descartesclytie0x/descartes-math-platform
บทที่ 42 จำนวนเชิงซ้อนตรงกับหนังสือ เพิ่มเติม ม.5 เล่ม 2 บทที่ 1เพิ่มเติม

42.3 รูปเชิงขั้วและทฤษฎีบทเดอมัวฟวร์

แอปแต่งรูปมีปุ่มหมุนภาพ 90∘90^\circ ทวนเข็มนาฬิกา ถ้าจุดหนึ่งบนภาพอยู่ที่ 3+4i3 + 4i ลองคูณด้วย ii ได้ i(3+4i)=3i+4i2=−4+3ii(3 + 4i) = 3i + 4i^2 = -4 + 3i จุดใหม่ยังห่างจากจุดกำเนิด 55 หน่วยเท่าเดิม และถ้าวาดดูจะเห็นว่าลูกศรหมุนไปทวนเข็มนาฬิกาหนึ่งมุมฉากพอดี การคูณด้วย ii คือการหมุน

ถ้าคูณด้วยจำนวนอื่นล่ะ จะหมุนเท่าไรและยืดเท่าไร คำถามนี้ตอบง่ายมากเมื่อบอกจำนวนเชิงซ้อนด้วยระยะกับมุมแทนส่วนจริงกับส่วนจินตภาพ หน้านี้จะเปลี่ยนจำนวนเชิงซ้อนเป็นรูปนั้น แล้วใช้หาผลคูณ ผลหาร และกำลังสูงๆ ที่ถ้ากระจายตรงๆ จะยาวมาก

ขนาดและอาร์กิวเมนต์

จุด z=a+biz = a + bi อยู่ห่างจากจุดกำเนิด r=∣z∣r = |z| และลูกศรจากจุดกำเนิดไปหา zz ทำมุม θ\theta กับแกนจริงด้านบวก วัดทวนเข็มนาฬิกา มุมนี้เรียกว่าอาร์กิวเมนต์ของ zz จากนิยามของโคไซน์และไซน์บนวงกลมในหน้า 39.1 จะได้ a=rcos⁡θa = r\cos\theta และ b=rsin⁡θb = r\sin\theta

สมบัติ

z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z=r(\cos\theta+i\sin\theta) โดย r=∣z∣r=|z| และ r>0r>0 ให้ a=rcos⁡θa=r\cos\theta และ b=rsin⁡θb=r\sin\theta มุมต่างกันด้วยจำนวนเต็มเท่าของ 2π2\pi แทนจุดเดียวกัน

การเปลี่ยนจากรูป a+bia + bi เป็นรูปเชิงขั้วมีสามขั้น หา r=a2+b2r = \sqrt{a^2 + b^2} ก่อน แล้วดูเครื่องหมายของ aa กับ bb เพื่อรู้ว่าจุดอยู่จตุภาคไหน สุดท้ายหามุมอ้างอิงจาก tan⁡α=∣ba∣\tan\alpha = \left|\dfrac{b}{a}\right| แล้ววางมุมให้ตกในจตุภาคที่ถูก หน้านี้เลือก θ\theta ในช่วง 0≤θ<2π0 \le \theta < 2\pi ถ้าโจทย์ถามเป็นองศาก็ใช้ช่วง 0∘0^\circ ถึงน้อยกว่า 360∘360^\circ จำนวนศูนย์ไม่มีอาร์กิวเมนต์ที่กำหนดเฉพาะ เพราะไม่มีลูกศรให้วัดมุม

ตัวอย่าง 1

เขียน 1+3i1+\sqrt3i ในรูปเชิงขั้ว

  1. ขนาดคือ 12+(3)2=4=2\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2 ส่วนจริงและส่วนจินตภาพบวกทั้งคู่ จุดอยู่จตุภาคที่หนึ่ง
  2. หารด้วยขนาดได้ cos⁡θ=12\cos\theta=\tfrac12 และ sin⁡θ=32\sin\theta=\tfrac{\sqrt3}{2} มุมในจตุภาคที่หนึ่งที่ให้ค่านี้คือ θ=π/3\theta=\pi/3 หรือ 60∘60^\circ
  3. ได้ 1+3i=2(cos⁡π3+isin⁡π3)1 + \sqrt{3}i = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)

ลองคิดก่อน

เพื่อนหาอาร์กิวเมนต์ของ −1−i-1 - i จาก tan⁡θ=−1−1=1\tan\theta = \dfrac{-1}{-1} = 1 แล้วตอบ θ=π4\theta = \dfrac{\pi}{4} ถูกไหม

ดูคำตอบ

ไม่ถูก มุม π4\tfrac{\pi}{4} ชี้ไปที่จุด 1+i1 + i ในจตุภาคที่หนึ่ง แต่ −1−i-1 - i มีส่วนจริงและส่วนจินตภาพลบทั้งคู่ จึงอยู่จตุภาคที่สาม แทนเจนต์ของมุมในจตุภาคที่หนึ่งกับที่สามเท่ากัน ค่า tan⁡θ\tan\theta อย่างเดียวจึงแยกสองจุดนี้ไม่ออก มุมที่ถูกคือ π+π4=5π4\pi + \tfrac{\pi}{4} = \tfrac{5\pi}{4} หรือ 225∘225^\circ ต้องดูเครื่องหมายส่วนจริงกับส่วนจินตภาพก่อนเลือกมุมทุกครั้ง

ตัวอย่าง 2

เขียน −23+2i-2\sqrt{3} + 2i ในรูปเชิงขั้ว และบอกอาร์กิวเมนต์เป็นองศา

  1. ขนาด r=12+4=4r = \sqrt{12 + 4} = 4
  2. ส่วนจริงลบ ส่วนจินตภาพบวก จุดจึงอยู่จตุภาคที่สอง
  3. มุมอ้างอิงจาก tan⁡α=223=13\tan\alpha = \dfrac{2}{2\sqrt{3}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} ได้ α=π6\alpha = \dfrac{\pi}{6} มุมในจตุภาคที่สองคือ θ=π−π6=5π6\theta = \pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6} หรือ 150∘150^\circ
  4. ได้ −23+2i=4(cos⁡5π6+isin⁡5π6)-2\sqrt{3} + 2i = 4\left(\cos\dfrac{5\pi}{6} + i\sin\dfrac{5\pi}{6}\right) ตรวจ 4cos⁡5π6=−234\cos\tfrac{5\pi}{6} = -2\sqrt{3} และ 4sin⁡5π6=24\sin\tfrac{5\pi}{6} = 2 ถูกต้อง

คูณคือคูณขนาดแล้วบวกมุม

ให้ z1=r1(cos⁡θ1+isin⁡θ1)z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1) และ z2=r2(cos⁡θ2+isin⁡θ2)z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2) คูณกันแล้วกระจายวงเล็บ ส่วนจริงได้ cos⁡θ1cos⁡θ2−sin⁡θ1sin⁡θ2\cos\theta_1\cos\theta_2 - \sin\theta_1\sin\theta_2 ส่วนจินตภาพได้ sin⁡θ1cos⁡θ2+cos⁡θ1sin⁡θ2\sin\theta_1\cos\theta_2 + \cos\theta_1\sin\theta_2 ทั้งสองตัวคือสูตรผลบวกในหน้า 39.4 พอดี จึงได้

z1z2=r1r2(cos⁡(θ1+θ2)+isin⁡(θ1+θ2))z_1z_2 = r_1r_2\big(\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)\big)

ขนาดของผลคูณคือผลคูณของขนาด ซึ่งตรงกับ ∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣|z_1z_2| = |z_1||z_2| ในหน้า 42.2 ส่วนมุมของผลคูณคือผลบวกของมุม การคูณด้วย z2z_2 จึงเป็นการยืดด้วย r2r_2 แล้วหมุนด้วยมุม θ2\theta_2 ตัวอย่างตอนต้นหน้า i=1(cos⁡π2+isin⁡π2)i = 1\left(\cos\tfrac{\pi}{2} + i\sin\tfrac{\pi}{2}\right) มีขนาด 11 จึงไม่ยืด แต่หมุน 90∘90^\circ

z₁z₂z₁z₂จริง
z1z_1 ยาว 22 ทำมุม 20∘20^\circ (ส้ม) z2z_2 ยาว 1.51.5 ทำมุม 50∘50^\circ (เขียว) ผลคูณยาว 33 ทำมุม 70∘70^\circ (ม่วง)

ตัวอย่าง 3

ให้ z1=2(cos⁡30∘+isin⁡30∘)z_1 = 2(\cos 30^\circ + i\sin 30^\circ) และ z2=3(cos⁡60∘+isin⁡60∘)z_2 = 3(\cos 60^\circ + i\sin 60^\circ) หา z1z2z_1z_2

  1. ขนาดคูณกัน 2×3=62 \times 3 = 6
  2. มุมบวกกัน 30∘+60∘=90∘30^\circ + 60^\circ = 90^\circ ได้ z1z2=6(cos⁡90∘+isin⁡90∘)z_1z_2 = 6(\cos 90^\circ + i\sin 90^\circ)
  3. cos⁡90∘=0\cos 90^\circ = 0 และ sin⁡90∘=1\sin 90^\circ = 1 จึงได้ z1z2=6iz_1z_2 = 6i
  4. ตรวจด้วยรูปพิกัด z1=3+iz_1 = \sqrt{3} + i และ z2=32+332iz_2 = \tfrac{3}{2} + \tfrac{3\sqrt{3}}{2}i กระจายแล้วส่วนจริงเป็น 332−332=0\tfrac{3\sqrt{3}}{2} - \tfrac{3\sqrt{3}}{2} = 0 และส่วนจินตภาพเป็น 92+32=6\tfrac{9}{2} + \tfrac{3}{2} = 6 ตรงกัน แต่ใช้แรงมากกว่า

การหารในรูปเชิงขั้ว

การคูณบวกมุมจึงทำให้การหารลบมุม เพราะต้องย้อนการหมุนของตัวส่วน ขนาดของผลหารเป็นอัตราส่วนขนาด

z1z2=r1r2(cos⁡(θ1−θ2)+isin⁡(θ1−θ2))\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}\big(\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2)\big)

เมื่อมุมติดลบสามารถเติมสองพายเพื่อเขียนเป็นมุมบวกที่แทนจุดเดียวกันได้ แต่ไม่ควรเปลี่ยนมุมโดยเติมจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนเต็มเท่าของสองพาย

ตัวอย่าง 4

ให้ z1=4(cos⁡(2π/3)+isin⁡(2π/3))z_1=4(\cos(2\pi/3)+i\sin(2\pi/3)) และ z2=2(cos⁡(π/3)+isin⁡(π/3))z_2=2(\cos(\pi/3)+i\sin(\pi/3)) หา z1/z2z_1/z_2

  1. ขนาดหารได้ 4/2=24/2=2 และมุมลบกันได้ 2π3−π3=π3\dfrac{2\pi}{3} - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3}
  2. ผลหารคือ 2(cos⁡(π/3)+isin⁡(π/3))2(\cos(\pi/3)+i\sin(\pi/3))
  3. เปลี่ยนเป็นพิกัดได้ 1+3i1+\sqrt3i ตรวจขนาดยังเป็น 22

ทฤษฎีบทเดอมัวฟวร์

ยกกำลัง nn คือคูณตัวเองซ้ำ nn ครั้ง ขนาดจึงคูณกัน nn ครั้งเป็น rnr^n และมุมบวกกัน nn ครั้งเป็น nθn\theta ได้ผลที่เรียกว่าทฤษฎีบทเดอมัวฟวร์

ทฤษฎีบทเดอมัวฟวร์

สำหรับจำนวนเต็มบวก nn ถ้า z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r(\cos\theta + i\sin\theta) แล้ว zn=rn(cos⁡nθ+isin⁡nθ)z^n=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)

ถ้าไม่มีทฤษฎีบทนี้ (1+i)8(1 + i)^8 ต้องกระจายด้วยทวินามแปดชั้น แต่ในรูปเชิงขั้วใช้แค่ยกกำลังขนาดหนึ่งครั้งกับคูณมุมหนึ่งครั้ง

ตัวอย่าง 5

หา (1+i)4(1+i)^4 และ (1+i)8(1 + i)^8

  1. 1+i1 + i มีขนาด 2\sqrt{2} อยู่จตุภาคที่หนึ่ง มุม π4\tfrac{\pi}{4} จึงเขียน 1+i=2(cos⁡(π/4)+isin⁡(π/4))1+i=\sqrt2(\cos(\pi/4)+i\sin(\pi/4))
  2. ยกกำลังสี่ ขนาดเป็น (2)4=4(\sqrt{2})^4 = 4 มุมเป็น 4⋅π4=π4 \cdot \tfrac{\pi}{4} = \pi ได้ 4(cos⁡π+isin⁡π)=−44(\cos\pi+i\sin\pi)=-4
  3. ยกกำลังแปด ขนาดเป็น (2)8=16(\sqrt{2})^8 = 16 มุมเป็น 2π2\pi ซึ่งชี้ไปทางเดียวกับมุม 00 ได้ 16(cos⁡2π+isin⁡2π)=1616(\cos 2\pi + i\sin 2\pi) = 16
  4. ตรวจข้อสองด้วยข้อแรก (1+i)8=((1+i)4)2=(−4)2=16(1 + i)^8 = \big((1 + i)^4\big)^2 = (-4)^2 = 16 ตรงกัน

ตัวอย่าง 6

หา (3+i)6(\sqrt{3} + i)^6

  1. ขนาด 3+1=2\sqrt{3 + 1} = 2 จุดอยู่จตุภาคที่หนึ่ง cos⁡θ=32\cos\theta = \tfrac{\sqrt{3}}{2} และ sin⁡θ=12\sin\theta = \tfrac{1}{2} จึงได้มุม π6\tfrac{\pi}{6}
  2. ใช้ทฤษฎีบทเดอมัวฟวร์ ขนาดเป็น 26=642^6 = 64 มุมเป็น 6⋅π6=π6 \cdot \tfrac{\pi}{6} = \pi
  3. ได้ 64(cos⁡π+isin⁡π)=64(−1+0i)=−6464(\cos\pi + i\sin\pi) = 64(-1 + 0i) = -64

ลองคิดก่อน

เพื่อนตอบ (3+i)6=64(\sqrt{3} + i)^6 = 64 เพราะ ∣3+i∣=2|\sqrt{3} + i| = 2 และ 26=642^6 = 64 ผิดตรงไหน

ดูคำตอบ

เพื่อนหาแค่ขนาดของคำตอบ ซึ่งถูกแล้วว่าเป็น 6464 แต่ลืมว่ามุมก็ถูกคูณด้วย 66 ด้วย มุม π6\tfrac{\pi}{6} กลายเป็น π\pi ลูกศรชี้ไปทางแกนจริงด้านลบ คำตอบจึงเป็น −64-64 ตัวเลขที่ได้จาก rnr^n เป็นแค่ความยาว ต้องคูณกับ cos⁡nθ+isin⁡nθ\cos n\theta + i\sin n\theta ทุกครั้ง

ตรวจวิธีคิด

รูปเชิงขั้วมีข้อได้เปรียบเมื่อคูณ หาร หรือยกกำลัง แต่บวกมักสะดวกกว่าในรูปพิกัด อย่าบวกขนาดและบวกมุมเมื่อโจทย์ให้บวกจำนวนเชิงซ้อน

สรุป

  • z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r(\cos\theta + i\sin\theta) โดย r=∣z∣r = |z| และมุมต้องสอดคล้องกับจตุภาคของ (a,b)(a, b)
  • ค่า tan⁡θ\tan\theta อย่างเดียวแยกจตุภาคที่หนึ่งกับสามไม่ออก ดูเครื่องหมายของ aa และ bb เสมอ
  • คูณเชิงซ้อนคูณขนาดและบวกมุม หารคือหารขนาดและลบมุม
  • ยกกำลังยกขนาดและคูณมุมด้วยเลขชี้กำลัง ตามทฤษฎีบทเดอมัวฟวร์

ทฤษฎีบทเดอมัวฟวร์บอกว่ายกกำลังแล้วได้อะไร หน้าถัดไปจะถามย้อนกลับ ถ้ารู้ผลของการยกกำลัง จะหาจำนวนตั้งต้นได้กี่ตัว