45.2 อนุกรมเลขคณิตและเรขาคณิต

เล่ากันว่าครูคนหนึ่งให้นักเรียนชั้นประถมบวก $1$ ถึง $100$ เพื่อให้นั่งเงียบไปนาน แต่เด็กชายเกาส์ตอบได้ในไม่กี่นาทีว่า $5050$ เขาไม่ได้บวกเร็ว แต่จับคู่ $1$ กับ $100$ ได้ $101$ จับ $2$ กับ $99$ ก็ได้ $101$ มีทั้งหมด $50$ คู่ จึงได้ $50 \times 101 = 5050$

ความคิดเดียวกันใช้ได้เมื่ออยากรู้จำนวนที่นั่งทั้งโรงละคร หรือเงินที่ออมได้ทั้งปี หาพจน์สุดท้ายอย่างเดียวไม่พอ ต้องรวมทุกพจน์ การบวกพจน์ของลำดับเรียกว่าอนุกรม ผลรวม $n$ พจน์แรกเขียนว่า $S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$

จับคู่หัวท้ายแบบเกาส์

เขียนผลรวมของลำดับเลขคณิตสองแบบ แบบแรกเรียงจากหน้าไปหลัง แบบที่สองเรียงจากหลังไปหน้า แล้วบวกกันทีละคอลัมน์

\begin{aligned} S_n &= a_1 + (a_1 + d) + \cdots + a_n \\ S_n &= a_n + (a_n - d) + \cdots + a_1 \end{aligned}

ทุกคอลัมน์รวมกันได้ $a_1 + a_n$ เพราะตัวบนเพิ่ม $d$ เท่ากับที่ตัวล่างลด $d$ มีทั้งหมด $n$ คอลัมน์ จึงได้ $2S_n = n(a_1 + a_n)$ วิธีนี้ไม่ต้องสนว่า $n$ เป็นคู่หรือคี่ ต่างจากการจับคู่ในหัวที่ต้องระวังพจน์กลางที่ไม่มีคู่

สมบัติ

$S_n=\dfrac n2(a_1+a_n)=\dfrac n2(2a_1+(n-1)d)$ เพราะจับพจน์หัวกับท้ายได้ผลรวมเท่ากันทุกคู่

สูตรแรกใช้เมื่อรู้พจน์สุดท้าย สูตรที่สองใช้เมื่อรู้ผลต่างร่วมแต่ยังไม่รู้พจน์สุดท้าย ทั้งสองอ่านได้ว่า จำนวนพจน์คูณค่าเฉลี่ยของพจน์หัวกับพจน์ท้าย

ตัวอย่าง 1

โรงละครมีสิบแถว แถวแรก $12$ ที่ เพิ่มแถวละ $3$ ที่ รวมกี่ที่นั่ง

แถวสุดท้ายมี $12 + 9(3) = 39$ ที่ ตามวิธีในหน้า 45.1
ใช้สูตรแรกเพราะรู้ทั้งหัวและท้ายแล้ว $S_{10}=\dfrac{10}{2}(12+39)=5(51)=255$ ที่นั่ง
ตรวจด้วยสูตรที่สอง $\dfrac{10}{2}(24 + 27) = 255$ ตรงกัน

ออมเงินที่เพิ่มขึ้นทุกเดือน

ฝากเงินเดือนละเท่ากันเป็นเรื่องง่าย แต่หลายคนเริ่มออมน้อยแล้วค่อยเพิ่มเมื่อได้ค่าขนมมากขึ้น เงินที่ออมแต่ละเดือนจึงเป็นลำดับเลขคณิต และเงินสะสมเป็นอนุกรมเลขคณิต ในหน้านี้ยังไม่คิดดอกเบี้ย ดอกเบี้ยจะเข้ามาในหน้า 45.3

ตัวอย่าง 2

มินออมเงินเดือนแรก $200$ บาท และออมเพิ่มขึ้นเดือนละ $50$ บาท ครบหนึ่งปีจะมีเงินออมรวมเท่าไร

เงินออมรายเดือนเป็นลำดับเลขคณิต $a_1 = 200$ และ $d = 50$ หนึ่งปีมี $12$ พจน์
ยังไม่รู้เดือนสุดท้าย จึงใช้สูตรที่สอง $S_{12} = \dfrac{12}{2}\big(2(200) + 11(50)\big) = 6(400 + 550)$
ได้ $6 \times 950 = 5700$ บาท ตรวจด้วยเดือนสุดท้าย $200 + 11(50) = 750$ บาท ค่าเฉลี่ยหัวท้าย $475$ คูณ $12$ ได้ $5700$ ตรงกัน

ตัวอย่าง 3

ถ้ามินออมแบบเดิมต่อไปเรื่อยๆ ต้องออมอย่างน้อยกี่เดือนจึงมีเงินรวมถึง $10000$ บาท

ผลรวม $n$ เดือนคือ $S_n = \dfrac{n}{2}\big(400 + 50(n-1)\big) = 25n^2 + 175n$
ต้องการ $25n^2 + 175n \ge 10000$ หารด้วย $25$ ได้ $n^2 + 7n - 400 \ge 0$ รากบวกของ $n^2 + 7n - 400 = 0$ คือ $\dfrac{-7 + \sqrt{1649}}{2}$ ประมาณ $16.8$
จำนวนเดือนต้องเป็นจำนวนเต็ม ตรวจรอบจุดแบ่ง $S_{16} = 9200$ ยังไม่ถึง และ $S_{17} = 10200$ ถึงแล้ว จึงตอบ $17$ เดือน

ที่มาของสูตรอนุกรมเรขาคณิต

การจับคู่หัวท้ายใช้ไม่ได้กับอนุกรมเรขาคณิต เพราะคู่หัวท้ายรวมกันไม่เท่ากัน เช่น $3 + 48$ กับ $6 + 24$ ต้องใช้อีกวิธีหนึ่ง คือคูณทั้งอนุกรมด้วย $r$ แล้วลบ

\begin{aligned} S_n &= a_1 + a_1r + a_1r^2 + \cdots + a_1r^{n-1} \\ rS_n &= \phantom{a_1 + {}} a_1r + a_1r^2 + \cdots + a_1r^{n-1} + a_1r^n \end{aligned}

พจน์ตั้งแต่ $a_1r$ ถึง $a_1r^{n-1}$ มีในทั้งสองบรรทัด ลบกันแล้วหายหมด เหลือ $S_n - rS_n = a_1 - a_1r^n$ ดึง $S_n$ ออกได้ $S_n(1 - r) = a_1(1 - r^n)$

สมบัติ

ถ้า $r \ne 1$ จะได้ $S_n = \dfrac{a_1(1-r^n)}{1-r} = \dfrac{a_1(r^n-1)}{r-1}$ ถ้า $r=1$ ทุกพจน์เท่ากันจึงได้ $S_n = na_1$

สองรูปนี้เท่ากัน เพราะคูณทั้งเศษและส่วนด้วย $-1$ นิยมใช้รูปหลังเมื่อ $r$ มากกว่าหนึ่ง จะได้ไม่ต้องจัดการเครื่องหมายลบ ส่วนกรณี $r = 1$ ต้องแยก เพราะหารด้วย $1 - r = 0$ ไม่ได้ ก่อนแทนสูตรให้แยกว่าคำถามต้องการพจน์เดียวหรือผลรวม และนับจำนวนพจน์จากดัชนีจริง

ตัวอย่าง 4

หาผลรวม $3+6+12+24+48$

อัตราส่วนคงที่ $6/3 = 12/6 = 2$ มีห้าพจน์ $a_1=3$ และ $r=2$
$r$ มากกว่าหนึ่ง ใช้รูปหลัง $S_5=\dfrac{3(2^5-1)}{2-1}=3(31)=93$
ตรวจโดยบวกตรงๆ $3 + 6 + 12 + 24 + 48 = 93$ ตรงกัน

ตัวอย่าง 5

แพรออมวันแรก $1$ บาท วันต่อไปออมเป็นสองเท่าของวันก่อน ครบ $15$ วันออมได้รวมกี่บาท และวันที่ $15$ วันเดียวต้องออมเท่าไร

เงินแต่ละวันเป็นลำดับเรขาคณิต $a_1 = 1$ และ $r = 2$ วันที่สิบห้าคือ $a_{15} = 2^{14} = 16384$ บาท
ผลรวมสิบห้าพจน์ $S_{15} = \dfrac{1(2^{15} - 1)}{2 - 1} = 32767$ บาท
สังเกตว่าวันสุดท้ายวันเดียวมากกว่าครึ่งหนึ่งของทั้งหมด แผนออมแบบนี้จึงทำไม่ได้จริงนาน การคูณโตเร็วกว่าการบวกมาก

ลองคิดก่อน

ห้าพจน์แรกของเรขาคณิตมีพจน์สุดท้ายใช้ $r^4$ แล้วในสูตรผลรวมใช้ $r^4$ ด้วยหรือไม่

ดูคำตอบ

ไม่ใช่ สูตรผลรวมได้จากการลบกับลำดับที่เลื่อนหนึ่งพจน์จึงมี $r^5$ พจน์สุดท้ายกับสูตรผลรวมใช้เลขชี้กำลังคนละตำแหน่ง

ลองคิดก่อน

เพื่อนหาผลรวม $1 + 2 + 4 + \cdots + 2^{10}$ โดยคิดว่ามีสิบพจน์ ได้ $2^{10} - 1 = 1023$ ผิดตรงไหน

ดูคำตอบ

เลขชี้กำลังเริ่มที่ $0$ เพราะ $1 = 2^0$ แล้วไปจบที่ $10$ จึงมี $10 - 0 + 1 = 11$ พจน์ ผลรวมคือ $2^{11} - 1 = 2047$ ตรวจได้ง่ายๆ ว่าคำตอบ $1023$ ยังน้อยกว่าพจน์สุดท้าย $1024$ ตัวเดียว จึงผิดแน่นอน

เริ่มนับผลรวมที่พจน์ใด

สูตรผลรวม n พจน์เริ่มที่พจน์แรกของช่วงที่เลือก ไม่จำเป็นต้องเริ่มที่พจน์แรกของลำดับเดิม ถ้าโจทย์ให้รวมพจน์ที่ห้าถึงสิบสอง จะมีแปดพจน์ เพราะรวมทั้งต้นและปลาย สามารถหาผลรวมสิบสองพจน์ลบสี่พจน์แรก หรือเริ่มอนุกรมใหม่ที่พจน์ห้าได้

ตัวอย่าง 6

ลำดับเลขคณิต $2,5,8,\ldots$ หาผลรวมพจน์ที่ $5$ ถึง $12$

$a_5=2+4(3)=14$ และ $a_{12}=2+11(3)=35$
จำนวนพจน์คือ $12-5+1=8$
ผลรวม $\dfrac{8}{2}(14+35)=196$
ตรวจอีกทาง $S_{12} - S_4 = 6(2 + 35) - 2(2 + 11) = 222 - 26 = 196$ ตรงกัน

ตรวจวิธีคิด

การลบขอบเขตเพียงสิบสองลบห้าให้จำนวนช่องระหว่างพจน์ ไม่ใช่จำนวนพจน์ การเขียนรายการสั้นจากตำแหน่งที่เล็กลงช่วยจับความคลาดหนึ่งพจน์ได้

สรุป

พจน์ทั่วไปกับผลรวมเป็นคนละปริมาณ
ผลรวมเลขคณิตใช้ค่าเฉลี่ยหัวท้ายคูณจำนวนพจน์
ผลรวมเรขาคณิตได้จากการลบ $S_n - rS_n$ ต้องแยกกรณี $r$ เท่ากับหนึ่ง
จำนวนพจน์จากตำแหน่ง $m$ ถึง $n$ คือ $n - m + 1$

เงินฝากที่ได้ดอกเบี้ยทบต้นก็โตด้วยการคูณแบบเดียวกับตัวอย่างที่ 5 หน้าถัดไปจะใช้ลำดับเรขาคณิตอธิบายดอกเบี้ยและมูลค่าของเงิน