37.3 สมการและอสมการเอกซ์โพเนนเชียล

ยอดคงเหลือต้องลดต่ำกว่าครึ่งหนึ่งหลังผ่านไปกี่รอบ คำถามนี้เป็นอสมการของกำลัง การเปรียบเทียบเลขชี้กำลังต้องดูว่าฐานทำให้ฟังก์ชันเพิ่มหรือลด

สมมติว่ายาตัวหนึ่งในกระแสเลือดถูกร่างกายกำจัดออกไป $20\%$ ทุกชั่วโมง ปริมาณที่เหลือจึงคูณด้วย $0.8$ ทุกชั่วโมง ถ้าเริ่มที่ $D_0$ หลัง $t$ ชั่วโมงจะเหลือ $D_0(0.8)^t$ คำถามว่าเมื่อไรยาจะเหลือน้อยกว่าครึ่ง คือการแก้ $(0.8)^t$ น้อยกว่า $0.5$ ตัวไม่รู้อยู่บนเลขชี้กำลัง และฐานน้อยกว่าหนึ่ง หน้านี้รวบรวมวิธีแก้โจทย์แบบนี้ทั้งที่เป็นสมการและอสมการ แล้วจะกลับมาตอบเรื่องยาท้ายหน้า

ทำฐานเดียวกัน

เพราะ $a^x$ เป็นหนึ่งต่อหนึ่ง เมื่อ $a^u=a^v$ จะได้ $u=v$ สำหรับฐานบวกที่ไม่เป็นหนึ่ง ถ้าทำฐานเดียวกันไม่ได้ ใช้ลอการิทึมทั้งสองข้างโดยต้องมีค่าบวก

คำว่าหนึ่งต่อหนึ่งมาจากหน้า 36.5 ดูได้จากกราฟในหน้า 37.1 กราฟ $y = a^x$ เพิ่มตลอดหรือลดตลอด เส้นแนวนอนหนึ่งเส้นจึงตัดกราฟได้ไม่เกินหนึ่งจุด ถ้าสองเลขชี้กำลังให้ค่าเท่ากัน ก็ต้องเป็นเลขชี้กำลังเดียวกัน ฐานหนึ่งใช้หลักนี้ไม่ได้ เพราะ $1^2 = 1^5$ แต่ $2 \neq 5$

วิธีทำจึงมีสามขั้น ขั้นแรกเขียนทั้งสองข้างเป็นกำลังของฐานเดียวกัน ขั้นสองตัดฐานออกแล้วตั้งสมการของเลขชี้กำลัง ขั้นสามแก้สมการพีชคณิตที่ได้ ตัวเลขอย่าง $4$ $8$ $16$ $32$ เป็นกำลังของ $2$ ส่วน $9$ $27$ $81$ เป็นกำลังของ $3$ ควรจำไว้เพราะเจอบ่อย

ตัวอย่าง 1

แก้สมการ $9^{x+1}=27^x$

$9$ กับ $27$ ไม่ใช่ฐานเดียวกัน แต่เป็นกำลังของ $3$ ทั้งคู่ เขียน $9 = 3^2$ และ $27 = 3^3$
ใช้กฎกำลังซ้อนจากบทที่ 14 $(3^2)^{x+1} = 3^{2x+2}$ และ $(3^3)^x = 3^{3x}$ สมการกลายเป็น $3^{2x+2} = 3^{3x}$
ฐานเท่ากันและเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง จึงได้ $2x+2 = 3x$ หรือ $x = 2$
ตรวจ $9^3 = 729$ และ $27^2 = 729$ เท่ากันจริง

ตัวอย่าง 2

แก้สมการ $3^x = 20$ ตอบเป็นทศนิยมสองตำแหน่ง

$20$ ไม่ใช่กำลังของ $3$ ที่เป็นจำนวนตรรกยะ ทำฐานเดียวกันไม่ได้ จึงใช้ลอการิทึม
สองข้างเป็นบวก ใส่ $\log$ ทั้งสองข้างได้ $\log 3^x = \log 20$ แล้วย้ายกำลังลงมาตามหน้า 37.2 ได้ $x \log 3 = \log 20$
ได้ $x = \dfrac{\log 20}{\log 3}$ ประมาณ $\dfrac{1.3010}{0.4771}$ ซึ่งประมาณ $2.73$
ตรวจความสมเหตุสมผล $3^2 = 9$ และ $3^3 = 27$ ส่วน $20$ อยู่ระหว่างสองค่านี้ คำตอบจึงต้องอยู่ระหว่าง $2$ กับ $3$ ตรงกัน

อสมการต้องดูทิศของฐาน

เมื่อ $a>1$ จาก $a^u>a^v$ ได้ $u>v$ แต่เมื่อ $0<a<1$ ได้ $u<v$ เพราะฟังก์ชันลด กฎกลับทิศนี้เกิดจากลำดับค่า ไม่ใช่การคูณด้วยจำนวนลบ

กราฟ

y = \left(\tfrac{1}{3}\right)^x

ลดตลอด เลขชี้กำลังยิ่งมาก ค่ายิ่งน้อย

ดูจากรูป เลขชี้กำลัง $-1$ น้อยกว่า $1$ แต่ $\left(\tfrac{1}{3}\right)^{-1} = 3$ มากกว่า $\left(\tfrac{1}{3}\right)^{1} = \tfrac{1}{3}$ ลำดับของค่ากลับกับลำดับของเลขชี้กำลัง ถ้าฐานมากกว่าหนึ่ง กราฟเพิ่ม ลำดับจะเหมือนกัน ก่อนตัดฐานทิ้งในอสมการจึงต้องถามตัวเองทุกครั้งว่าฐานมากกว่าหนึ่งหรือน้อยกว่าหนึ่ง

ตัวอย่าง 3

แก้ $(1/3)^{2x-1}\ge(1/3)^5$

ฐานเหมือนกันแล้วคือ $\tfrac{1}{3}$ ซึ่งอยู่ระหว่างศูนย์กับหนึ่ง ฟังก์ชันลด จึงกลับทิศเมื่อเทียบเลขชี้กำลัง
ค่าทางซ้ายมากกว่าหรือเท่ากับค่าทางขวา แปลว่าเลขชี้กำลังทางซ้ายต้องน้อยกว่าหรือเท่ากับ ได้ $2x-1\le5$
แก้แบบอสมการเชิงเส้นในบทที่ 21 ได้ $2x \le 6$ แล้ว $x\le3$
ตรวจด้วยค่าหนึ่งค่า $x = 0$ ทางซ้ายได้ $(1/3)^{-1} = 3$ มากกว่า $(1/3)^5$ จริง ตรงกับคำตอบที่บอกว่า $x = 0$ ใช้ได้

ลองคิดก่อน

เพื่อนแก้ $2^{x} > \tfrac{1}{8}$ โดยเขียน $\tfrac{1}{8} = 2^{-3}$ แล้วตอบ $x < -3$ เพราะคิดว่ามีจำนวนลบเข้ามาจึงต้องกลับทิศ ถูกไหม

ดูคำตอบ

ไม่ถูก การกลับทิศขึ้นกับฐาน ไม่ได้ขึ้นกับว่ามีเลขลบในเลขชี้กำลังหรือเปล่า ฐาน $2$ มากกว่าหนึ่ง ฟังก์ชันเพิ่ม จึงได้ $x > -3$ ตรวจด้วย $x = 0$ ได้ $2^0 = 1$ มากกว่า $\tfrac{1}{8}$ จริง แต่ $0$ ไม่อยู่ในคำตอบ $x < -3$ ของเพื่อน

สมการลอการิทึม

เริ่มด้วยโดเมนของทุกอาร์กิวเมนต์ จากนั้นรวมลอการิทึมหรือเปลี่ยนเป็นกำลัง แล้วแก้สมการพีชคณิต สุดท้ายแทนกลับในโดเมนเดิม การรวมสองลอการิทึมเป็นผลคูณอาจทำให้ได้รากเกินที่อาร์กิวเมนต์ทั้งคู่ติดลบ จึงข้ามการตรวจไม่ได้

เหตุที่ได้รากเกินเป็นเรื่องเดียวกับท้ายหน้า 37.2 นิพจน์ $\log_2(x-1)+\log_2(x+1)$ ต้องการให้ $x - 1$ และ $x + 1$ บวกทั้งคู่ แต่ $\log_2\big((x-1)(x+1)\big)$ ต้องการแค่ผลคูณบวก ซึ่งเกิดได้ทั้งตอนที่สองตัวบวกและตอนที่สองตัวลบ สมการหลังรวมจึงมีโดเมนกว้างกว่าเดิม และอาจมีคำตอบที่สมการเดิมไม่ยอมรับ

ตัวอย่าง 4

แก้ $\log_2(x-1)+\log_2(x+1)=3$

โดเมน ต้องมี $x - 1 > 0$ และ $x + 1 > 0$ พร้อมกัน จึงได้ $x>1$ เขียนเงื่อนไขนี้ไว้ก่อนทำอย่างอื่น
รวมเป็นลอการิทึมของผลคูณ $\log_2(x^2-1)=3$ แล้วเปลี่ยนเป็นรูปกำลังตามนิยาม ได้ $x^2-1=2^3 = 8$
ได้ $x^2 = 9$ จึงมี $x=\pm3$ แต่ผ่านโดเมนเพียง $x=3$
ตรวจในสมการเดิม $\log_2 2+\log_2 4 = 1 + 2 = 3$ ถูกต้อง ส่วน $x = -3$ ทำให้ได้ $\log_2(-4)$ ซึ่งไม่นิยาม

ลองคิดก่อน

แก้ลอการิทึมแล้วได้ $x=-3$ ควรรับถ้าสมการหลังรวมถูกไหม

ดูคำตอบ

ต้องตรวจสมการเดิมก่อน การแปลงที่ทำให้เงื่อนไขหายอาจเพิ่มคำตอบเกิน โดยเฉพาะอาร์กิวเมนต์ติดลบ ในตัวอย่างข้างบน $x = -3$ ทำให้สมการหลังรวม $\log_2 8 = 3$ เป็นจริง แต่สมการเดิมมี $\log_2(-4)$ ซึ่งไม่มีความหมาย คำตอบของโจทย์คือคำตอบของสมการเดิม ไม่ใช่ของสมการที่เราแปลงเอง

อสมการลอการิทึมใช้หลักเดียวกับอสมการเอกซ์โพเนนเชียล คือดูทิศของฐาน แต่ต้องรวมเงื่อนไขโดเมนเข้าไปในคำตอบด้วย

ตัวอย่าง 5

แก้ $\log_2(x-3)\le 2$

โดเมน $x - 3 > 0$ จึงได้ $x > 3$
เขียนเลข $2$ ทางขวาเป็นลอการิทึมฐานเดียวกัน $2 = \log_2 4$ อสมการกลายเป็น $\log_2(x-3) \le \log_2 4$
ฐาน $2$ มากกว่าหนึ่ง ฟังก์ชันลอการิทึมเพิ่ม ทิศเดิม ได้ $x - 3 \le 4$ หรือ $x \le 7$
รวมกับโดเมน คำตอบคือ $3 < x \le 7$ ถ้าลืมขั้นที่ 1 จะตอบ $x \le 7$ ซึ่งรวมค่าอย่าง $x = 0$ ที่ทำให้อาร์กิวเมนต์ติดลบ

สมการกำลังที่เป็นกำลังสองของตัวใหม่

ถ้ามี $a^{2x}$ กับ $a^x$ พร้อมกัน สามารถตั้งตัวแปรแทนเพื่อแก้พหุนามได้ แต่ตัวแปรใหม่มีเงื่อนไขว่าต้องบวก เหตุที่ทำได้คือ $a^{2x} = (a^x)^2$ ตามกฎกำลังซ้อน พอเรียก $a^x$ ว่า $u$ สมการก็กลายเป็นสมการกำลังสองที่แยกตัวประกอบได้ตามบทที่ 23

ตัวอย่าง 6

แก้ $4^x-5(2^x)+4=0$

เพราะ $4^x=(2^2)^x = (2^x)^2$ ให้ $u=2^x$ ซึ่งต้องบวก จะได้ $u^2-5u+4=0$
แยก $(u-1)(u-4)=0$ ได้ $u=1,4$ ซึ่งบวกทั้งคู่ จึงใช้ได้ทั้งสองค่า
ย้อนกลับ $2^x=1 = 2^0$ หรือ $2^x=4 = 2^2$ จึงได้ $x=0,2$
ตรวจ $x = 2$ ได้ $16 - 20 + 4 = 0$ และ $x = 0$ ได้ $1 - 5 + 4 = 0$

ถ้ารากของพหุนามใหม่ติดลบ ต้องตัดออกก่อนย้อนกลับ เพราะกำลังฐานบวกไม่มีค่าติดลบ การเปลี่ยนตัวแปรช่วยลดรูป แต่ไม่ทำให้เงื่อนไขของตัวแปรใหม่หายไป

ลองคิดก่อน

แก้ $4^x + 2^x - 6 = 0$ ให้ $u = 2^x$ ได้ $u^2 + u - 6 = 0$ แยกเป็น $(u + 3)(u - 2) = 0$ เพื่อนตอบว่ามีคำตอบสองค่า ถูกไหม

ดูคำตอบ

ไม่ถูก $u = -3$ ใช้ไม่ได้ เพราะ $2^x = -3$ ไม่มีคำตอบ กำลังของ $2$ เป็นบวกเสมอ เหลือ $u = 2$ คือ $2^x = 2$ ได้ $x = 1$ คำตอบเดียว ตรวจ $4 + 2 - 6 = 0$

กลับมาที่ยาในกระแสเลือด

ตอนนี้มีเครื่องมือครบแล้ว อสมการ $(0.8)^t$ น้อยกว่า $0.5$ ทำฐานเดียวกันไม่ได้ จึงใส่ลอการิทึมทั้งสองข้าง ฟังก์ชัน $\log$ ฐานสิบเป็นฟังก์ชันเพิ่ม การใส่ $\log$ จึงไม่เปลี่ยนทิศ แต่จุดที่ต้องระวังอยู่ขั้นถัดไป

ตัวอย่าง 7

ยาเหลือ $D_0(0.8)^t$ หลัง $t$ ชั่วโมง ต้องผ่านไปนานเท่าไรยาจึงเหลือน้อยกว่าครึ่งของตอนเริ่ม

ต้องการ $D_0(0.8)^t$ น้อยกว่า $\tfrac{1}{2}D_0$ หารด้วย $D_0$ ซึ่งบวก ได้ $(0.8)^t$ น้อยกว่า $0.5$ ปริมาณเริ่มต้นตัดทิ้งได้ คำตอบจึงไม่ขึ้นกับว่าเริ่มกี่มิลลิกรัม
ใส่ $\log$ ทั้งสองข้างแล้วย้ายกำลังลงมา ได้ $t\log 0.8$ น้อยกว่า $\log 0.5$
$\log 0.8$ ติดลบ เพราะ $0.8$ น้อยกว่า $1$ หารด้วยจำนวนลบต้องกลับทิศ ได้ $t$ มากกว่า $\dfrac{\log 0.5}{\log 0.8}$ ซึ่งประมาณ $3.11$ ชั่วโมง การกลับทิศตรงนี้คือเหตุผลเดียวกับฐานน้อยกว่าหนึ่งที่ทำให้ฟังก์ชันลด
ตรวจกับจำนวนเต็มข้างเคียง $(0.8)^3 = 0.512$ ยังไม่ถึงครึ่ง แต่ $(0.8)^4 = 0.4096$ ต่ำกว่าครึ่งแล้ว ถ้าวัดทุกชั่วโมงก็จะเห็นครั้งแรกที่ชั่วโมงที่ $4$

ขั้นที่ 4 ชี้ให้เห็นว่าคำตอบที่เป็นเวลาต่อเนื่องกับคำตอบที่เป็นจำนวนรอบเต็มไม่ใช่สิ่งเดียวกัน หน้าถัดไปจะใช้ทุกวิธีในหน้านี้กับแบบจำลองการเติบโตและการสลาย และจะดูให้ชัดว่าโจทย์ถามเวลาแบบไหน

สรุป

ฐานเดียวกันตัดฐานได้เพราะ $a^x$ เป็นหนึ่งต่อหนึ่ง ถ้าทำฐานเดียวกันไม่ได้ให้ใส่ลอการิทึม
ฐานระหว่างศูนย์กับหนึ่งทำให้กลับทิศ ฐานมากกว่าหนึ่งทิศเดิม
หารด้วยลอการิทึมที่ติดลบ เช่น $\log 0.8$ ต้องกลับทิศ
ลอการิทึมต้องตรวจอาร์กิวเมนต์ทุกตัว
แทนคำตอบกลับโดเมนเดิมเสมอ
ตัวแปรใหม่ $u = a^x$ ต้องบวก ตัดรากที่ไม่บวกทิ้ง