32.6 แบบฝึกหัด

เซตไม่นับรายการที่เขียนซ้ำ $2$ เขียนสองครั้งและ $4$ เขียนสองครั้ง ตัดส่วนที่ซ้ำออกเหลือ $A=\{2,4,6\}$ จึงได้ $n(A)=3$ รายการที่เขียนมีห้ารายการ แต่สมาชิกที่ต่างกันมีสามตัว

ไล่สมาชิกของ $B$ ทีละตัวว่าอยู่ใน $A$ ด้วยหรือไม่ $2\in A$ $3\notin A$ และ $4\in A$ จึงได้ $A\cap B=\{2,4\}$ ส่วน $1$ กับ $6$ อยู่เฉพาะใน $A$ และ $3$ อยู่เฉพาะใน $B$ จึงไม่อยู่ในอินเตอร์เซกชัน

$\{1,2\}$ เป็นเซตที่สมาชิกทุกตัวอยู่ใน $A$ จึงเป็นสับเซต แต่ไม่ใช่สมาชิกหนึ่งตัวของ $A$

คอมพลีเมนต์เริ่มจาก $U$ ไม่ใช่จาก $A$ ไล่ $1$ ถึง $6$ แล้วตัดตัวที่อยู่ใน $A$ คือ $2,4,6$ ออก เหลือ $A\prime=\{1,3,5\}$ ตรวจได้ว่า $A$ กับ $A\prime$ รวมกันได้ $U$ พอดีและไม่มีตัวซ้ำกัน

สมัครอย่างน้อยหนึ่ง $26+20-8=38$ คน จึงไม่สมัครเลย $45-38=7$ คน

เพียงวิธีเดียวต้องตัดส่วนที่เคยใช้ทั้งสองออกจากยอดของแต่ละวิธี รถเมล์อย่างเดียว $32-12=20$ คน รถไฟอย่างเดียว $21-12=9$ คน สองบริเวณนี้ไม่ซ้อนกัน จึงบวกได้ $20+9=29$ คน ตรวจ $29+12=41=32+21-12$ คือจำนวนคนที่เคยใช้อย่างน้อยหนึ่งวิธี

แต่ละสมาชิกเลือกใส่หรือไม่ใส่ได้ จึงมี $2^4=16$ สับเซต

$\mathcal P(\varnothing)=\{\varnothing\}$ เพราะเซตว่างเป็นสับเซตของตัวเอง เกณฑ์ตรวจคือมีวงเล็บปีกกาชั้นนอก มีเซตว่างเป็นสมาชิกหนึ่งตัว และจำนวนตรงกับ $2^0=1$

เติมจากตรงกลาง ทั้งสามวิชา $4$ คน หักออกจากจุดตัดเป็นคู่ได้ ดนตรีกับศิลปะเท่านั้น $8-4=4$ ดนตรีกับคอมพิวเตอร์เท่านั้น $10-4=6$ ศิลปะกับคอมพิวเตอร์เท่านั้น $7-4=3$

วิชาเดียว ดนตรีอย่างเดียว $22-4-6-4=8$ ศิลปะอย่างเดียว $18-4-3-4=7$ คอมพิวเตอร์อย่างเดียว $25-6-3-4=12$

เรียนอย่างน้อยหนึ่งวิชา $8+7+12+4+6+3+4=44$ คน ตรงกับสูตร $22+18+25-8-10-7+4=44$ จึงไม่เรียนเลย $50-44=6$ คน

$2$ กับ $3$ ถูกบังคับให้อยู่ และ $6$ ถูกห้าม สามตัวนี้จึงมีทางเดียว ไม่มีทางเลือก

สมาชิกที่เหลือคือ $1,4,5$ แต่ละตัวใส่หรือไม่ใส่ได้อิสระ ตัวละสองทาง จึงได้ $2^3=8$ เซต

ตรวจขอบเขต สับเซตที่เล็กที่สุดคือ $\{2,3\}$ ใหญ่ที่สุดคือ $\{1,2,3,4,5\}$ ทั้งคู่ผ่านเงื่อนไขและถูกนับอยู่ใน $8$ เซตนี้