descartesclytie0x/descartes-math-platform
บทที่ 23 สมการกำลังสองตัวแปรเดียวตรงกับหนังสือ ม.3 เล่ม 1 บทที่ 3

23.2 การทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์

ลองแก้ x2+4x−1=0x^2 + 4x - 1 = 0 ด้วยวิธีของหน้าที่แล้ว ต้องหาสองจำนวนเต็มที่คูณกันได้ −1-1 และบวกกันได้ 44 จำนวนเต็มที่คูณกันได้ −1-1 มีแค่ 11 กับ −1-1 ซึ่งบวกกันได้ 00 จึงแยกตัวประกอบด้วยจำนวนเต็มไม่ได้ แต่สมการนี้มีคำตอบจริงๆ หน้านี้จะหาคำตอบนั้นด้วยรากที่สองจากบทที่ 11

สมการ x² = k

สมการ x2=9x^2 = 9 ถามว่าจำนวนอะไรยกกำลังสองได้ 99 คำตอบมีสองตัวคือ 33 กับ −3-3 เพราะ (−3)2=9(-3)^2 = 9 ด้วย ถ้าตอบแค่ 33 จะได้คำตอบไม่ครบ

สมบัติของรากที่สอง

สำหรับสมการ x2=kx^2 = k

  • ถ้า k>0k > 0 ได้ x=kx = \sqrt{k} หรือ x=−kx = -\sqrt{k} เขียนย่อเป็น x=±kx = \pm\sqrt{k}
  • ถ้า k=0k = 0 ได้ x=0x = 0 เพียงคำตอบเดียว
  • ถ้า k<0k < 0 สมการไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง เพราะจำนวนจริงยกกำลังสองแล้วไม่มีทางติดลบ

ตัวอย่าง 1

แก้สมการ (1) x2=16x^2 = 16 (2) x2=7x^2 = 7 (3) 2x2−10=02x^2 - 10 = 0 (4) x2+4=0x^2 + 4 = 0

  1. x2=16x^2 = 16 ได้ x=±4x = \pm 4
  2. 77 ไม่ใช่กำลังสองของจำนวนเต็ม คำตอบจึงเขียนด้วยเครื่องหมายราก x=±7x = \pm\sqrt{7} ไม่ต้องแปลงเป็นทศนิยม
  3. จัดให้ x2x^2 อยู่ตัวเดียวก่อน 2x2=102x^2 = 10 หารด้วย 22 ได้ x2=5x^2 = 5 จึงได้ x=±5x = \pm\sqrt{5}
  4. x2=−4x^2 = -4 ไม่มีจำนวนจริงใดยกกำลังสองแล้วได้ −4-4 สมการนี้จึงไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง

สมการ (x + p)² = q

ใช้หลักเดียวกันได้ ถ้าสิ่งที่ยกกำลังสองเป็นวงเล็บทั้งก้อน ให้ถอดรากที่สองทั้งก้อนก่อน แล้วค่อยย้ายข้าง

ตัวอย่าง 2

แก้สมการ (1) (x−3)2=25(x - 3)^2 = 25 (2) (x+2)2=6(x + 2)^2 = 6

  1. (x−3)2=25(x - 3)^2 = 25 ได้ x−3=5x - 3 = 5 หรือ x−3=−5x - 3 = -5
  2. จึงได้ x=8x = 8 หรือ x=−2x = -2
  3. (x+2)2=6(x + 2)^2 = 6 ได้ x+2=±6x + 2 = \pm\sqrt{6}
  4. ย้าย 22 ไปอีกข้าง x=−2+6x = -2 + \sqrt{6} หรือ x=−2−6x = -2 - \sqrt{6}

อย่าลืม ±

ทุกครั้งที่ถอดรากที่สองเพื่อแก้สมการ ต้องเขียน ±\pm เสมอ คำตอบที่หายบ่อยที่สุดในบทนี้คือคำตอบที่มาจากเครื่องหมายลบ

เติมให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์

ถ้าเปลี่ยน x2+4x−1=0x^2 + 4x - 1 = 0 ให้อยู่ในรูป (x+p)2=q(x + p)^2 = q ได้ ก็แก้ได้ด้วยวิธีข้างบน เครื่องมือคือการเติม x2+bxx^2 + bx ให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์จากหน้า 20.3

ดูรูปของ x2+6xx^2 + 6x เป็นพื้นที่ ตัด 6x6x เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาด 3×x3 \times x สองแผ่น วางติดสองด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัส x2x^2 จะเหลือมุมที่ขาดไปขนาด 3×33 \times 3

x²3x3x9x3x3
x2+6xx^2 + 6x ขาดมุม 3×33 \times 3 เติม 99 แล้วได้สี่เหลี่ยมจัตุรัสด้าน x+3x + 3 คือ x2+6x+9=(x+3)2x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2

ค่าที่ต้องเติมคือครึ่งหนึ่งของสัมประสิทธิ์ของ xx แล้วยกกำลังสอง คือ (b2)2\left(\tfrac{b}{2}\right)^2 สิ่งที่ต่างจากบทที่ 20 คือตอนนี้เป็นสมการ เติมอะไรข้างหนึ่งต้องเติมอีกข้างด้วย สมการจึงยังเป็นจริง

ขั้นตอนแก้ x2+bx+c=0x^2 + bx + c = 0

  1. ย้ายค่าคงตัว cc ไปอีกข้าง
  2. เติม (b2)2\left(\tfrac{b}{2}\right)^2 ทั้งสองข้าง
  3. เขียนข้างซ้ายเป็น (x+b2)2\left(x + \tfrac{b}{2}\right)^2
  4. ถอดรากที่สอง อย่าลืม ±\pm แล้วย้ายข้าง

ตัวอย่าง 3

แก้สมการ x2+4x−1=0x^2 + 4x - 1 = 0

  1. ย้าย −1-1 ไปข้างขวา x2+4x=1x^2 + 4x = 1
  2. ครึ่งหนึ่งของ 44 คือ 22 ยกกำลังสองได้ 44 เติม 44 ทั้งสองข้าง x2+4x+4=1+4x^2 + 4x + 4 = 1 + 4
  3. (x+2)2=5(x + 2)^2 = 5
  4. x+2=±5x + 2 = \pm\sqrt{5} จึงได้ x=−2+5x = -2 + \sqrt{5} หรือ x=−2−5x = -2 - \sqrt{5}

ถ้าต้องการค่าประมาณ ใช้ 5≈2.236\sqrt{5} \approx 2.236 จะได้ x≈0.24x \approx 0.24 หรือ x≈−4.24x \approx -4.24 แต่ถ้าโจทย์ไม่ได้สั่ง ให้ตอบในรูปที่มีเครื่องหมายรากซึ่งเป็นค่าที่แท้จริง

ตัวอย่าง 4

แก้สมการ x2−8x+13=0x^2 - 8x + 13 = 0

  1. ย้ายค่าคงตัว x2−8x=−13x^2 - 8x = -13
  2. ครึ่งหนึ่งของ −8-8 คือ −4-4 ยกกำลังสองได้ 1616 เติมทั้งสองข้าง x2−8x+16=−13+16x^2 - 8x + 16 = -13 + 16
  3. (x−4)2=3(x - 4)^2 = 3
  4. x−4=±3x - 4 = \pm\sqrt{3} จึงได้ x=4±3x = 4 \pm \sqrt{3}

ลองคิดก่อน

แก้ x2+8x=5x^2 + 8x = 5 เพื่อนเติม 1616 ข้างซ้ายได้ (x+4)2=5(x + 4)^2 = 5 แล้วตอบ x=−4±5x = -4 \pm \sqrt{5} ผิดตรงไหน

ดูคำตอบ

เพื่อนเติม 1616 แค่ข้างซ้าย สมการจึงไม่เท่ากันแล้ว ต้องเติมทั้งสองข้าง x2+8x+16=5+16x^2 + 8x + 16 = 5 + 16 ได้ (x+4)2=21(x + 4)^2 = 21 คำตอบที่ถูกคือ x=−4±21x = -4 \pm \sqrt{21}

ตรวจได้ด้วยการกระจาย (x+4)2=5(x + 4)^2 = 5 กลับ ได้ x2+8x+16=5x^2 + 8x + 16 = 5 คือ x2+8x=−11x^2 + 8x = -11 ไม่ใช่สมการเดิม

เมื่อ a ไม่เท่ากับ 1

การเติม (b2)2\left(\tfrac{b}{2}\right)^2 ใช้ได้เมื่อสัมประสิทธิ์ของ x2x^2 เป็น 11 ถ้าไม่ใช่ ให้หารทั้งสมการด้วย aa ก่อน หารได้เพราะ aa เป็นตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์ ไม่ใช่ตัวแปร

ตัวอย่าง 5

แก้สมการ 2x2+12x+8=02x^2 + 12x + 8 = 0

  1. หารทั้งสมการด้วย 22 ได้ x2+6x+4=0x^2 + 6x + 4 = 0
  2. ย้ายค่าคงตัว x2+6x=−4x^2 + 6x = -4
  3. เติม 99 ทั้งสองข้าง ตามรูปข้างบน x2+6x+9=5x^2 + 6x + 9 = 5
  4. (x+3)2=5(x + 3)^2 = 5 ได้ x=−3±5x = -3 \pm \sqrt{5}

เมื่อสมการไม่มีคำตอบ

ตัวอย่าง 6

แก้สมการ x2+2x+5=0x^2 + 2x + 5 = 0

  1. ย้ายค่าคงตัว x2+2x=−5x^2 + 2x = -5
  2. เติม 11 ทั้งสองข้าง x2+2x+1=−4x^2 + 2x + 1 = -4
  3. (x+1)2=−4(x + 1)^2 = -4 ข้างซ้ายเป็นกำลังสองซึ่งติดลบไม่ได้ แต่ข้างขวาเป็น −4-4
  4. สมการนี้จึงไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง

สรุป

  • x2=kx^2 = k ได้ x=±kx = \pm\sqrt{k} เมื่อ k>0k > 0 ได้ x=0x = 0 เมื่อ k=0k = 0 และไม่มีคำตอบเมื่อ k<0k < 0
  • ถอดรากที่สองเมื่อไร ต้องมี ±\pm เสมอ
  • ทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ ย้ายค่าคงตัว เติม (b2)2\left(\tfrac{b}{2}\right)^2 ทั้งสองข้าง แล้วถอดราก
  • ถ้า a≠1a \neq 1 หารทั้งสมการด้วย aa ก่อน
  • ถ้าได้ (x+p)2(x + p)^2 เท่ากับจำนวนลบ สมการไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง