42.4 รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน

ถ้าถามว่าจำนวนใดยกกำลังสามได้ $8$ เกือบทุกคนตอบ $2$ ทันที แต่ลองกระจาย $(-1 + \sqrt{3}i)^3$ ดู จะได้ $8$ เหมือนกัน สมการ $z^3 = 8$ จึงมีคำตอบมากกว่าหนึ่งตัว คำตอบที่ซ่อนอยู่ไม่ได้อยู่บนแกนจริง คนที่หาแค่ในจำนวนจริงจึงมองไม่เห็น

จำนวนหนึ่งมักมีรากหลายตัว เมื่อยกกำลัง มุมที่ต่างกันอาจหมุนมาทับกัน การหารากจึงต้องย้อนกลับให้ครบทุกทิศ ไม่หยุดที่รากจริงตัวเดียว หน้านี้จะย้อนทฤษฎีบทเดอมัวฟวร์จากหน้า 42.3 เพื่อหารากทั้งหมด แล้วดูว่ารากเหล่านั้นเรียงตัวบนระนาบเป็นรูปที่สวยงามเสมอ

ย้อนทฤษฎีบทเดอมัวฟวร์

ต้องการแก้ $z^n = w$ เมื่อ $w = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ ไม่เป็นศูนย์ ให้คำตอบมีรูป $z = s(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ ทฤษฎีบทเดอมัวฟวร์ให้ $z^n = s^n(\cos n\varphi + i\sin n\varphi)$ ต้องเท่ากับ $w$ จึงเทียบได้สองเรื่อง

ขนาดต้องเท่ากัน $s^n = r$ และ $s$ เป็นจำนวนจริงบวก จึงได้ $s = r^{1/n}$ ค่าเดียว ส่วนมุมไม่จำเป็นต้องเท่ากันเป๊ะ เพราะมุมที่ต่างกันเป็นจำนวนเต็มเท่าของ $2\pi$ ชี้ไปทางเดียวกัน จึงได้ $n\varphi = \theta + 2k\pi$ เมื่อ $k$ เป็นจำนวนเต็ม หารด้วย $n$ ได้ $\varphi = \dfrac{\theta + 2k\pi}{n}$ ตรงนี้คือที่มาของรากหลายตัว รอบเต็มที่เติมเข้าไปก่อนหาร เมื่อหารด้วย $n$ แล้วกลายเป็นมุมที่ไม่ใช่รอบเต็มอีกต่อไป จึงได้จุดใหม่

รากอยู่บนวงกลมรัศมี $r^{1/n}$ และห่างกันมุม $2\pi/n$ การเติมรอบเต็มก่อนหารด้วย $n$ คือเหตุผลที่ได้หลายราก ถ้าใส่ $k=n$ จะย้อนมาซ้ำตัวแรก เพราะมุมเพิ่มขึ้น $\tfrac{2n\pi}{n} = 2\pi$ พอดี จำนวนไม่เป็นศูนย์ทุกตัวจึงมีรากที่ $n$ ต่างกันพอดี $n$ ตัว

รากเรียงเป็นรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่า

รากทุกตัวมีขนาดเท่ากัน จึงอยู่บนวงกลมเดียวกัน และมุมห่างกันทีละ $\tfrac{2\pi}{n}$ เท่ากันหมด จุดทั้ง $n$ จุดจึงแบ่งวงกลมเป็น $n$ ส่วนเท่ากัน ลากเส้นเชื่อมแล้วได้รูป $n$ เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าเสมอ รากที่สามเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า รากที่สี่เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ตัวอย่าง 4 เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มุมอยู่บนเส้นทแยง $y = x$ และ $y = -x$

ข้อสังเกตจากกราฟ เมื่อ $n$ มากขึ้นรัศมี $r^{1/n}$ เข้าใกล้ $1$ เสมอ ไม่ว่า $|w|$ เป็นเท่าไร และเมื่อมุมของ $w$ เพิ่มขึ้น $\Delta$ รากแรกหมุนเพิ่มแค่ $\tfrac{\Delta}{n}$ เพราะมุมถูกหารด้วย $n$

รากของหนึ่ง

รากของหนึ่งแสดงโครงสร้างที่เห็นง่าย ทุกจุดอยู่บนวงกลมหนึ่งหน่วยและเว้นมุมเท่ากัน หนึ่งในนั้นคือ $1$ เองเสมอ จุดที่อยู่ตรงข้ามอาจจับคู่หักล้างกัน เมื่อทราบรากหนึ่งแล้ว การหมุนเพิ่มสองพายหารด้วย n จะพาไปหารากถัดไป การตรวจว่าครบทุกตัวต้องนับจุดต่างกันให้ครบ n ไม่ใช่นับจำนวนครั้งที่เขียนสูตร

สรุป

• แก้ $z^n = w$ โดยเทียบขนาด $s^n = r$ และมุม $n\varphi = \theta + 2k\pi$
• จำนวนไม่เป็นศูนย์มีรากที่ n ต่างกัน n ตัว ใช้ $k = 0, 1, \ldots, n - 1$
• เติมมุมรอบเต็มก่อนหาร ห้ามคงมุมเดิมไว้แล้วถอดรากแค่ขนาด
• รากทั้งหมดอยู่บนวงกลมรัศมี $r^{1/n}$ ห่างกันทีละ $\tfrac{2\pi}{n}$ เป็นรูป $n$ เหลี่ยมด้านเท่า
• ตรวจด้วยการยกกำลังกลับและตรวจว่าไม่ซ้ำ

สมการ $z^n = w$ เป็นพหุนามแบบที่ง่ายที่สุด หน้าถัดไปจะดูพหุนามทั่วไปที่มีสัมประสิทธิ์จริง แล้วจะเห็นว่ารากที่ไม่จริงมาเป็นคู่เสมอ