1.4 การคูณและการหารจำนวนเต็ม

ร้านขายขนมหน้าโรงเรียนช่วงปิดเทอมขาดทุนวันละ 150 บาท ติดกัน 4 วัน รวมแล้วขาดทุนเท่าไร

ขาดทุนวันละ 150 บาทเขียนเป็น $-150$ สี่วันคือ $(-150) + (-150) + (-150) + (-150) = -600$ เขียนสั้นๆ เป็นการคูณได้ว่า $4 \times (-150) = -600$ รวมขาดทุน 600 บาท

จำนวนบวกคูณจำนวนลบ

การคูณจำนวนบวกคือการบวกซ้ำ $3 \times (-4)$ คือบวก $-4$ สามครั้ง

3 \times (-4) = (-4) + (-4) + (-4) = -12

บนเส้นจำนวนคือเริ่มที่ $0$ แล้วกระโดดไปทางซ้ายสามครั้ง ครั้งละ 4 ช่อง

ตัวตั้งบอกจำนวนครั้ง ตัวคูณบอกระยะและทิศของแต่ละครั้ง ถ้าตัวตั้งติดลบ เส้นประคือการกระโดดแบบตัวตั้งเป็นบวก และลูกศรสีส้มไปทางตรงข้าม

แล้ว $(-4) \times 3$ ล่ะ บวก $3$ ซ้ำ $-4$ ครั้งฟังดูไม่มีความหมาย แต่การคูณสลับที่ได้ ซึ่งจะเห็นในหน้า 1.5 จึงได้ $(-4) \times 3 = 3 \times (-4) = -12$ เหมือนกัน

ลบคูณลบได้บวก

$(-3) \times (-2)$ บวกซ้ำไม่ได้ทั้งสองตัว ลองดูแบบรูปของ $(-3)$ คูณกับจำนวนที่เล็กลงทีละ $1$

การคูณ	$(-3) \times 3$	$(-3) \times 2$	$(-3) \times 1$	$(-3) \times 0$	$(-3) \times (-1)$	$(-3) \times (-2)$
ผลลัพธ์	$-9$	$-6$	$-3$	$0$	?	?

ทุกครั้งที่ตัวคูณเล็กลง $1$ ผลลัพธ์โตขึ้น $3$ ถ้าแบบรูปนี้ต่อไป $(-3) \times (-1) = 3$ และ $(-3) \times (-2) = 6$ ผลคูณของจำนวนลบสองตัวจึงเป็นจำนวนบวก

อีกวิธีคิดคือดูในกราฟข้างบน ตั้งตัวตั้งเป็น $-3$ และตัวคูณเป็น $-2$ เส้นประคือ $3 \times (-2) = -6$ ไปทางซ้าย ตัวตั้งติดลบทำให้กลับทิศ จึงไปทางขวาถึง $6$

หลักการคูณจำนวนเต็ม

นำค่าสัมบูรณ์มาคูณกัน แล้วใส่เครื่องหมายตามนี้

เครื่องหมายเหมือนกัน ผลคูณเป็นบวก
เครื่องหมายต่างกัน ผลคูณเป็นลบ
จำนวนใดคูณกับ $0$ ได้ $0$

ตัวอย่าง 1

หาผลคูณ (1) $(-6) \times 7$ (2) $(-9) \times (-8)$ (3) $0 \times (-15)$ (4) $(-2) \times 5 \times (-3) \times (-1)$

เครื่องหมายต่างกัน $6 \times 7 = 42$ ได้ $-42$
เครื่องหมายเหมือนกัน $9 \times 8 = 72$ ได้ $72$
คูณกับ $0$ ได้ $0$
คูณทีละคู่จากซ้าย $(-2) \times 5 = -10$ แล้ว $(-10) \times (-3) = 30$ แล้ว $30 \times (-1) = -30$

ข้อ (4) มีทางลัด นับจำนวนลบก่อน มี $-2$ $-3$ $-1$ สามตัว ลบคูณลบคู่แรกกลายเป็นบวก เหลือลบอีกหนึ่งตัว ผลจึงเป็นลบ แล้วค่อยคูณค่าสัมบูรณ์ $2 \times 5 \times 3 \times 1 = 30$ ได้ $-30$

นับจำนวนลบ

ผลคูณที่ไม่มีตัวไหนเป็นศูนย์ ถ้ามีจำนวนลบเป็นจำนวนคู่ ผลเป็นบวก ถ้ามีจำนวนลบเป็นจำนวนคี่ ผลเป็นลบ

ลองคิดก่อน

เพื่อนบอกว่า $(-2) \times (-3) \times (-4) = 24$ เพราะลบคูณลบได้บวก เพื่อนพูดถูกไหม

ดูคำตอบ

ไม่ถูก ลบคูณลบได้บวกใช้กับสองตัว $(-2) \times (-3) = 6$ แต่ยังเหลือ $-4$ อีกตัว $6 \times (-4) = -24$ มีจำนวนลบสามตัวซึ่งเป็นจำนวนคี่ ผลจึงเป็นลบ

การหาร

การหารคือการถามกลับของการคูณ $20 \div 4 = 5$ เพราะ $4 \times 5 = 20$ จำนวนลบก็ใช้หลักเดียวกัน

นิยาม

ถ้า $b \neq 0$ แล้ว $a \div b = c$ เมื่อ $b \times c = a$

ตัวอย่าง 2

หาผลหาร (1) $20 \div (-4)$ (2) $(-36) \div (-9)$ (3) $(-42) \div 6$ (4) $0 \div (-8)$

หาจำนวนที่คูณกับ $-4$ แล้วได้ $20$ คือ $-5$ เพราะ $(-4) \times (-5) = 20$ จึงได้ $20 \div (-4) = -5$
$(-9) \times 4 = -36$ จึงได้ $(-36) \div (-9) = 4$
$6 \times (-7) = -42$ จึงได้ $(-42) \div 6 = -7$
$(-8) \times 0 = 0$ จึงได้ $0 \div (-8) = 0$

ผลที่ได้มีเครื่องหมายแบบเดียวกับการคูณทุกข้อ

หลักการหารจำนวนเต็ม

นำค่าสัมบูรณ์มาหารกัน ถ้าตัวตั้งกับตัวหารมีเครื่องหมายเหมือนกัน ผลหารเป็นบวก ถ้าต่างกัน ผลหารเป็นลบ

ในบทนี้เลือกโจทย์ที่หารลงตัวเท่านั้น เช่น $(-7) \div 2$ ไม่ได้ผลเป็นจำนวนเต็ม ซึ่งจะเรียนในบทที่ 4

หารด้วยศูนย์ไม่ได้

ลองหา $7 \div 0$ ตามนิยาม ต้องหาจำนวน $c$ ที่ $0 \times c = 7$ แต่ศูนย์คูณอะไรก็ได้ $0$ ไม่มีทางได้ $7$ จึงไม่มีคำตอบ

แล้ว $0 \div 0$ ล่ะ ต้องหา $c$ ที่ $0 \times c = 0$ คราวนี้ทุกจำนวนใช้ได้หมด เลือกไม่ได้ว่าคำตอบคือตัวไหน จึงไม่นิยามเหมือนกัน

ศูนย์อยู่ข้างบนได้ อยู่ข้างล่างไม่ได้

$0 \div 5 = 0$ หาได้ แต่ $5 \div 0$ และ $0 \div 0$ หาค่าไม่ได้ ตัวหารต้องไม่เป็นศูนย์เสมอ

ตัวอย่าง 3

น้ำในอ่างเก็บน้ำของหมู่บ้านลดลงรวม 48 เซนติเมตรในเวลา 6 วัน ถ้าลดลงเท่ากันทุกวัน ระดับน้ำเปลี่ยนไปวันละเท่าไร

ลดลงเป็นการเปลี่ยนแปลงทางลบ เขียนเป็น $-48$ เซนติเมตร
แบ่งเท่ากัน 6 วัน $(-48) \div 6 = -8$
ระดับน้ำเปลี่ยนไปวันละ $-8$ เซนติเมตร คือลดลงวันละ 8 เซนติเมตร

คูณหารบวกลบปนกัน

ลำดับการคำนวณยังเหมือนตอนประถม ทำในวงเล็บก่อน แล้วคูณหารจากซ้ายไปขวา แล้วจึงบวกลบจากซ้ายไปขวา

ตัวอย่าง 4

หาค่าของ (1) $18 - (-4) \times 5$ (2) $(-24) \div 4 \times (-2)$

ข้อ (1) คูณก่อน $(-4) \times 5 = -20$ ได้ $18 - (-20) = 18 + 20 = 38$
ข้อ (2) มีแต่คูณกับหาร ทำจากซ้ายไปขวา $(-24) \div 4 = -6$
แล้ว $(-6) \times (-2) = 12$

ข้อ (2) ถ้าคูณ $4 \times (-2) = -8$ ก่อน แล้วเอา $-24$ ไปหาร จะได้ $3$ ซึ่งผิด คูณกับหารมีลำดับเท่ากัน ต้องทำจากซ้ายไปขวาเท่านั้น

สรุป

คูณหรือหาร นำค่าสัมบูรณ์มาคำนวณ เครื่องหมายเหมือนกันได้บวก ต่างกันได้ลบ
คูณหลายตัว นับจำนวนลบ คู่ได้บวก คี่ได้ลบ
$a \div b = c$ เมื่อ $b \times c = a$ และตัวหารต้องไม่เป็นศูนย์
คูณหารก่อนบวกลบ และคูณหารที่อยู่ติดกันทำจากซ้ายไปขวา