32.1 เซตและการเขียนเซต

ครูต้องแบ่งนักเรียนที่เดินทางมาโรงเรียนด้วยรถประจำทางออกจากคนอื่น ถ้าใช้คำว่าเดินทางไกล แต่ไม่บอกว่าไกลเท่าไร แต่ละคนอาจจัดกลุ่มไม่เหมือนกัน คนบ้านห่าง $4$ กิโลเมตรอาจคิดว่าตัวเองใกล้ ขณะที่เพื่อนอีกคนคิดว่าไกล ถ้าเปลี่ยนเป็นบ้านห่างจากโรงเรียนเกิน $5$ กิโลเมตร ทุกคนจะได้คำตอบเดียวกันว่าใครอยู่ในกลุ่ม การใช้เซตเริ่มจากเงื่อนไขที่ตัดสินได้ชัดเจนแบบนี้

สมาชิกต้องตัดสินได้

เวลาพูดถึงกลุ่มในคณิตศาสตร์ เราต้องตอบคำถามว่า สิ่งนี้อยู่ในกลุ่มหรือไม่ ได้เสมอ และทุกคนต้องตอบตรงกัน ถ้าคำตอบขึ้นกับความรู้สึกของคนตอบ ข้อความอย่าง $a$ อยู่ในกลุ่ม ก็ไม่ใช่จริงหรือเท็จ แล้วจะใช้เหตุผลต่อไม่ได้

ลองเทียบสองคู่นี้ นักเรียนที่เก่งคณิตศาสตร์ ไม่เป็นเซต เพราะคำว่าเก่งไม่มีเกณฑ์ แต่ นักเรียนในห้องที่ได้เกรด $4$ วิชาคณิตศาสตร์ภาคเรียนที่แล้ว เป็นเซต เพราะเปิดสมุดคะแนนแล้วตอบได้ทุกคน ในทำนองเดียวกัน จำนวนที่มีค่ามาก ไม่เป็นเซต แต่ จำนวนเต็มที่มากกว่า $100$ เป็นเซต

เขียนสมาชิกในวงเล็บปีกกา

ชื่อเซตมักใช้ตัวพิมพ์ใหญ่ รายการสมาชิกอยู่ในวงเล็บปีกกา การเขียน $A=\{2,4,6\}$ หมายถึงมีสมาชิกสามตัว ลำดับไม่มีผลและการเขียนซ้ำไม่นับเพิ่ม ดังนั้น $\{6,2,4,2\}=A$ แต่ $\{2,4\}\ne A$

ทำไมจึงตกลงกันแบบนี้ เพราะเซตสนใจคำถามเดียวคือ อยู่หรือไม่อยู่ เหมือนรายชื่อคนที่มาเข้าค่าย ถ้าเผลอเขียนชื่อเพื่อนคนหนึ่งสองครั้ง คนที่มาก็ยังมีคนเดียว และสลับลำดับรายชื่อก็ยังเป็นคนกลุ่มเดิม ส่วน $\{2,4\}$ ขาด $6$ ไป คำถามว่า $6$ อยู่หรือไม่ จึงได้คำตอบต่างจาก $A$

แจกแจงกับบอกเงื่อนไข

เขียนเซตได้สองแบบ แบบแจกแจงสมาชิกเขียนสมาชิกทุกตัวออกมา เหมาะกับเซตที่มีสมาชิกไม่มาก ถ้าสมาชิกเรียงเป็นแบบรูปชัดเจน ใช้จุดสามจุดแทนส่วนที่ละไว้ได้ เช่น $\{1,2,3,\ldots,100\}$ หรือ $\{2,4,6,\ldots\}$ ซึ่งไม่มีตัวสุดท้าย

แบบบอกเงื่อนไขเขียน $\{x\mid \text{เงื่อนไขของ }x\}$ โดยขีดตั้งอ่านว่า โดยที่ เช่น $\{x\mid x\text{ เป็นจำนวนคู่บวก}\}$ อ่านว่า เซตของ $x$ โดยที่ $x$ เป็นจำนวนคู่บวก แบบนี้เหมาะกับเซตที่มีสมาชิกมากหรือแจกแจงไม่จบ ต้องระบุด้วยว่า $x$ มาจากจำนวนชนิดใด เพราะจำนวนเต็มกับจำนวนจริงให้สมาชิกต่างกัน

สัญลักษณ์ของเซตจำนวนที่ใช้บ่อยมีสามตัว $\mathbb N$ คือเซตของจำนวนนับ $\mathbb Z$ คือเซตของจำนวนเต็มที่เรียนในบทที่ 1 และ $\mathbb R$ คือเซตของจำนวนจริงที่เรียนในบทที่ 11 เขียน $x\in\mathbb Z$ ไว้หน้าขีดตั้งเพื่อบอกว่าเลือก $x$ จากจำนวนเต็มเท่านั้น

ตรวจคำตอบแบบบอกเงื่อนไขทุกครั้งด้วยการแจกแจงกลับ ถ้าได้สมาชิกเกินหรือขาดไปแม้ตัวเดียว แสดงว่าเงื่อนไขยังหลวมหรือแน่นเกินไป

เซตว่างและเซตอนันต์

เซตว่าง $\varnothing$ ไม่มีสมาชิก เกิดขึ้นได้จริงเมื่อไม่มีสิ่งใดผ่านเงื่อนไข เช่น เซตของจำนวนนับที่น้อยกว่า $1$ เซตว่างต่างจาก $\{0\}$ ซึ่งมีสมาชิกคือศูนย์ และต่างจาก $\{\varnothing\}$ ซึ่งมีเซตว่างเป็นสมาชิกหนึ่งตัว

นึกภาพเซตเป็นกล่อง $\varnothing$ คือกล่องเปล่า $\{0\}$ คือกล่องที่มีเลขศูนย์อยู่ข้างใน ส่วน $\{\varnothing\}$ คือกล่องที่มีกล่องเปล่าอยู่ข้างใน เปิดกล่องนี้แล้วเจอของหนึ่งชิ้น แม้ของชิ้นนั้นจะเป็นกล่องเปล่าก็ตาม

จำนวนสมาชิกของเซต $A$ เขียน $n(A)$ ใช้กับเซตที่นับสมาชิกได้จบ ซึ่งเรียกว่าเซตจำกัด เซตว่างก็เป็นเซตจำกัดที่ $n(\varnothing)=0$ ส่วนเซตที่นับเท่าไรก็ไม่จบ เช่น $\mathbb Z$ หรือ $\{2,4,6,\ldots\}$ เรียกว่าเซตอนันต์

ตรวจขอบเขตของเงื่อนไข

คำว่า จำนวนระหว่างสองค่า ยังไม่พอถ้าไม่รู้ว่ารวมปลายหรือไม่และเป็นจำนวนชนิดใด ลองเทียบสองเงื่อนไขที่ดูใกล้กันก่อนนับสมาชิก

ในการเขียนแบบบอกเงื่อนไขจึงต้องตรวจสองชั้น คือสมาชิกมาจากที่ใดและผ่านเงื่อนไขใด ถ้าละชนิดจำนวนไว้ อาจเปลี่ยนเซตจำกัดให้เป็นเซตอนันต์โดยไม่ตั้งใจ

หน้าถัดไปจะเทียบเซตสองเซตว่าเซตหนึ่งอยู่ในอีกเซตทั้งหมดหรือไม่ ซึ่งต้องใช้ความแม่นเรื่องสมาชิกจากหน้านี้ทุกข้อ

สรุป

• เซตต้องมีเกณฑ์ตัดสินได้แน่นอนว่าสิ่งใดเป็นสมาชิก
• ลำดับและรายการซ้ำไม่เปลี่ยนเซต นับ $n(A)$ หลังตัดซ้ำแล้ว
• แบบบอกเงื่อนไขต้องระบุชนิดของสมาชิก และตรวจด้วยการแจกแจงกลับ
• เซตว่างมีสมาชิกศูนย์ตัว ต่างจาก $\{0\}$ และ $\{\varnothing\}$
• เซตจำกัดนับสมาชิกได้จบ เซตอนันต์นับไม่จบ