descartesclytie0x/descartes-math-platform
บทที่ 39 ฟังก์ชันตรีโกณมิติตรงกับหนังสือ เพิ่มเติม ม.5 เล่ม 1 บทที่ 1เพิ่มเติม

39.5 สูตรผลบวกและผลต่างของมุม

มุม 75∘75^\circ ไม่อยู่ในตารางมุมพิเศษ เครื่องคิดเลขบอกว่า sin⁡75∘\sin 75^\circ ประมาณ 0.96590.9659 แต่ตัวเลขนี้เป็นค่าประมาณ ถ้าต้องการค่าแม่นตรงแบบ 32\tfrac{\sqrt{3}}{2} ต้องหาทางอื่น สังเกตว่า 75∘=45∘+30∘75^\circ = 45^\circ + 30^\circ ซึ่งเป็นมุมพิเศษทั้งคู่ คำถามจึงกลายเป็นว่า ถ้ารู้ไซน์และโคไซน์ของสองมุม จะหาไซน์ของผลบวกได้อย่างไร

ความคิดแรกของหลายคนคือ sin⁡75∘=sin⁡45∘+sin⁡30∘\sin 75^\circ = \sin 45^\circ + \sin 30^\circ แต่ 22+12\tfrac{\sqrt{2}}{2} + \tfrac{1}{2} ประมาณ 1.211.21 ซึ่งมากกว่า 11 เป็นไซน์ของมุมใดไม่ได้เลย หน้านี้จะสร้างสูตรที่ถูกต้องจากวงกลมหนึ่งหน่วย แล้วใช้สูตรนั้นหาค่าแม่นตรงของมุมอย่าง 75∘75^\circ และ 15∘15^\circ

ที่มาของสูตรโคไซน์ของผลต่าง

วาดมุม AA และมุม BB บนวงกลมหนึ่งหน่วย จุดปลายคือ P=(cos⁡A,sin⁡A)P = (\cos A, \sin A) และ Q=(cos⁡B,sin⁡B)Q = (\cos B, \sin B) มุมระหว่างรัศมีสองเส้นนี้คือ A−BA - B ลองหาระยะ PQPQ สองวิธี

วิธีแรก ใช้สูตรระยะทางระหว่างจุดจากบทที่ 38 ตรงๆ

PQ2=(cos⁡A−cos⁡B)2+(sin⁡A−sin⁡B)2PQ^2 = (\cos A - \cos B)^2 + (\sin A - \sin B)^2

กระจายแล้วจัดกลุ่ม cos⁡2A+sin⁡2A=1\cos^2 A + \sin^2 A = 1 และ cos⁡2B+sin⁡2B=1\cos^2 B + \sin^2 B = 1 จะเหลือ

PQ2=2−2(cos⁡Acos⁡B+sin⁡Asin⁡B)PQ^2 = 2 - 2(\cos A\cos B + \sin A\sin B)

วิธีที่สอง หมุนรูปทั้งรูปจนจุด QQ ไปอยู่ที่ (1,0)(1, 0) การหมุนไม่เปลี่ยนระยะ จุด PP ที่ห่างจาก QQ เป็นมุม A−BA - B จึงย้ายไปอยู่ที่ (cos⁡(A−B),sin⁡(A−B))(\cos(A - B), \sin(A - B)) ระยะเดิมจึงเท่ากับ

PQ2=(cos⁡(A−B)−1)2+sin⁡2(A−B)=2−2cos⁡(A−B)PQ^2 = (\cos(A - B) - 1)^2 + \sin^2(A - B) = 2 - 2\cos(A - B)

ระยะเดียวกันวัดได้สองแบบ นำมาเท่ากันแล้วตัด 22 กับ −2-2 ออก ได้สูตรแรกของหน้านี้

สูตรโคไซน์ของผลต่าง

cos⁡(A−B)=cos⁡Acos⁡B+sin⁡Asin⁡B\cos(A - B) = \cos A\cos B + \sin A\sin B

สูตรที่เหลือทั้งหมดมาจากสูตรนี้ แทน BB ด้วย −B-B และใช้ cos⁡(−B)=cos⁡B\cos(-B) = \cos B กับ sin⁡(−B)=−sin⁡B\sin(-B) = -\sin B จะได้สูตรของผลบวก ส่วนสูตรของไซน์มาจากการแทน A=π2A = \tfrac{\pi}{2} ก่อน ได้ cos⁡(π2−B)=0⋅cos⁡B+1⋅sin⁡B=sin⁡B\cos\left(\tfrac{\pi}{2} - B\right) = 0 \cdot \cos B + 1 \cdot \sin B = \sin B แปลว่าไซน์ของมุมหนึ่งคือโคไซน์ของมุมที่รวมกับมันได้มุมฉาก แล้วใช้ความจริงนี้แปลง sin⁡(A+B)=cos⁡((π2−A)−B)\sin(A + B) = \cos\left(\left(\tfrac{\pi}{2} - A\right) - B\right) จะได้สูตรไซน์ตามมา

สูตรมุมรวม

sin⁡(A±B)=sin⁡Acos⁡B±cos⁡Asin⁡B\sin(A \pm B) = \sin A\cos B \pm \cos A\sin B cos⁡(A±B)=cos⁡Acos⁡B∓sin⁡Asin⁡B\cos(A \pm B) = \cos A\cos B \mp \sin A\sin B tan⁡(A±B)=tan⁡A±tan⁡B1∓tan⁡Atan⁡B\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A\tan B}

วิธีจำเครื่องหมาย สูตรไซน์ใช้เครื่องหมายเดียวกับในวงเล็บ และไขว้ไซน์กับโคไซน์ สูตรโคไซน์เครื่องหมายกลับกัน และจับโคไซน์คู่โคไซน์ ไซน์คู่ไซน์ สูตรแทนเจนต์ใช้ได้เมื่อทุกพจน์นิยามและตัวส่วนไม่เป็นศูนย์

ลองคิดก่อน

เพื่อนจำสูตรเป็น sin⁡(A+B)=sin⁡A+sin⁡B\sin(A + B) = \sin A + \sin B เพราะคิดว่าไซน์กระจายเข้าวงเล็บได้เหมือนการคูณ ลองหาตัวอย่างที่แสดงว่าผิด

ดูคำตอบ

ลอง A=B=π2A = B = \tfrac{\pi}{2} ข้างซ้ายเป็น sin⁡π=0\sin\pi = 0 แต่ข้างขวาเป็น 1+1=21 + 1 = 2 ไซน์เป็นฟังก์ชัน ไม่ใช่ตัวเลขที่คูณเข้าวงเล็บได้ เหมือนกับที่ 9+16\sqrt{9 + 16} ไม่เท่ากับ 9+16\sqrt{9} + \sqrt{16} สูตรที่ถูกต้องมีผลคูณไขว้ sin⁡Acos⁡B+cos⁡Asin⁡B\sin A\cos B + \cos A\sin B ซึ่งให้ 1⋅0+0⋅1=01 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0 ตรงกับข้างซ้าย

หาค่าแม่นตรงของมุมที่ไม่อยู่ในตาราง

ตัวอย่าง 1

หา sin⁡75∘\sin 75^\circ แบบค่าแม่นตรง

  1. แยก 75∘=45∘+30∘75^\circ = 45^\circ + 30^\circ เพราะรู้ค่าของทั้งสองมุม แล้วใช้สูตรไซน์ของผลบวก sin⁡45∘cos⁡30∘+cos⁡45∘sin⁡30∘\sin 45^\circ\cos 30^\circ + \cos 45^\circ\sin 30^\circ
  2. แทนค่า 22⋅32+22⋅12=64+24\tfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2} + \tfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \tfrac{1}{2} = \tfrac{\sqrt{6}}{4} + \tfrac{\sqrt{2}}{4}
  3. จึงได้ sin⁡75∘=6+24\sin 75^\circ = \tfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} ตรวจด้วยเครื่องคิดเลข 2.449+1.4144\tfrac{2.449 + 1.414}{4} ประมาณ 0.96590.9659 ตรงกับค่าต้นหน้า

ตัวอย่าง 2

หา cos⁡15∘\cos 15^\circ และ tan⁡15∘\tan 15^\circ แบบค่าแม่นตรง

  1. 15∘=45∘−30∘15^\circ = 45^\circ - 30^\circ ใช้สูตรโคไซน์ของผลต่าง เครื่องหมายกลายเป็นบวก cos⁡45∘cos⁡30∘+sin⁡45∘sin⁡30∘=64+24=6+24\cos 45^\circ\cos 30^\circ + \sin 45^\circ\sin 30^\circ = \tfrac{\sqrt{6}}{4} + \tfrac{\sqrt{2}}{4} = \tfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
  2. ผลนี้เท่ากับ sin⁡75∘\sin 75^\circ พอดี ไม่ใช่เรื่องบังเอิญ เพราะ 15∘+75∘=90∘15^\circ + 75^\circ = 90^\circ และไซน์ของมุมหนึ่งคือโคไซน์ของมุมที่รวมกันได้มุมฉาก
  3. สำหรับแทนเจนต์ใช้สูตรผลต่าง tan⁡15∘=tan⁡45∘−tan⁡30∘1+tan⁡45∘tan⁡30∘=1−131+13\tan 15^\circ = \dfrac{\tan 45^\circ - \tan 30^\circ}{1 + \tan 45^\circ\tan 30^\circ} = \dfrac{1 - \tfrac{1}{\sqrt{3}}}{1 + \tfrac{1}{\sqrt{3}}}
  4. คูณทั้งเศษและส่วนด้วย 3\sqrt{3} ได้ 3−13+1\dfrac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} แล้วคูณด้วย 3−1\sqrt{3} - 1 ทั้งเศษและส่วนเพื่อกำจัดรากที่ตัวส่วน ได้ (3−1)23−1=4−232=2−3\dfrac{(\sqrt{3} - 1)^2}{3 - 1} = \dfrac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}

สูตรมุมรวมไม่ได้ใช้แค่กับมุมพิเศษ ถ้าโจทย์ให้ค่าของมุมมาเป็นอัตราส่วน ก็ใช้วิธีจากหน้า 39.2 หาฟังก์ชันที่เหลือก่อน แล้วแทนในสูตร

ตัวอย่าง 3

ให้ sin⁡A=35\sin A = \tfrac{3}{5} และ cos⁡B=513\cos B = \tfrac{5}{13} โดย AA และ BB อยู่จตุภาคที่ 1 ทั้งคู่ หา sin⁡(A+B)\sin(A + B) และ cos⁡(A+B)\cos(A + B)

  1. สูตรต้องใช้ทั้ง cos⁡A\cos A และ sin⁡B\sin B จึงหาก่อน cos⁡A=1−925=45\cos A = \sqrt{1 - \tfrac{9}{25}} = \tfrac{4}{5} และ sin⁡B=1−25169=1213\sin B = \sqrt{1 - \tfrac{25}{169}} = \tfrac{12}{13} ทั้งสองเลือกรากบวกเพราะอยู่จตุภาคที่ 1
  2. sin⁡(A+B)=35⋅513+45⋅1213=15+4865=6365\sin(A + B) = \tfrac{3}{5} \cdot \tfrac{5}{13} + \tfrac{4}{5} \cdot \tfrac{12}{13} = \tfrac{15 + 48}{65} = \tfrac{63}{65}
  3. cos⁡(A+B)=45⋅513−35⋅1213=20−3665=−1665\cos(A + B) = \tfrac{4}{5} \cdot \tfrac{5}{13} - \tfrac{3}{5} \cdot \tfrac{12}{13} = \tfrac{20 - 36}{65} = -\tfrac{16}{65}
  4. โคไซน์ติดลบแปลว่า A+BA + B เกินมุมฉาก อยู่จตุภาคที่ 2 ทั้งที่ AA และ BB เป็นมุมแหลม ตรวจ (6365)2+(1665)2=3969+2564225=1\left(\tfrac{63}{65}\right)^2 + \left(\tfrac{16}{65}\right)^2 = \tfrac{3969 + 256}{4225} = 1 ตรงกับเอกลักษณ์

สูตรมุมสองเท่า

ถ้าให้ B=AB = A ในสูตรผลบวก จะได้สูตรของมุมสองเท่าทันที ไม่ต้องจำแยก

sin⁡2A=2sin⁡Acos⁡A\sin 2A = 2\sin A\cos A cos⁡2A=cos⁡2A−sin⁡2A\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A tan⁡2A=2tan⁡A1−tan⁡2A\tan 2A = \frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A}

สูตรโคไซน์มีอีกสองรูปที่ได้จากการแทน cos⁡2A=1−sin⁡2A\cos^2 A = 1 - \sin^2 A หรือ sin⁡2A=1−cos⁡2A\sin^2 A = 1 - \cos^2 A คือ cos⁡2A=1−2sin⁡2A\cos 2A = 1 - 2\sin^2 A และ cos⁡2A=2cos⁡2A−1\cos 2A = 2\cos^2 A - 1 เลือกใช้รูปที่มีฟังก์ชันที่โจทย์ให้มา

ตัวอย่าง 4

ให้ sin⁡u=35\sin u = \tfrac{3}{5} และ uu อยู่จตุภาคที่ 1 หา sin⁡2u\sin 2u และ cos⁡2u\cos 2u

  1. สูตร sin⁡2u\sin 2u ต้องใช้ cos⁡u\cos u จตุภาคที่ 1 โคไซน์บวก จึงได้ cos⁡u=45\cos u = \tfrac{4}{5}
  2. sin⁡2u=2sin⁡ucos⁡u=2⋅35⋅45=2425\sin 2u = 2\sin u\cos u = 2 \cdot \tfrac{3}{5} \cdot \tfrac{4}{5} = \tfrac{24}{25}
  3. สำหรับ cos⁡2u\cos 2u เลือกรูป 1−2sin⁡2u1 - 2\sin^2 u เพราะโจทย์ให้ไซน์มา 1−2⋅925=1−1825=7251 - 2 \cdot \tfrac{9}{25} = 1 - \tfrac{18}{25} = \tfrac{7}{25}
  4. ตรวจ (2425)2+(725)2=576+49625=1\left(\tfrac{24}{25}\right)^2 + \left(\tfrac{7}{25}\right)^2 = \tfrac{576 + 49}{625} = 1

จตุภาคของ uu ไม่จำเป็นต้องตรงกับจตุภาคของ 2u2u ในตัวอย่างนี้ uu ประมาณ 37∘37^\circ มุม 2u2u ประมาณ 74∘74^\circ ยังอยู่จตุภาคที่ 1 แต่ถ้า uu เป็น 60∘60^\circ มุม 2u2u จะเป็น 120∘120^\circ ข้ามไปจตุภาคที่ 2 จึงอย่าเติมเครื่องหมายของมุมสองเท่าจากมุมเดิม ให้คำนวณจากสูตร แล้วเครื่องหมายจะออกมาเอง

ตัวอย่าง 5

ใช้สูตรมุมสองเท่าหา sin⁡15∘\sin 15^\circ แล้วเทียบกับผลจากสูตรผลต่าง

  1. ใช้ cos⁡2A=1−2sin⁡2A\cos 2A = 1 - 2\sin^2 A กับ A=15∘A = 15^\circ ได้ cos⁡30∘=1−2sin⁡215∘\cos 30^\circ = 1 - 2\sin^2 15^\circ จึงได้ sin⁡215∘=1−322=2−34\sin^2 15^\circ = \dfrac{1 - \tfrac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \dfrac{2 - \sqrt{3}}{4}
  2. 15∘15^\circ อยู่จตุภาคที่ 1 ไซน์บวก ถอดรากเลือกค่าบวก sin⁡15∘=2−32\sin 15^\circ = \dfrac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}
  3. จากสูตรผลต่าง sin⁡15∘=sin⁡(45∘−30∘)=6−24\sin 15^\circ = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \tfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} หน้าตาต่างกัน ลองยกกำลังสองค่านี้ได้ 6+2−21216=8−4316=2−34\tfrac{6 + 2 - 2\sqrt{12}}{16} = \tfrac{8 - 4\sqrt{3}}{16} = \tfrac{2 - \sqrt{3}}{4} เท่ากับขั้นที่ 1 ทั้งสองค่าเป็นบวก จึงเป็นจำนวนเดียวกันที่เขียนต่างรูป

ลองคิดก่อน

sin⁡2A=2sin⁡A\sin 2A = 2\sin A ใช่ไหม เพราะมุมเพิ่มเป็นสองเท่า ไซน์ก็น่าจะเพิ่มเป็นสองเท่า

ดูคำตอบ

ไม่ใช่ ลอง A=60∘A = 60^\circ ข้างซ้ายเป็น sin⁡120∘=32\sin 120^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{2} แต่ข้างขวาเป็น 2⋅32=32 \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} ซึ่งเกิน 11 ไปแล้ว ไซน์คือความสูงบนวงกลม ไม่ได้โตตามมุมเป็นสัดส่วน สูตรที่ถูกคือ 2sin⁡Acos⁡A2\sin A\cos A ตัวคูณ cos⁡A\cos A ที่ไม่เกิน 11 ทำให้ผลไม่เคยเกิน 11

ทั้งหน้านี้เราเริ่มจากมุมแล้วหาค่า หน้าถัดไปจะถามกลับ ถ้ารู้ค่าไซน์ว่าเป็น 35\tfrac{3}{5} มุมคือเท่าไร คำถามนี้นำไปสู่ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

สรุป

  • cos⁡(A−B)=cos⁡Acos⁡B+sin⁡Asin⁡B\cos(A - B) = \cos A\cos B + \sin A\sin B มาจากการวัดระยะระหว่างสองจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วยสองวิธี
  • สูตรไซน์ใช้เครื่องหมายเดียวกับในวงเล็บ สูตรโคไซน์เครื่องหมายกลับกัน
  • แยกมุมเป็นผลบวกหรือผลต่างของมุมพิเศษเพื่อหาค่าแม่นตรง
  • สูตรมุมสองเท่ามาจากการให้สองมุมเท่ากัน cos⁡2A\cos 2A มีสามรูปให้เลือกตามข้อมูลที่มี
  • ไซน์ไม่กระจายเข้าวงเล็บ และไม่โตเป็นสัดส่วนกับมุม