16.2 แผนภาพต้นใบ

ครูพละให้นักเรียน 20 คนกระโดดเชือก 1 นาที แล้วจดจำนวนครั้งที่กระโดดได้

85 79 72 88 66 63 96 57 77 48
70 63 83 68 75 55 52 74 61 71

ข้อมูลชุดนี้มีตั้งแต่ 48 ถึง 96 ครั้ง ถ้าวาดแผนภาพจุดแบบหน้า 16.1 เส้นจำนวนต้องยาวเกือบ 50 ช่อง และเกือบทุกค่ามีจุดเดียว รูปจะแบนจนมองไม่ออกว่าข้อมูลกองตรงไหน หน้านี้ใช้วิธีจัดกลุ่มตามหลักสิบ ซึ่งยังเก็บตัวเลขทุกตัวไว้ครบ

แผนภาพต้นใบคืออะไร

นิยาม

แผนภาพต้นใบ (stem-and-leaf plot) แยกข้อมูลแต่ละตัวเป็นสองส่วน ส่วนหน้าเรียกว่าต้น ส่วนหลักสุดท้ายเรียกว่าใบ เขียนต้นเรียงจากน้อยไปมากเป็นแถวตั้ง แล้วเขียนใบของข้อมูลแต่ละตัวต่อท้ายต้นของมันในแถวเดียวกัน

ข้อมูลสองหลัก เช่น 72 มีต้นคือ 7 ใบคือ 2 ทุกแผนภาพต้นใบต้องบอกวิธีอ่านกำกับไว้ เช่น $7 \mid 2$ หมายถึง 72 ครั้ง เพราะถ้าไม่บอก $7 \mid 2$ อาจหมายถึง 7.2 หรือ 720 ก็ได้

ตัวอย่าง 1

สร้างแผนภาพต้นใบของจำนวนครั้งที่กระโดดเชือกได้

ค่าน้อยที่สุดคือ 48 ค่ามากที่สุดคือ 96 ต้นจึงเป็น 4 5 6 7 8 9 เขียนเรียงลงมาเป็นแถวตั้ง แล้วขีดเส้นตั้งคั่นทางขวา
อ่านข้อมูลทีละตัวตามลำดับที่จดมา 85 เขียนใบ 5 ในแถวต้น 8 ต่อมา 79 เขียนใบ 9 ในแถวต้น 7 ทำไปจนครบ 20 ตัว ได้ตารางแรกข้างล่าง ซึ่งใบยังไม่เรียง
เรียงใบในแต่ละแถวจากน้อยไปมาก เขียนใบให้ห่างเท่ากันทุกตัว ได้ตารางที่สอง
นับใบทั้งหมด $1 + 3 + 5 + 7 + 3 + 1 = 20$ ใบ เท่ากับจำนวนนักเรียน
เขียนกำกับใต้แผนภาพว่า $5 \mid 2$ หมายถึง 52 ครั้ง

ใบที่ยังไม่เรียง

ต้น	ใบ
4	8
5	7 5 2
6	6 3 3 8 1
7	9 2 7 0 5 4 1
8	5 8 3
9	6

เรียงใบแล้ว ( $5 \mid 2$ หมายถึง 52 ครั้ง)

ต้น	ใบ
4	8
5	2 5 7
6	1 3 3 6 8
7	0 1 2 4 5 7 9
8	3 5 8
9	6

ขั้นที่ 2 ไม่ต้องเรียงก่อนก็ได้ เพราะการไล่หาค่าที่น้อยที่สุดในข้อมูล 20 ตัวทีละรอบช้าและพลาดง่าย ใส่ใบตามลำดับที่อ่าน แล้วค่อยเรียงในแถวสั้นๆ ทีหลังเร็วกว่ามาก

อ่านแผนภาพต้นใบ

ลองเอียงคอไปทางซ้ายแล้วมองแผนภาพที่เรียงแล้ว แถวใบที่ยาวที่สุดจะกลายเป็นแท่งที่สูงที่สุด แผนภาพต้นใบจึงให้ภาพเหมือนแผนภูมิแท่งของแต่ละช่วงสิบ แต่ยังบอกค่าทุกตัวได้ด้วย ข้อมูลชุดนี้กองหนาที่สุดในช่วง 70 ถึง 79 ครั้ง แล้วลดลงทั้งด้านน้อยและด้านมาก

ตัวอย่าง 2

จากแผนภาพต้นใบที่เรียงแล้ว ตอบคำถามต่อไปนี้

(1) นักเรียนที่กระโดดได้มากที่สุดกับน้อยที่สุดต่างกันกี่ครั้ง
(2) ครูให้ผ่านเกณฑ์เมื่อกระโดดได้อย่างน้อย 70 ครั้ง มีนักเรียนผ่านเกณฑ์กี่คน
(3) มีกี่คนที่กระโดดได้ 60 ถึง 69 ครั้ง และค่าใดพบบ่อยที่สุด

ค่ามากที่สุดคือใบสุดท้ายของต้นสุดท้าย $9 \mid 6$ คือ 96 ค่าน้อยที่สุดคือใบแรกของต้นแรก $4 \mid 8$ คือ 48 ต่างกัน $96 - 48 = 48$ ครั้ง
อย่างน้อย 70 คือทุกใบในแถวต้น 7 8 และ 9 ได้ $7 + 3 + 1 = 11$ คน
แถวต้น 6 มี 5 ใบ จึงมี 5 คน ในแถวนี้มีใบ 3 ซ้ำกันสองตัว และไม่มีค่าอื่นซ้ำเลยทั้งแผนภาพ ค่าที่พบบ่อยที่สุดจึงเป็น 63 ครั้ง

ใบต้องห่างเท่ากัน

ความยาวของแถวใบคือสิ่งที่ตาใช้เทียบ ถ้าแถวหนึ่งเขียนใบชิดกัน อีกแถวเขียนห่าง แถวที่มีใบน้อยกว่าอาจดูยาวกว่า ใช้กระดาษตารางหรือเว้นช่องให้ใบทุกตัวกินที่เท่ากัน และใบต้องเป็นเลขโดดหลักเดียวเสมอ

ลองคิดก่อน

ข้อมูลคะแนนสอบ 31 34 38 52 55 57 58 60 เพื่อนเขียนต้นแค่ 3 5 และ 6 โดยให้เหตุผลว่าไม่มีคะแนนในช่วง 40 ถึง 49 จึงไม่ต้องเขียนต้น 4 เพื่อนทำถูกไหม

ดูคำตอบ

ไม่ถูก ต้นต้องเรียงครบทุกค่าตั้งแต่ต้นแรกถึงต้นสุดท้าย ต้นที่ไม่มีใบให้เขียนไว้แล้วเว้นแถวใบว่าง ถ้าตัดต้น 4 ทิ้ง แถว 30 กับแถว 50 จะอยู่ติดกัน คนอ่านจะไม่เห็นว่าข้อมูลขาดหายไปทั้งช่วง 40 ถึง 49 เหตุผลเดียวกับที่แผนภาพจุดต้องเขียนค่าที่ไม่มีข้อมูลไว้บนเส้นด้วย

ข้อมูลที่ไม่ใช่สองหลัก

แผนภาพต้นใบใช้กับข้อมูลแบบอื่นได้ ขอให้ใบเป็นหลักสุดท้ายเพียงหลักเดียว ส่วนที่เหลือข้างหน้าทั้งหมดเป็นต้น และบอกวิธีอ่านกำกับไว้

ข้อมูลสามหลัก เช่นน้ำหนักถุงข้าวสาร 105 กรัม ต้นคือ 10 ใบคือ 5 กำกับว่า $10 \mid 5$ หมายถึง 105 กรัม
ข้อมูลทศนิยมหนึ่งตำแหน่ง เช่นเวลาวิ่ง 50 เมตร 8.4 วินาที ต้นคือ 8 ใบคือ 4 กำกับว่า $8 \mid 4$ หมายถึง 8.4 วินาที

เทียบสองกลุ่มด้วยแผนภาพต้นใบสองด้าน

ถ้ามีข้อมูลสองกลุ่มที่ใช้ต้นชุดเดียวกัน วางต้นไว้ตรงกลาง ใบของกลุ่มแรกเขียนไปทางซ้าย ใบของกลุ่มที่สองเขียนไปทางขวา เรียกว่าแผนภาพต้นใบแบบสองด้าน ใบทางซ้ายเรียงจากน้อยไปมากโดยเริ่มจากชิดต้นแล้วออกไปทางซ้าย จึงต้องอ่านจากขวาไปซ้าย

ตัวอย่าง 3

คะแนนสอบกลางภาควิชาคณิตศาสตร์ เต็ม 50 คะแนน ของนักเรียนห้อง ม.2/3 และ ม.2/5 ห้องละ 15 คน เขียนเป็นแผนภาพต้นใบแบบสองด้านได้ดังนี้ ( $4 \mid 1$ หมายถึง 41 คะแนน ทั้งสองด้าน)

ใบ ม.2/3	ต้น	ใบ ม.2/5
	1	8
8 3	2	2 5 6 9
9 8 6 5 4 1	3	0 1 3 3 4 7 8
7 5 5 4 2 2 1	4	0 1 3

(1) แต่ละห้องมีกี่คนที่ได้ตั้งแต่ 40 คะแนนขึ้นไป
(2) แต่ละห้องมีกี่คนที่ได้ต่ำกว่า 30 คะแนน
(3) ห้องใดทำคะแนนได้ดีกว่าโดยรวม

ตั้งแต่ 40 ขึ้นไปคือแถวต้น 4 ห้อง ม.2/3 มี 7 ใบ ห้อง ม.2/5 มี 3 ใบ
ต่ำกว่า 30 คือแถวต้น 1 กับ 2 ห้อง ม.2/3 มี $0 + 2 = 2$ คน ห้อง ม.2/5 มี $1 + 4 = 5$ คน
ใบของห้อง ม.2/3 กองหนาอยู่ที่ต้น 3 และ 4 โดยแถวต้น 4 ยาวที่สุด ส่วนใบของห้อง ม.2/5 กองหนาอยู่ที่ต้น 2 และ 3 โดยแถวต้น 3 ยาวที่สุด ข้อมูลของห้อง ม.2/3 จึงอยู่สูงกว่าห้อง ม.2/5 ประมาณหนึ่งแถว ห้อง ม.2/3 ทำได้ดีกว่าโดยรวม

คำว่า "โดยรวม" ในข้อ 3 ยังเป็นการดูด้วยตา หน้า 16.5 จะกลับมาที่ข้อมูลสองห้องนี้อีกครั้ง แล้วเทียบด้วยค่ากลางที่เป็นตัวเลข

สรุป

แผนภาพต้นใบแยกข้อมูลเป็นต้นกับใบ ใบเป็นหลักสุดท้ายหลักเดียว ต้นคือส่วนที่เหลือ
ใส่ใบตามลำดับที่อ่านก่อน แล้วค่อยเรียงในแต่ละแถว นับใบรวมให้เท่ากับจำนวนข้อมูล
ต้องเขียนวิธีอ่านกำกับ เขียนต้นให้ครบทุกค่าแม้ไม่มีใบ และเขียนใบห่างเท่ากัน
แผนภาพต้นใบให้ภาพรวมเหมือนแผนภูมิแท่งของแต่ละช่วง และยังเก็บค่าทุกตัวไว้
แผนภาพต้นใบแบบสองด้านใช้เทียบข้อมูลสองกลุ่มที่ใช้ต้นชุดเดียวกัน