descartesclytie0x/descartes-math-platform
บทที่ 41 เวกเตอร์ตรงกับหนังสือ เพิ่มเติม ม.5 เล่ม 1 บทที่ 3เพิ่มเติม

41.1 เวกเตอร์เชิงเรขาคณิต

เดินจากห้องเรียนไปทางตะวันออกแล้วเลี้ยวไปทางเหนือ ระยะที่เดินจริงกับระยะตรงจากจุดเริ่มถึงจุดจบตอบคนละคำถาม ลูกศรเส้นเดียวแทนการเปลี่ยนตำแหน่งทั้งหมดได้

ถ้าเพื่อนบอกทางไปโรงอาหารแค่ว่าเดิน 5050 เมตร เรายังไปไม่ถูก เพราะไม่รู้ว่าไปทางไหน หน้านี้สร้างเครื่องมือสำหรับปริมาณที่ต้องบอกทั้งขนาดและทิศจากลูกศร ยังไม่ใช้พิกัด

ปริมาณที่ต้องบอกทิศด้วย

ปริมาณบางอย่างบอกด้วยตัวเลขกับหน่วยก็ครบ เช่น เวลา 1515 นาที มวล 22 กิโลกรัม อุณหภูมิ 3030 องศาเซลเซียส เรียกว่าปริมาณสเกลาร์ แต่บางอย่างต้องบอกทิศด้วยจึงจะครบ เช่น การกระจัด ความเร็ว แรง เรียกว่าปริมาณเวกเตอร์

สเกลาร์เวกเตอร์ที่คู่กันต่างกันตรงไหน
ระยะทางการกระจัดระยะทางรวมทุกช่วงที่เดิน การกระจัดดูแค่จุดเริ่มกับจุดจบ
อัตราเร็วความเร็วรถวิ่งวงกลมด้วยอัตราเร็วคงที่ แต่ความเร็วเปลี่ยนเพราะทิศเปลี่ยน
มวลน้ำหนักน้ำหนักเป็นแรงที่โลกดึง มีทิศลงสู่พื้นเสมอ

เราเขียนเวกเตอร์ด้วยตัวหนา เช่น u\mathbf u v\mathbf v เวลาเขียนด้วยมือให้ใส่ลูกศรข้างบนเป็น u⃗\vec u ลูกศรที่เริ่มจากจุด AA ไปจบที่จุด BB เขียนว่า AB→\overrightarrow{AB} โดย AA คือหาง BB คือหัว ขนาดหรือความยาวของเวกเตอร์เขียนว่า ∥u∥\|\mathbf u\| หนังสือบางเล่มเขียน ∣u∣|\mathbf u| หมายถึงสิ่งเดียวกัน

ตัวอย่าง 1

เดินตะวันออก 33 เมตร แล้วเหนือ 44 เมตร การกระจัดมีขนาดเท่าไร

  1. วาดลูกศรช่วงแรกไปทางขวา แล้ววาดช่วงที่สองขึ้นต่อจากปลายช่วงแรก ได้สามเหลี่ยมมุมฉากที่ด้านประกอบมุมฉากยาว 33 และ 44 เพราะทิศตะวันออกกับทิศเหนือตั้งฉากกัน
  2. การกระจัดคือด้านตรงข้ามมุมฉาก ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้ขนาด 32+42=5\sqrt{3^2+4^2}=5 เมตร
  3. ส่วนระยะที่เดินจริงคือ 3+4=73+4=7 เมตร ตัวเลขสองตัวนี้ต่างกันเพราะตอบคนละคำถาม

เวกเตอร์ที่เท่ากันและเวกเตอร์ตรงข้าม

นิยาม

เวกเตอร์มีขนาดและทิศทาง ลูกศรสองอันแทนเวกเตอร์เท่ากันเมื่อยาวเท่ากันและชี้ทิศเดียวกัน แม้จะเริ่มคนละจุด สเกลาร์มีเพียงค่า เช่น เวลาและมวล

เลื่อนลูกศรขนานไปที่ใดก็ยังเป็นเวกเตอร์เดิม ตราบใดที่ไม่หมุนและไม่ยืดหด เราจึงย้ายลูกศรไปต่อกันได้อิสระ ซึ่งเป็นหัวใจของการบวก

เวกเตอร์ศูนย์ 0\mathbf 0 มีขนาดศูนย์และไม่กำหนดทิศ เหมือนเดินแล้วกลับมาที่เดิม นิเสธของ u\mathbf u เขียนว่า −u-\mathbf u ยาวเท่ากับ u\mathbf u แต่ชี้กลับทาง จึงได้ BA→=−AB→\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB} เสมอ

ตัวอย่าง 2

ABCDABCD เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน เรียงจุดทวนเข็มนาฬิกา จงบอกว่าเวกเตอร์ใดเท่ากับ AB→\overrightarrow{AB} และเวกเตอร์ใดเป็นนิเสธของ AD→\overrightarrow{AD}

  1. สี่เหลี่ยมด้านขนานมีด้านตรงข้ามยาวเท่ากันและขนานกัน ด้าน DCDC จึงยาวเท่ากับ ABAB และขนานกับ ABAB
  2. ต้องดูทิศด้วย AB→\overrightarrow{AB} ชี้จาก AA ไป BB ส่วน DC→\overrightarrow{DC} ชี้จาก DD ไป CC ในทิศเดียวกัน จึงได้ AB→=DC→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} ส่วน CD→\overrightarrow{CD} ยาวเท่ากันแต่ชี้กลับ จึงไม่เท่ากับ AB→\overrightarrow{AB}
  3. ทำแบบเดียวกันกับอีกคู่ AD→=BC→\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC} นิเสธของ AD→\overrightarrow{AD} คือเวกเตอร์ที่ชี้กลับ ได้ DA→\overrightarrow{DA} และ CB→\overrightarrow{CB}

ลองคิดก่อน

ลูกศรจากบ้านไปโรงเรียนกับลูกศรจากโรงเรียนกลับบ้านเท่ากันหรือไม่

ดูคำตอบ

ไม่เท่ากัน แม้ขนาดเท่ากัน ทิศทางกลับกันจึงเป็นเวกเตอร์ตรงข้าม ผลบวกเป็นเวกเตอร์ศูนย์

บวกแบบหางต่อหัวและแบบสี่เหลี่ยมด้านขนาน

การบวกเวกเตอร์เลียนแบบการเดินสองช่วงต่อกัน วิธีแรกคือหางต่อหัว วางหางของ v\mathbf v ที่หัวของ u\mathbf u แล้วลากลูกศรจากหางของ u\mathbf u ไปหัวของ v\mathbf v ลูกศรนั้นคือ u+v\mathbf u+\mathbf v เขียนเป็นจุดได้ว่า AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}

วิธีที่สองคือสี่เหลี่ยมด้านขนาน ใช้เมื่อเวกเตอร์ทั้งสองเริ่มที่จุดเดียวกัน เช่นแรงสองแรงดึงวัตถุชิ้นเดียว สร้างสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มี u\mathbf u และ v\mathbf v เป็นด้านประชิด เส้นทแยงมุมจากจุดนั้นคือ u+v\mathbf u+\mathbf v ได้คำตอบเดียวกับวิธีแรก เพราะด้านตรงข้ามคือ v\mathbf v ที่เลื่อนไปต่อหัวของ u\mathbf u

uvu + vuvu + v
ซ้าย หางต่อหัว ขวา สี่เหลี่ยมด้านขนาน ผลบวกคือลูกศรสีส้ม

เวกเตอร์บวกสลับที่ได้ เพราะสี่เหลี่ยมด้านขนานมีเส้นทแยงมุมเดียวกันไม่ว่าเลือกเดินด้านใดก่อน และบวกเปลี่ยนหมู่ได้เพราะจุดปลายไม่เปลี่ยนเมื่อแบ่งเส้นทางเป็นกลุ่มต่างกัน อย่างไรก็ตามการเปลี่ยนลำดับเส้นทางจริงอาจทำให้ผ่านคนละสถานที่หรือใช้เวลาต่างกัน เวกเตอร์เก็บเพียงการเปลี่ยนตำแหน่ง ไม่เก็บรายละเอียดทั้งหมดของการเดินทาง

ตัวอย่าง 3

นักเรียนเดินตะวันออก 55 เมตร เหนือ 22 เมตร แล้วตะวันตก 11 เมตร เทียบกับเดินตะวันออก 44 เมตรแล้วเหนือ 22 เมตร

  1. บวกเปลี่ยนหมู่และสลับที่ได้ จึงจับช่วงที่อยู่แนวเดียวกันมารวมก่อน ตะวันตก 11 เมตรคือนิเสธของตะวันออก 11 เมตร เหลือตะวันออก 5−1=45-1=4 เมตร และเหนือ 22 เมตร
  2. สองเส้นทางจึงให้การกระจัดเดียวกัน ขนาด 42+22=20=25\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt5 เมตร
  3. เส้นทางแรกเดินรวม 5+2+1=85+2+1=8 เมตร แต่เส้นทางหลังเดิน 66 เมตร จึงไม่ใช่ระยะเดินเดียวกัน

ตัวอย่าง 4

เรือข้ามแม่น้ำกว้าง 4040 เมตร หัวเรือชี้ตรงไปฝั่งตรงข้ามด้วยความเร็ว 44 เมตรต่อวินาทีเทียบกับน้ำ กระแสน้ำไหลขนานตลิ่งด้วยความเร็ว 33 เมตรต่อวินาที เรือเคลื่อนที่จริงด้วยความเร็วเท่าไร และขึ้นฝั่งห่างจากจุดตรงข้ามกี่เมตร

  1. เรือได้รับความเร็วสองอย่างพร้อมกัน จึงบวกแบบสี่เหลี่ยมด้านขนาน ซึ่งในที่นี้เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าเพราะสองเวกเตอร์ตั้งฉากกัน
  2. ขนาดของความเร็วรวมคือเส้นทแยงมุม 42+32=5\sqrt{4^2+3^2}=5 เมตรต่อวินาที ทิศเบนจากแนวหัวเรือไปตามน้ำเป็นมุม θ\theta ที่ tan⁡θ=34\tan\theta=\tfrac34 หรือราว 36.936.9 องศา
  3. เวลาข้ามขึ้นกับส่วนที่ตั้งฉากกับตลิ่งเท่านั้น คือ 40÷4=1040\div4=10 วินาที ระหว่างนั้นน้ำพาเรือไปตามตลิ่ง 3×10=303\times10=30 เมตร

ลองคิดก่อน

ขนาดของ u+v\mathbf u+\mathbf v เท่ากับ ∥u∥+∥v∥\|\mathbf u\|+\|\mathbf v\| เสมอหรือไม่

ดูคำตอบ

ไม่เสมอ ตัวอย่างที่ 1 มี ∥u∥=3\|\mathbf u\|=3 และ ∥v∥=4\|\mathbf v\|=4 แต่ผลบวกยาว 55 ไม่ใช่ 77 ผลบวกเป็นด้านที่สามของสามเหลี่ยม ซึ่งสั้นกว่าผลบวกของอีกสองด้าน จะเท่ากันพอดีเมื่อ u\mathbf u กับ v\mathbf v ชี้ทิศเดียวกันเท่านั้น

การลบคือบวกนิเสธ

u−v\mathbf u-\mathbf v หมายถึง u+(−v)\mathbf u+(-\mathbf v) กลับทิศ v\mathbf v แล้วบวกด้วยหางต่อหัว อีกวิธีที่เร็วกว่าคือวางหางของ u\mathbf u และ v\mathbf v ที่จุดเดียวกัน แล้ว u−v\mathbf u-\mathbf v คือลูกศรจากหัวของ v\mathbf v ไปหัวของ u\mathbf u ตรวจได้จาก v+(u−v)=u\mathbf v+(\mathbf u-\mathbf v)=\mathbf u คือเดินตาม v\mathbf v ก่อนแล้วเดินต่ออีกช่วงต้องถึงหัวของ u\mathbf u

ผลที่ใช้บ่อย ถ้าตั้งจุด OO เป็นจุดอ้างอิง จะได้ AB→=OB→−OA→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} เพราะ OA→+AB→=OB→\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB} นี่คือที่มาของพิกัดปลายลบพิกัดต้นในหน้า 41.2

ลองคิดก่อน

เพื่อนวาด u\mathbf u กับ v\mathbf v ให้หางชนกัน แล้วบอกว่า u−v\mathbf u-\mathbf v คือลูกศรจากหัวของ u\mathbf u ไปหัวของ v\mathbf v ถูกไหม

ดูคำตอบ

ไม่ถูก ลูกศรนั้นคือ v−u\mathbf v-\mathbf u ซึ่งเป็นนิเสธของคำตอบ ลองตรวจด้วยการบวก เดินตาม u\mathbf u ไปถึงหัวของ u\mathbf u แล้วเดินตามลูกศรของเพื่อนจะไปถึงหัวของ v\mathbf v แปลว่า u\mathbf u บวกลูกศรของเพื่อนได้ v\mathbf v ลูกศรที่ถูกต้องต้องชี้เข้าหาหัวของตัวตั้ง u\mathbf u

คูณด้วยจำนวนจริง

kuk\mathbf u ยาว ∣k∣|k| เท่าของเดิม ถ้า kk บวกทิศเดิม ถ้า kk ลบทิศกลับ และ 0u=00\mathbf u=\mathbf 0 การวาดต้องแยกตำแหน่งลูกศรออกจากเวกเตอร์ที่ลูกศรแทน สมบัติแจกแจง k(u+v)=ku+kvk(\mathbf u+\mathbf v)=k\mathbf u+k\mathbf v เป็นจริง เพราะขยายสามเหลี่ยมหางต่อหัวทั้งรูปด้วยอัตราส่วน kk ได้สามเหลี่ยมคล้าย

เวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ u\mathbf u และ v\mathbf v ขนานกันก็ต่อเมื่อมีจำนวนจริง kk ที่ v=ku\mathbf v=k\mathbf u ใช้พิสูจน์ว่าเส้นตรงขนานกันโดยไม่ต้องวัดมุม

ตัวอย่าง 5

เวกเตอร์ u\mathbf u ยาว 66 หน่วยชี้เหนือ จงบอก −12u-\tfrac12\mathbf u และ 3u3\mathbf u

  1. ขนาดของ −12u-\tfrac12\mathbf u คูณด้วยค่าสัมบูรณ์ 12\tfrac12 จึงยาว 33 หน่วย เครื่องหมายลบกลับทิศ จึงชี้ใต้
  2. 3u3\mathbf u ยาว 3×6=183\times6=18 หน่วย ตัวคูณบวกจึงชี้เหนือเหมือนเดิม
  3. ทั้งสองเป็นตัวคูณของ u\mathbf u จึงขนานกับ u\mathbf u แม้ทิศจะต่างกัน คำว่าขนานในเรื่องเวกเตอร์รวมทั้งทิศเดียวกันและทิศตรงข้าม

พิสูจน์เรขาคณิตด้วยเวกเตอร์

หลักคือเขียนเวกเตอร์ที่ต้องการด้วยเส้นทางที่ผ่านจุดที่รู้ แล้วจัดรูปให้เป็นตัวคูณของเวกเตอร์อีกตัว

ABCMN
M และ N เป็นจุดกึ่งกลางของ AB และ AC เส้นสีส้มขนานกับ BC และยาวครึ่งหนึ่ง

ตัวอย่าง 6

สามเหลี่ยม ABCABC มี MM เป็นจุดกึ่งกลางของ ABAB และ NN เป็นจุดกึ่งกลางของ ACAC จงพิสูจน์ว่า MNMN ขนานกับ BCBC และยาวครึ่งหนึ่งของ BCBC ถ้า BCBC ยาว 1010 เซนติเมตร MNMN ยาวเท่าไร

  1. เดินจาก MM ไป NN โดยผ่าน AA ได้ MN→=MA→+AN→\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN} เลือกผ่าน AA เพราะเป็นจุดที่รู้ความสัมพันธ์กับทั้ง MM และ NN
  2. MM อยู่กึ่งกลาง ABAB จึงได้ MA→=12BA→\overrightarrow{MA}=\tfrac12\overrightarrow{BA} และ NN อยู่กึ่งกลาง ACAC จึงได้ AN→=12AC→\overrightarrow{AN}=\tfrac12\overrightarrow{AC}
  3. แทนค่าแล้วดึงตัวร่วม MN→=12(BA→+AC→)=12BC→\overrightarrow{MN}=\tfrac12\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)=\tfrac12\overrightarrow{BC} ขั้นสุดท้ายใช้หางต่อหัว เดิน BB ไป AA แล้ว AA ไป CC เท่ากับเดิน BB ไป CC
  4. MN→\overrightarrow{MN} เป็นตัวคูณบวกของ BC→\overrightarrow{BC} จึงขนานและชี้ทางเดียวกัน ส่วนความยาวเป็นครึ่งหนึ่ง ถ้า BC=10BC=10 เซนติเมตร จะได้ MN=5MN=5 เซนติเมตร

ตรวจวิธีคิด

ถ้าโจทย์ถามระยะเดิน ให้รวมความยาวทุกช่วง ถ้าถามการกระจัด ให้รวมลูกศรแล้วหาขนาด ไม่เปลี่ยนคำถามทั้งสองให้เป็นคำถามเดียวกัน ลองย้อนเส้นทางทั้งหมดจะได้เวกเตอร์ตรงข้ามและระยะเดินเท่าเดิม

สรุป

  • เวกเตอร์เท่ากันเมื่อขนาดและทิศเท่ากัน ไม่สนจุดเริ่ม
  • บวกด้วยหางต่อหัวหรือสี่เหลี่ยมด้านขนาน และลบด้วยการบวกเวกเตอร์ตรงข้าม
  • ขนาดการกระจัดไม่จำเป็นต้องเท่าระยะเดิน
  • สเกลาร์ลบเปลี่ยนทั้งขนาดและทิศ เวกเตอร์ขนานกันเมื่อเป็นตัวคูณของกัน
  • AB→=OB→−OA→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}

ถ้าทิศไม่ใช่ทิศหลักอย่างเหนือหรือตะวันออก การวัดรูปจะไม่แม่น หน้าถัดไปใส่พิกัดให้ลูกศร แล้วการบวก ลบ และคูณกลายเป็นการคำนวณทีละแกน รวมทั้งในสามมิติ