25.2 กราฟของ y = ax²

ฟังก์ชันกำลังสองที่ง่ายที่สุดคือ $y = x^2$ ได้จาก $a = 1$ และ $b = c = 0$ เริ่มจากตัวนี้ก่อน แล้วค่อยดูว่าถ้าเปลี่ยน $a$ กราฟจะเปลี่ยนยังไง

กราฟของ y = x²

จากตารางเห็นสามอย่าง

• ค่า $y$ ไม่เคยติดลบ เพราะจำนวนใดยกกำลังสองก็ได้ค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์
• $x = 2$ กับ $x = -2$ ได้ $y$ เท่ากัน เพราะ $2^2 = (-2)^2$ กราฟจึงสมมาตรรอบแกน $y$
• ค่าต่ำสุดคือ $0$ ที่ $x = 0$ จุดยอดจึงอยู่ที่จุดกำเนิด $(0, 0)$

เปลี่ยนค่า a

กราฟข้างล่างมีเส้นประเป็น $y = x^2$ ไว้เทียบ ก่อนเลื่อนแถบ ลองเดาก่อนว่าถ้า $a = 2$ กราฟจะอยู่สูงกว่าหรือต่ำกว่าเส้นประ แล้วถ้า $a$ ติดลบจะเป็นยังไง

เหตุผลของข้อสุดท้ายดูได้จากจุดที่ $x = 1$ กราฟ $y = 3x^2$ ขึ้นไปถึง $y = 3$ แต่ $y = \tfrac{1}{2}x^2$ ขึ้นไปแค่ $y = \tfrac{1}{2}$ ทุกค่า $x$ กราฟที่ $|a|$ มากจะขึ้นเร็วกว่า จึงดูแคบกว่า

y = ax² กับ y = −ax²

ลองเลื่อน $a$ จาก $2$ ไปเป็น $-2$ กราฟจะกลับหัวโดยรูปร่างเหมือนเดิม เพราะทุกค่า $x$ ค่า $y$ ของ $-2x^2$ เป็นค่าตรงข้ามของ $2x^2$ พอดี กราฟของ $y = ax^2$ กับ $y = -ax^2$ จึงเป็นภาพสะท้อนกันโดยมีแกน $x$ เป็นเส้นสะท้อน

สรุป

• กราฟของ $y = ax^2$ มีจุดยอด $(0, 0)$ และสมมาตรรอบแกน $y$
• เครื่องหมายของ $a$ บอกทิศ บวกเปิดขึ้น ลบคว่ำลง
• ขนาดของ $|a|$ บอกความกว้าง ยิ่งมากยิ่งแคบ
• $-x^2$ กับ $(-x)^2$ ไม่เท่ากัน