44.1 การทดลองสุ่มและเหตุการณ์

ซุ้มเกมในงานกีฬาสีให้โยนเหรียญสองเหรียญพร้อมกัน ถ้าได้หัวหนึ่งเหรียญกับก้อยหนึ่งเหรียญจะได้ตุ๊กตา เพื่อนคนหนึ่งบอกว่าผลมีแค่สามแบบ คือหัวสองเหรียญ ก้อยสองเหรียญ และหัวหนึ่งก้อยหนึ่ง โอกาสได้ตุ๊กตาจึงเป็นหนึ่งในสาม อีกคนบอกว่าผลมีสี่แบบ คือ HH HT TH TT โอกาสจึงเป็นครึ่งหนึ่ง ทั้งสองคนนับจากเหรียญคู่เดียวกัน แต่ได้คำตอบต่างกัน

บทที่ 30 เคยตอบไว้แล้วว่าคนที่สองถูก หน้านี้จะอธิบายให้ลึกขึ้นว่าทำไมต้องเลือกนับแบบนั้น แล้วเขียนผลลัพธ์กับเหตุการณ์เป็นเซตตามบทที่ 32 เพื่อใช้ยูเนียน อินเตอร์เซกชัน และคอมพลีเมนต์กับเหตุการณ์ที่ซับซ้อนขึ้น ทั้งหมดนี้เป็นพื้นของการคำนวณความน่าจะเป็นในหน้าถัดไป

การทดลองสุ่มกับปริภูมิตัวอย่าง

การทดลองสุ่มคือการกระทำที่รู้ว่าผลที่เป็นไปได้มีอะไรบ้าง แต่บอกล่วงหน้าไม่ได้ว่าครั้งนี้จะได้ผลไหน เช่นทอยลูกเต๋า จับสลากเลือกตัวแทนห้อง หรือสุ่มเลือกข้อสอบหนึ่งข้อจากคลัง เมื่อจะคำนวณ ต้องเขียนผลที่เป็นไปได้ทั้งหมดเป็นเซตหนึ่งเซตก่อน

นิยาม

ปริภูมิตัวอย่าง $S$ คือเซตของผลลัพธ์ทั้งหมด เหตุการณ์ $E$ คือสับเซตของ $S$ เหตุการณ์เป็นไปไม่ได้คือเซตว่าง และเหตุการณ์แน่นอนคือ $S$

การทดลองสุ่มต้องระบุวิธีสุ่มด้วย ไม่ใช่ดูจำนวนชื่อผลลัพธ์แล้วสมมติว่าโอกาสเท่ากัน การโยนเหรียญสองเหรียญที่ยุติธรรมและเป็นอิสระให้ผล HH HT TH TT โอกาสเท่ากัน แต่จำนวนหัว $0,1,2$ ไม่เท่ากัน

การทดลองเดียวกันเขียนปริภูมิตัวอย่างได้หลายแบบ ขึ้นกับว่าเราบันทึกอะไร ถ้าบันทึกหน้าของแต่ละเหรียญจะได้ $S = \{\text{HH}, \text{HT}, \text{TH}, \text{TT}\}$ ถ้าบันทึกแค่จำนวนหัวจะได้ $\{0, 1, 2\}$ ทั้งสองแบบถูกต้องในฐานะรายการผลที่เป็นไปได้ แต่แบบแรกมีข้อดีที่สำคัญมาก คือผลลัพธ์ทุกตัวมีโอกาสเท่ากัน ในบทนี้จะเลือกปริภูมิตัวอย่างแบบที่ผลลัพธ์มีโอกาสเท่ากันเสมอเมื่อทำได้ เพราะจะคำนวณด้วยการนับได้

ตัวอย่าง 1

โยนเหรียญยุติธรรมสองเหรียญ เหตุการณ์ได้หัวหนึ่งเหรียญมีผลลัพธ์กี่แบบ

แยกเหรียญด้วยชื่อ เช่นเหรียญบาทกับเหรียญห้าบาท แล้วเขียนหน้าของเหรียญบาทก่อน ผลลัพธ์ทั้งหมดคือ HH HT TH TT
HT หมายถึงเหรียญบาทออกหัว เหรียญห้าบาทออกก้อย ส่วน TH กลับกัน จึงเป็นคนละผลลัพธ์ แม้มองรวมแล้วเห็นหัวหนึ่งก้อยหนึ่งเหมือนกัน
ตรงเงื่อนไขเฉพาะ HT และ TH จึงมี $2$ แบบจาก $4$ เขียนเป็นเซตได้ $E = \{\text{HT}, \text{TH}\}$

ทำไมสองเหรียญได้สี่ผล ไม่ใช่สามผล

เหตุผลที่ไม่ขึ้นกับการตั้งชื่อเหรียญคือการคิดเป็นสัดส่วนของการโยนหลายครั้ง สมมติโยนเหรียญคู่นี้ $400$ ครั้ง เหรียญบาทยุติธรรมจึงออกหัวราว $200$ ครั้ง ในสองร้อยครั้งนั้น เหรียญห้าบาทไม่รู้ว่าเหรียญบาทออกอะไร จึงออกหัวราวครึ่งหนึ่ง คือราว $100$ ครั้ง ได้ HH ราว $100$ ครั้ง และ HT ราว $100$ ครั้ง ฝั่งที่เหรียญบาทออกก้อยแบ่งได้แบบเดียวกัน ผลทั้งสี่จึงเกิดราวหนึ่งในสี่เท่ากันหมด

พอรวมผลตามจำนวนหัว หนึ่งหัวได้จากทั้ง HT และ TH จึงเกิดราว $200$ ครั้ง ส่วนศูนย์หัวกับสองหัวเกิดราวอย่างละ $100$ ครั้ง สามค่านี้จึงมีน้ำหนักเป็น $1 : 2 : 1$ ไม่ใช่เท่ากัน การทดลองจริงในบทที่ 30 ก็ได้ผลแบบนี้

ลองคิดก่อน

มีผลลัพธ์จำนวนหัวสามค่า จึงให้แต่ละค่ามีโอกาสหนึ่งในสามได้หรือไม่

ดูคำตอบ

ไม่ได้ ค่าได้หนึ่งหัวเกิดจากสองผลลัพธ์พื้นฐาน แต่ศูนย์หัวและสองหัวเกิดจากอย่างละหนึ่งผลลัพธ์ ต้องคำนึงถึงน้ำหนักของแต่ละผลด้วย ถ้ายังสงสัย ให้ทาสีเหรียญหนึ่งเหรียญ การทาสีไม่ได้เปลี่ยนวิธีที่เหรียญตก แต่ทำให้เห็นชัดว่า HT กับ TH เป็นคนละเหตุการณ์ที่เกิดได้จริง

เมื่อเพิ่มเป็นสามเหรียญ ปริภูมิตัวอย่างมี $2 \times 2 \times 2 = 8$ ผลลัพธ์ตามหลักการคูณในบทที่ 43 จำนวนหัวจึงไม่ใช่สี่ค่าที่โอกาสเท่ากันอีก แต่ต้องนับว่าแต่ละค่ามีกี่ผลลัพธ์

ตัวอย่าง 2

โยนเหรียญยุติธรรมสามเหรียญ เขียนเหตุการณ์ $E$ ที่ได้หัวพอดีสองเหรียญ และบอกว่าจำนวนหัวแต่ละค่ามีกี่ผลลัพธ์

ผลลัพธ์แต่ละตัวเป็นลำดับของสามตัวอักษร เหรียญละสองแบบ จึงมี $2^3 = 8$ ผลลัพธ์
หัวพอดีสองเหรียญคือเลือกว่าเหรียญไหนเป็นก้อยหนึ่งเหรียญ ได้ $E = \{\text{HHT}, \text{HTH}, \text{THH}\}$ มี $3$ ผลลัพธ์
นับด้วยการจัดหมู่ก็ได้ เลือกตำแหน่งของหัว $2$ ตำแหน่งจาก $3$ ได้ $\binom{3}{2} = 3$ ตรงกัน
ทำแบบเดียวกันกับทุกค่า จำนวนหัว $0, 1, 2, 3$ มี $1, 3, 3, 1$ ผลลัพธ์ รวมได้ $8$ พอดี

ตารางหกคูณหกของลูกเต๋าสองลูก

การทอยลูกเต๋าสองลูกแทนด้วยคู่อันดับ (แต้มลูกแดง, แต้มลูกน้ำเงิน) ได้ $6 \times 6 = 36$ คู่ที่โอกาสเท่ากัน แม้ทอยพร้อมกันก็แยกกันได้เพราะมีสีกำกับ บทที่ 30 ใช้ตารางนี้นับผลบวก ที่นี่จะใช้ตารางเดียวกันกับค่าอื่น เพื่อให้เห็นว่าเหตุการณ์คือกลุ่มของช่องในตาราง ตารางข้างล่างเขียนแต้มที่สูงกว่าของสองลูกไว้ในแต่ละช่อง

แดง ↓ น้ำเงิน →	1	2	3	4	5	6
1	1	2	3	4	5	6
2	2	2	3	4	5	6
3	3	3	3	4	5	6
4	4	4	4	4	5	6
5	5	5	5	5	5	6
6	6	6	6	6	6	6

ช่องที่มีค่าเดียวกันเรียงเป็นรูปตัวแอล เช่นค่า $4$ อยู่ในแถว 4 สี่ช่องแรก กับหลัก 4 สามช่องบน ค่าที่สูงขึ้นจึงมีช่องมากขึ้น

ตัวอย่าง 3

ทอยลูกเต๋ายุติธรรมสองลูก อธิบายเหตุการณ์ผลรวมเท่ากับ $5$

ผลลัพธ์ทั้งหมดมี $6\times6=36$ คู่
คู่ที่ตรงเงื่อนไขคือ $(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)$ เป็นแนวทแยงขึ้นในตาราง เพราะแต้มแดงเพิ่มหนึ่ง แต้มน้ำเงินต้องลดหนึ่ง
เหตุการณ์มี $4$ ผลลัพธ์ จึงมีโอกาส $4/36=1/9$

ตัวอย่าง 4

ทอยลูกเต๋ายุติธรรมสองลูก ให้ $M$ เป็นเหตุการณ์ที่แต้มสูงสุดของสองลูกเท่ากับ $4$ เขียน $M$ และหาโอกาส

อ่านจากตาราง ช่องที่เขียน $4$ มีแถว 4 หลัก 1 ถึง 4 ได้ $(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)$
หลัก 4 แถว 1 ถึง 3 ได้ $(1,4),(2,4),(3,4)$ ไม่นับ $(4,4)$ ซ้ำ เพราะอยู่ในกลุ่มแรกแล้ว
$M$ มี $7$ ผลลัพธ์ จึงมีโอกาส $\tfrac{7}{36}$ ไม่ใช่ $\tfrac{1}{6}$ แม้แต้มสูงสุดจะมีหกค่า เพราะแต่ละค่ามีจำนวนช่องไม่เท่ากัน
ตรวจด้วยวิธีอื่น แต้มสูงสุดไม่เกิน $4$ แปลว่าทั้งสองลูกได้ $1$ ถึง $4$ มี $4 \times 4 = 16$ คู่ ไม่เกิน $3$ มี $3 \times 3 = 9$ คู่ ผลต่าง $16 - 9 = 7$ ตรงกัน

รวมและตัดเหตุการณ์ด้วยภาษาเซต

เพราะเหตุการณ์เป็นเซต การดำเนินการจากบทที่ 32 จึงใช้ได้ทันที โดยมี $S$ เป็นเอกภพสัมพัทธ์ คำในโจทย์แปลเป็นสัญลักษณ์ได้ดังนี้

ในโจทย์	สัญลักษณ์	ความหมาย
$A$ หรือ $B$	$A\cup B$	เกิดอย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์ รวมกรณีเกิดทั้งคู่
$A$ และ $B$	$A\cap B$	เกิดทั้งสองเหตุการณ์
ไม่เกิด $A$	$A'$	ผลลัพธ์ใน $S$ ที่ไม่อยู่ใน $A$

ถ้า $A\cap B=\varnothing$ เรียกว่า $A$ กับ $B$ ไม่เกิดร่วมกัน คือการทดลองครั้งเดียวทำให้เกิดทั้งสองพร้อมกันไม่ได้ สูตรจำนวนสมาชิก $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$ จากบทที่ 32 ก็ใช้นับเหตุการณ์ได้เช่นกัน

ตัวอย่าง 5

ทอยลูกเต๋าหนึ่งลูก ให้ $A$ เป็นเลขคู่และ $B$ เป็นเลขมากกว่า $3$ หา $A\cap B$ $A\cup B$ และ $A'$

เขียนแต่ละเหตุการณ์เป็นเซตก่อน $A=\{2,4,6\}$ และ $B=\{4,5,6\}$
สมาชิกที่อยู่ทั้งสองคือ $4,6$ ได้ $A\cap B=\{4,6\}$ มี $2$ ผลลัพธ์
รวมสมาชิกของทั้งสองโดยไม่เขียนซ้ำ ได้ $A\cup B=\{2,4,5,6\}$ ตรวจด้วยสูตร $3+3-2=4$ ตรงกัน
คอมพลีเมนต์ตัดจาก $S=\{1,2,3,4,5,6\}$ ได้ $A'=\{1,3,5\}$ คือเหตุการณ์ได้เลขคี่

ตัวอย่าง 6

ทอยลูกเต๋าสองลูก ให้ $A$ เป็นผลบวกเท่ากับ $8$ และ $B$ เป็นแต้มเหมือนกันทั้งสองลูก หา $n(A\cap B)$ $n(A\cup B)$ และ $n(A')$ แล้วบอกว่า $B$ กับเหตุการณ์ผลบวกเป็นจำนวนคี่เกิดร่วมกันได้หรือไม่

$A=\{(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)\}$ มี $5$ ผลลัพธ์ ส่วน $B$ คือแนวทแยงหลักของตาราง $(1,1)$ ถึง $(6,6)$ มี $6$ ผลลัพธ์
คู่ที่อยู่ทั้งสองคือ $(4,4)$ เท่านั้น ได้ $n(A\cap B)=1$
ใช้สูตรจำนวนสมาชิก $n(A\cup B)=5+6-1=10$ ต้องลบหนึ่งเพราะ $(4,4)$ ถูกนับทั้งใน $A$ และใน $B$
$n(A')=36-5=31$ นับจากทั้งตาราง ไม่ใช่จาก $B$
แต้มเหมือนกัน $(k,k)$ ให้ผลบวก $2k$ ซึ่งเป็นจำนวนคู่เสมอ $B$ กับเหตุการณ์ผลบวกคี่จึงไม่มีผลลัพธ์ร่วม เป็นเหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกัน

ลองคิดก่อน

โยนเหรียญสามเหรียญ ให้ $E$ เป็นเหตุการณ์ได้หัวอย่างน้อยหนึ่งเหรียญ เพื่อนบอกว่า $E'$ คือได้ก้อยอย่างน้อยหนึ่งเหรียญ ถูกหรือไม่

ดูคำตอบ

ไม่ถูก ผล HHT ได้หัวอย่างน้อยหนึ่งเหรียญ และได้ก้อยอย่างน้อยหนึ่งเหรียญด้วย ถ้าคำของเพื่อนถูก ผลนี้ต้องอยู่ใน $E$ และใน $E'$ พร้อมกัน ซึ่งเป็นไปไม่ได้ คอมพลีเมนต์ของ อย่างน้อยหนึ่งหัว คือ ไม่มีหัวเลย มีผลเดียวคือ TTT จึงได้ $E'=\{\text{TTT}\}$ และ $n(E)=8-1=7$

ไม่เกิดร่วมกันไม่ได้แปลว่าเป็นคอมพลีเมนต์

ทอยลูกเต๋า ให้ $A=\{1,2\}$ และ $B=\{5,6\}$ สองเหตุการณ์นี้ไม่เกิดร่วมกัน แต่ $B$ ไม่ใช่ $A'$ เพราะยังเหลือ $3$ กับ $4$ ที่ไม่อยู่ในทั้งสอง เหตุการณ์กับคอมพลีเมนต์ต้องไม่เกิดร่วมกัน และรวมกันได้ $S$ พอดี ต้องครบทั้งสองข้อ

สรุป

เริ่มด้วยวิธีสุ่มแล้วเขียนปริภูมิตัวอย่าง $S$ เลือกแบบที่ผลลัพธ์มีโอกาสเท่ากัน
เหตุการณ์เป็นสับเซตของ $S$ จำนวนชื่อผลเท่ากันไม่ได้รับรองโอกาสเท่ากัน
แยกเหรียญหรือลูกเต๋าด้วยชื่อหรือสี HT กับ TH และ $(1,4)$ กับ $(4,1)$ เป็นคนละผลลัพธ์
$A$ หรือ $B$ คือ $A\cup B$ $A$ และ $B$ คือ $A\cap B$ ไม่เกิด $A$ คือ $A'$ โดยเทียบกับ $S$
ไม่เกิดร่วมกันคือ $A\cap B=\varnothing$ ส่วนคอมพลีเมนต์ต้องไม่เกิดร่วมกันและรวมกันได้ $S$

หน้าถัดไปจะนำจำนวนผลลัพธ์ของเหตุการณ์ไปเทียบกับจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด และใช้การจัดหมู่จากบทที่ 43 นับในกรณีที่เขียนรายการไม่ไหว