเมตร และ $\hat{B} = 110^\circ$ จงหา $QR$ $RS$ และ $\hat{Q}$

ลำดับตัวอักษรบอกการจับคู่ $A$ คู่กับ $P$ $B$ คู่กับ $Q$ $C$ คู่กับ $R$ $D$ คู่กับ $S$ จึงได้ $AB$ คู่กับ $PQ$ และ $BC$ คู่กับ $QR$
$k = \tfrac{PQ}{AB} = \tfrac{9}{6} = 1.5$ รูป $PQRS$ เป็นรูป $ABCD$ ที่ขยาย $1.5$ เท่า
$QR = 1.5 \times BC = 1.5 \times 4 = 6$ เซนติเมตร
$RS = 1.5 \times CD = 1.5 \times 5 = 7.5$ เซนติเมตร
$\hat{Q}$ สมนัยกับ $\hat{B}$ จึงเท่ากับ $110^\circ$ มุมไม่ขยายตาม $k$

ตั้งอัตราส่วนแบบเดียวกันทุกคู่

จะเอารูปใหญ่หารรูปเล็กหรือรูปเล็กหารรูปใหญ่ก็ได้ ขอให้ตั้งแบบเดียวกันทุกคู่ ถ้าคู่แรกตั้ง $\tfrac{PQ}{AB}$ คู่ต่อไปต้องเป็น $\tfrac{QR}{BC}$ ไม่ใช่ $\tfrac{BC}{QR}$

ลองคิดก่อน

เพื่อนบอกว่า $PQ$ ยาวกว่า $AB$ อยู่ $3$ เซนติเมตร ด้าน $QR$ จึงต้องยาวกว่า $BC$ อยู่ $3$ เซนติเมตรด้วย ได้ $QR = 7$ เพื่อนคิดถูกไหม

ดูคำตอบ

ไม่ถูก ถ้า $QR = 7$ จะได้ $\tfrac{QR}{BC} = \tfrac{7}{4}$ ซึ่งไม่เท่ากับ $\tfrac{PQ}{AB} = \tfrac{3}{2}$ อัตราส่วนของด้านไม่เท่ากันทุกคู่ รูปจะบิดแบบรูปถ่ายที่ดึงด้านเดียว ความคล้ายใช้การคูณด้วย $k$ เท่ากันทุกด้าน ไม่ใช่การบวกเพิ่มเท่ากันทุกด้าน

พื้นที่ไม่ได้ขยายตาม k

กลับไปดูบรรทัดสุดท้ายใต้กราฟ ตอน $k = 2$ ด้านทุกด้านยาวขึ้นเป็น $2$ เท่า แต่พื้นที่ไม่ได้เป็น $2$ เท่า

ลองคิดก่อน

ขยายรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านยาว $3$ เซนติเมตร ให้ด้านยาวขึ้นเป็น $2$ เท่า พื้นที่จะเพิ่มขึ้นเป็นกี่เท่า

ดูคำตอบ

ด้านใหม่ยาว $6$ เซนติเมตร พื้นที่เปลี่ยนจาก $3 \times 3 = 9$ เป็น $6 \times 6 = 36$ ตารางเซนติเมตร คือ $4$ เท่า ไม่ใช่ $2$ เท่า เพราะพื้นที่ได้จากความยาวคูณความยาว ทั้งด้านกว้างและด้านยาวต่างก็ถูกคูณด้วย $2$ พื้นที่จึงถูกคูณด้วย $2 \times 2 = 2^2$ รูปที่คล้ายกันทุกรูปเป็นแบบนี้ ด้านขยาย $k$ เท่า พื้นที่ขยาย $k^2$ เท่า

สรุป

รูปหลายเหลี่ยมสองรูปคล้ายกัน เมื่อมุมที่สมนัยกันเท่ากันทุกคู่ และอัตราส่วนของด้านที่สมนัยกันเท่ากันทุกคู่ ต้องครบทั้งสองข้อ
อัตราส่วนนั้นคือ $k$ บอกว่าขยายหรือย่อกี่เท่า ด้านทุกด้านคูณ $k$ แต่มุมเท่าเดิม
รูปที่คล้ายกันใช้การคูณ ไม่ใช่การบวกเพิ่มเท่ากัน
ด้านขยาย $k$ เท่า พื้นที่ขยาย $k^2$ เท่า