35.1 รากที่ n

ถ้าลูกบาศก์มีปริมาตร $64$ ลูกบาศก์เซนติเมตร ด้านยาวต้องเป็นจำนวนที่คูณตัวเองสามครั้งได้ $64$ เรากำลังย้อนการยกกำลังสาม ซึ่งทำได้ด้วยรากที่สาม

คำถามแบบนี้ไม่ได้หยุดที่กำลังสามเสมอไป สมมติเงินออมในบัญชีของชมรมโตขึ้นเป็น $1.4641$ เท่าในเวลา $4$ ปี โดยโตด้วยอัตราเท่ากันทุกปี ถ้าให้แต่ละปีเงินถูกคูณด้วย $r$ สี่ปีจะคูณด้วย $r \times r \times r \times r = r^4$ จึงต้องหา $r$ ที่ $r^4 = 1.4641$ นี่คือการย้อนการยกกำลังสี่ หน้านี้ขยายรากที่สองและรากที่สามจากบทที่ 11 ไปเป็นรากอันดับใดก็ได้

ย้อนกำลังด้วยราก

ในบทที่ 11 รากที่สองของ $a$ คือจำนวนที่ยกกำลังสองแล้วได้ $a$ และรากที่สามคือจำนวนที่ยกกำลังสามแล้วได้ $a$ แนวคิดเดียวกันใช้กับกำลังอื่นได้ทันที

นิยาม

ให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า $1$ และ $a$ เป็นจำนวนจริง รากที่ $n$ ของ $a$ คือจำนวนจริง $x$ ที่ทำให้ $x^n = a$

นิยามนี้ไม่ได้บอกว่ามีรากกี่ตัว เพราะคำตอบขึ้นกับว่า $n$ เป็นคู่หรือคี่ และ $a$ เป็นบวก ศูนย์ หรือลบ ลองดูตัวอย่างสั้นๆ ก่อน

รากที่สี่ของ $16$ มีสองตัว คือ $2$ กับ $-2$ เพราะ $2^4 = 16$ และ $(-2)^4 = 16$
รากที่สี่ของ $-16$ ไม่มีในจำนวนจริง เพราะจำนวนจริงใดยกกำลังสี่ก็ไม่ติดลบ
รากที่ห้าของ $-32$ มีตัวเดียวคือ $-2$ เพราะ $(-2)^5 = -32$ ส่วน $2^5 = 32$ ไม่ใช่ $-32$

นับจำนวนรากจากกราฟ

เหตุผลที่กำลังคู่กับกำลังคี่ให้ผลต่างกันเห็นได้ชัดจากกราฟ การหารากที่ $n$ ของ $a$ คือการลากเส้นแนวนอน $y = a$ แล้วดูว่าตัดกราฟ $y = x^n$ กี่จุด แต่ละจุดตัดให้ค่า $x$ หนึ่งค่าที่ $x^n = a$

กำลังคู่ เส้นระดับบวกตัดสองจุด เส้นระดับลบไม่ตัด กำลังคี่ ทุกระดับตัดจุดเดียว

กราฟ $y = x^2$ สมมาตรรอบแกน $y$ และไม่ลงต่ำกว่าแกน $x$ กราฟของ $y = x^4$ $y = x^6$ และกำลังคู่อื่นก็มีรูปทรงแบบเดียวกัน เพราะ $(-x)^n = x^n$ เมื่อ $n$ เป็นคู่ เส้นระดับบวกจึงตัดสองจุดที่อยู่คนละข้างของแกน $y$ ส่วนเส้นระดับลบไม่ตัดเลย

กราฟ $y = x^3$ ขึ้นจากซ้ายไปขวาตลอดและผ่านทุกระดับ กำลังคี่อื่นก็เช่นกัน เพราะจำนวนบวกยกกำลังคี่เป็นบวก จำนวนลบยกกำลังคี่เป็นลบ เส้นระดับใดก็ตัดได้จุดเดียว สรุปได้ว่า

$n$ คู่ และ $a > 0$ มีรากสองตัวที่เป็นจำนวนตรงข้ามกัน
$n$ คู่ และ $a < 0$ ไม่มีรากในจำนวนจริง
$n$ คี่ มีรากตัวเดียวเสมอ และมีเครื่องหมายเดียวกับ $a$
รากที่ $n$ ของ $0$ คือ $0$ ตัวเดียว

รากหลักและสัญลักษณ์

สัญลักษณ์ต้องให้ค่าเดียว ถ้า $\sqrt[4]{16}$ หมายถึงได้ทั้ง $2$ และ $-2$ เราจะเขียน $\sqrt[4]{16} + 1$ ไม่ได้ เพราะไม่รู้ว่าผลคือ $3$ หรือ $-1$ จึงตกลงเลือกค่าหนึ่งเป็นตัวแทน เรียกว่ารากหลัก

นิยาม

สำหรับจำนวนเต็ม $n \ge 2$ สัญลักษณ์ $\sqrt[n]{a}$ หมายถึงรากหลักอันดับ $n$ ของ $a$

ถ้า $n$ เป็นคู่ นิยามในจำนวนจริงเมื่อ $a \ge 0$ และเลือกรากที่ไม่ติดลบ
ถ้า $n$ เป็นคี่ นิยามได้สำหรับจำนวนจริงทุกตัว และใช้รากตัวเดียวที่มี ซึ่งมีเครื่องหมายตาม $a$

ที่เลือกค่าไม่ติดลบเพราะเป็นค่าที่ใช้บ่อยที่สุด ความยาวด้าน ระยะทาง และอัตราการโต ล้วนเป็นจำนวนบวก และตรงกับข้อตกลง $\sqrt{25} = 5$ ที่ใช้มาตั้งแต่บทที่ 11

ดังนั้น $\sqrt{25}=5$ แต่สมการ $x^2=25$ มีสองคำตอบ $x=\pm5$ เพราะสมการถามทุกจำนวนที่ยกกำลังสองแล้วได้ $25$ ส่วนสัญลักษณ์รากเลือกค่าหลัก ถ้าต้องการค่าลบให้เขียนเครื่องหมายลบนอกราก เช่น $-\sqrt{25} = -5$

ตัวอย่าง 1

หาค่าของ $\sqrt[5]{-32}$ $\sqrt[4]{0.0016}$ $\sqrt[6]{-64}$ และ $\sqrt[3]{-\tfrac{8}{125}}$

อันดับ $5$ เป็นคี่ จึงหาค่าได้แม้ในรากติดลบ $(-2)^5 = -32$ ได้ $\sqrt[5]{-32} = -2$ ตรวจเครื่องหมาย ลบห้าตัวคูณกันเป็นลบ ตรงกับเลขในราก
อันดับ $4$ เป็นคู่ และ $0.0016 \ge 0$ จึงหาค่าได้ เห็น $16 = 2^4$ และทศนิยมสี่ตำแหน่งแบ่งเป็นสี่ส่วนเท่ากัน ส่วนละหนึ่งตำแหน่ง ลองยกกำลังกลับ $0.2^4 = 0.0016$ ได้ $\sqrt[4]{0.0016} = 0.2$ เลือกค่าบวกเพราะเป็นรากหลักอันดับคู่
อันดับ $6$ เป็นคู่ แต่ $-64$ ติดลบ ไม่มีจำนวนจริงใดยกกำลังหกแล้วติดลบ $\sqrt[6]{-64}$ จึงไม่มีค่าในจำนวนจริง อย่าตอบ $-2$ เพราะ $(-2)^6 = 64$
อันดับ $3$ เป็นคี่ หารากของเศษและส่วนแยกกัน $2^3 = 8$ และ $5^3 = 125$ ใส่เครื่องหมายลบตาม ได้ $-\tfrac{2}{5}$ ตรวจ $\left(-\tfrac{2}{5}\right)^3 = -\tfrac{8}{125}$

ตัวอย่าง 2

หา $\sqrt[4]{81}$ และแก้ $x^4=81$ ในจำนวนจริง

$3^4=81$ ค่ารากหลักจึงเป็น $3$ สัญลักษณ์รากให้ค่าเดียว จึงไม่มี $\pm$
เมื่อแก้สมการ $(-3)^4=81$ ด้วย จึงมีคำตอบ $x=-3,3$ สมการถามหาทุกจำนวนที่ทำให้เป็นจริง จึงต้องเก็บทั้งสองค่า
ตรวจด้วยการแยกตัวประกอบ $x^4 - 81 = (x^2 - 9)(x^2 + 9) = (x - 3)(x + 3)(x^2 + 9)$ วงเล็บสุดท้ายเป็นบวกเสมอ จึงมีคำตอบจริงแค่ $3$ กับ $-3$ ตรงกับกราฟกำลังคู่ที่ตัดเส้นระดับบวกสองจุด
แยกให้ออกระหว่างหาค่ารากหนึ่งค่าและแก้สมการทุกคำตอบ

ลองคิดก่อน

เพื่อนเขียนว่า $\sqrt[4]{16} = \pm 2$ เพราะ $2^4$ และ $(-2)^4$ ได้ $16$ ทั้งคู่ ถูกไหม

ดูคำตอบ

ไม่ถูก $2$ และ $-2$ เป็นรากที่สี่ของ $16$ จริง แต่สัญลักษณ์ $\sqrt[4]{16}$ หมายถึงรากหลักตัวเดียว คือ $2$ ถ้าโจทย์ถาม "รากที่สี่ทั้งหมดของ $16$ " หรือให้แก้ $x^4 = 16$ จึงตอบทั้ง $2$ และ $-2$

ตัวอย่าง 3

ลูกบาศก์ปริมาตร $216$ ลูกบาศก์เซนติเมตร มีด้านยาวเท่าไร

ให้ด้านยาว $s>0$ ได้ $s^3=216$ ความยาวต้องเป็นบวก แต่สำหรับกำลังสาม เงื่อนไขนี้ไม่ได้ตัดคำตอบใดทิ้ง เพราะมีรากที่สามตัวเดียวอยู่แล้ว
แยกตัวประกอบ $216 = 2^3 \times 3^3 = (2 \times 3)^3$ เพราะ $6^3=216$ จึงได้ $s=6$ เซนติเมตร
ตรวจ $6 \times 6 \times 6 = 36 \times 6 = 216$

ตัวอย่าง 4

กลับไปที่เงินออมของชมรม เงินโตเป็น $1.4641$ เท่าใน $4$ ปีด้วยอัตราเท่ากันทุกปี เงินเพิ่มปีละกี่เปอร์เซ็นต์

ให้ตัวคูณต่อปีเป็น $r$ สี่ปีคือคูณ $r$ ซ้ำสี่ครั้ง ได้ $r^4 = 1.4641$
เงินโตขึ้น ตัวคูณจึงเป็นบวก ใช้รากหลัก $r = \sqrt[4]{1.4641}$ ส่วนรากที่ติดลบไม่มีความหมายในเรื่องนี้
ตัวเลข $14641 = 11^4$ และทศนิยมสี่ตำแหน่งแบ่งเป็นสี่ส่วนละหนึ่งตำแหน่ง จึงลองยกกำลัง $1.1^4 = 1.21 \times 1.21 = 1.4641$ ได้ $r = 1.1$
ตัวคูณ $1.1$ หมายถึงเพิ่มขึ้น $0.1$ ของเดิม คือเพิ่มปีละ $10$ เปอร์เซ็นต์ เรื่องตัวคูณจากร้อยละจะอยู่ในหน้า 35.4

ถอดกำลังที่อยู่ในราก

ถ้ายกกำลัง $n$ แล้วถอดรากที่ $n$ ดูเหมือนจะได้ค่าเดิมกลับมา แต่ลองแทนตัวเลขดูก่อน $\sqrt{3^2} = \sqrt{9} = 3$ ได้ค่าเดิมจริง แต่ $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3$ ไม่ได้ $-3$ กลับมา เพราะการยกกำลังสองลบเครื่องหมายทิ้งไปแล้ว และรากหลักอันดับคู่ให้ค่าบวกเสมอ

ผลที่ได้คือขนาดของจำนวนเดิมโดยไม่สนเครื่องหมาย ซึ่งคือค่าสัมบูรณ์ในบทที่ 34 จึงเขียนได้ว่า เมื่อ $n$ เป็นคู่ $\sqrt[n]{x^n}=|x|$ ไม่ใช่ $x$ เสมอ เมื่อ $n$ เป็นคี่ $\sqrt[n]{x^n}=x$ เพราะเครื่องหมายไม่หายไประหว่างทาง เช่น $\sqrt[3]{(-2)^3}=-2$ แต่ $\sqrt{(-2)^2}=2$

ลองคิดก่อน

$\sqrt{x^2}=x$ เมื่อ $x=-7$ ถูกไหม

ดูคำตอบ

ไม่ถูก ข้างซ้ายคือรากหลักของ $49$ ได้ $7$ ต้องเขียน $\sqrt{x^2}=|x|$ เพื่อครอบคลุมทั้งบวกและลบ

ตัวอย่าง 5

เขียน $\sqrt{x^2}$ $\sqrt[3]{x^3}$ $\sqrt[4]{x^8}$ และ $\sqrt[6]{x^6}$ ให้ไม่มีราก เมื่อ $x$ เป็นจำนวนจริงใดๆ

$\sqrt{x^2}$ อันดับคู่ ถอดกำลังสองแล้วต้องได้ค่าไม่ติดลบ จึงได้ $|x|$
$\sqrt[3]{x^3}$ อันดับคี่ เครื่องหมายของ $x$ อยู่ครบ จึงได้ $x$
$\sqrt[4]{x^8}$ เขียน $x^8 = (x^2)^4$ ได้ $\sqrt[4]{(x^2)^4} = |x^2|$ แต่ $x^2$ ไม่ติดลบอยู่แล้ว ค่าสัมบูรณ์จึงไม่เปลี่ยนอะไร ได้ $x^2$
$\sqrt[6]{x^6}$ อันดับคู่ ได้ $|x|$ ตรวจด้วย $x = -2$ ข้างซ้าย $\sqrt[6]{64} = 2$ ตรงกับ $|-2| = 2$

วิธีจำที่ใช้ได้เสมอคือแทนจำนวนลบลงไปตรวจ ถ้าข้างซ้ายเป็นบวกแต่ข้างขวาเป็นลบ แปลว่าลืมค่าสัมบูรณ์

สรุป

รากที่ $n$ ของ $a$ คือจำนวนที่ยกกำลัง $n$ แล้วได้ $a$
อันดับคู่ จำนวนบวกมีรากสองตัว จำนวนลบไม่มีราก อันดับคี่มีรากตัวเดียวเสมอ
รากอันดับคู่เลือกค่าที่ไม่ติดลบ
รากกับคำตอบสมการเป็นคนละคำถาม
$\sqrt[n]{x^n} = |x|$ เมื่อ $n$ คู่ และ $= x$ เมื่อ $n$ คี่

หน้าถัดไปจะใช้รากที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม เช่น $\sqrt{72}$ หรือ $\sqrt{2} + \sqrt{8}$ แล้วจัดรูปให้อ่านง่ายและคำนวณต่อได้