39.3 กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ชิงช้าสวรรค์ที่งานวัดหมุนช้าๆ ครบรอบทุก $20$ นาที ถ้านั่งกระเช้าตั้งแต่จุดต่ำสุด ความสูงจากพื้นจะค่อยๆ เพิ่มขึ้นจนถึงยอด แล้วลดลงกลับมาที่เดิม และซ้ำแบบนี้ไปเรื่อยๆ ถ้าวาดกราฟความสูงเทียบกับเวลา จะได้รูปอะไร และเขียนเป็นสูตรได้ไหม

สิ่งที่ขึ้นลงซ้ำเป็นรอบมีอยู่มาก ระดับน้ำขึ้นน้ำลงที่ท่าเรือ ความยาวกลางวันในแต่ละเดือน เสียงที่สั่นเป็นคลื่น หน้านี้จะวาดกราฟของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์จากวงกลมหนึ่งหน่วย แล้วดูว่าตัวเลขแต่ละตัวในสูตร $y = a\sin(bx + c) + d$ ยืด หด หรือเลื่อนกราฟอย่างไร พอแยกหน้าที่ของแต่ละตัวได้ ก็สร้างสูตรของชิงช้าสวรรค์ได้เอง

กราฟไซน์และโคไซน์มาจากวงกลม

ให้จุดเดินรอบวงกลมหนึ่งหน่วยแล้วจดความสูงของจุดไว้ทุกมุม ความสูงนั้นคือ $\sin x$ ตามหน้า 39.1 เริ่มที่ $x = 0$ ความสูงเป็น $0$ เพิ่มเป็น $1$ ที่ $x = \tfrac{\pi}{2}$ กลับมาเป็น $0$ ที่ $x = \pi$ ลงไปต่ำสุด $-1$ ที่ $x = \tfrac{3\pi}{2}$ และกลับมาเป็น $0$ ที่ $x = 2\pi$ ซึ่งจุดกลับมาที่เดิม หลังจากนั้นทุกอย่างซ้ำเดิม

ลองเลื่อนมุมในกราฟของหน้า 39.1 อีกครั้ง จะเห็นจุดบนกราฟวิ่งตามความสูงของจุดบนวงกลม ส่วน $\cos x$ คือระยะแนวนอนของจุด เริ่มที่ $1$ ลดลงเป็น $-1$ ที่ $x = \pi$ แล้วกลับขึ้นมา รูปร่างเหมือนกราฟไซน์ทุกประการ เพียงแต่เริ่มที่ยอด กราฟโคไซน์จึงเป็นกราฟไซน์ที่เลื่อนไปทางซ้าย $\tfrac{\pi}{2}$ หน่วย เขียนได้ว่า $\cos x = \sin\left(x + \tfrac{\pi}{2}\right)$

สมบัติที่อ่านได้จากกราฟทั้งสอง

• โดเมนเป็นจำนวนจริงทั้งหมด เพราะมุมทุกขนาดมีจุดปลาย
• เรนจ์เป็น $[-1, 1]$ เพราะพิกัดของจุดบนวงกลมรัศมี $1$ ไม่เกิน $1$ และไม่ต่ำกว่า $-1$
• กราฟซ้ำทุก $2\pi$ เรียกว่ามีคาบ $2\pi$ ฟังก์ชันที่ซ้ำเป็นรอบแบบนี้เรียกว่าฟังก์ชันเป็นคาบ

กราฟแทนเจนต์มีเส้นกำกับ

$\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ หาค่าไม่ได้ทุกที่ที่ $\cos x = 0$ คือ $x = \tfrac{\pi}{2} + n\pi$ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็ม เมื่อ $x$ เข้าใกล้ $\tfrac{\pi}{2}$ จากทางซ้าย ตัวส่วนเป็นบวกเล็กลงเรื่อยๆ ขณะที่ตัวเศษใกล้ $1$ ผลหารจึงโตขึ้นไม่มีขอบเขต กราฟพุ่งขึ้นแนบเส้นตั้ง $x = \tfrac{\pi}{2}$ ซึ่งเป็นเส้นกำกับแนวตั้ง แทนเจนต์ซ้ำทุก $\pi$ ไม่ใช่ $2\pi$ เพราะการหมุนครึ่งรอบพาจุดปลายไปฝั่งตรงข้าม ทั้ง $x$ และ $y$ เปลี่ยนเครื่องหมายพร้อมกัน ผลหารจึงเท่าเดิม

กราฟแทนเจนต์ขึ้นไปได้สูงเท่าไรก็ได้ เรนจ์จึงเป็นจำนวนจริงทั้งหมด และไม่มีค่าสูงสุดต่ำสุด เรื่องแอมพลิจูดต่อจากนี้จึงใช้กับไซน์และโคไซน์เท่านั้น

ตัวเลขสี่ตัวในสูตรทำหน้าที่ต่างกัน

กราฟ $y = a\sin(bx + c) + d$ เมื่อ $a \ne 0$ และ $b \gt 0$ ได้จาก $y = \sin x$ โดยเปลี่ยนทีละอย่าง ลองเลื่อนแถบในกราฟข้างล่างทีละตัว แล้วสังเกตว่าอะไรเปลี่ยน อะไรไม่เปลี่ยน

$d$ เลื่อนขึ้นลง การบวก $d$ ทุกค่า $y$ ยกทั้งกราฟขึ้น $d$ หน่วย เส้นแนวนอนที่กราฟแกว่งรอบเปลี่ยนจาก $y = 0$ เป็น $y = d$ เรียกว่าเส้นกึ่งกลาง

$a$ ยืดแนวตั้ง $\sin$ มีค่าระหว่าง $-1$ ถึง $1$ คูณด้วย $a$ ทำให้ห่างจากเส้นกึ่งกลางได้มากที่สุด $|a|$ ค่า $|a|$ นี้เรียกว่าแอมพลิจูด ถ้า $a$ ติดลบ กราฟพลิกกลับหัวรอบเส้นกึ่งกลาง เรนจ์ของทั้งกราฟจึงเป็น $[d - |a|, d + |a|]$

$b$ บีบแนวนอน $\sin(bx)$ ครบหนึ่งรอบเมื่อ $bx$ เดินครบ $2\pi$ คือเมื่อ $x$ เดินไป $\tfrac{2\pi}{b}$ คาบใหม่จึงเป็น $\tfrac{2\pi}{b}$ ยิ่ง $b$ มาก รอบยิ่งสั้น กราฟยิ่งถี่

$c$ เลื่อนซ้ายขวา รอบเริ่มต้นเมื่อมุมภายในเป็นศูนย์ คือ $bx + c = 0$ หรือ $x = -\tfrac{c}{b}$ ถ้าดึง $b$ ออกจากวงเล็บ $a\sin\left(b\left(x + \tfrac{c}{b}\right)\right) + d$ จะเห็นว่าการเลื่อนแนวนอนคือ $\tfrac{c}{b}$ หน่วยไปทางซ้าย ไม่ใช่ $c$ หน่วย

การเลื่อนเมื่อมีสัมประสิทธิ์ภายใน

ถ้าแปลการเลื่อนผิด กราฟจะมีคาบถูกแต่เริ่มรอบผิดตำแหน่ง วิธีที่ปลอดภัยที่สุดคือหาว่ามุมภายในเป็นศูนย์ที่ $x$ เท่าไร เพราะตรงนั้นกราฟไซน์อยู่บนเส้นกึ่งกลางและกำลังขึ้น (ถ้า $a \gt 0$)

สร้างสูตรจากกราฟหรือสถานการณ์

ทำย้อนกลับก็ได้ ถ้ารู้ค่าสูงสุด ค่าต่ำสุด และคาบ จะหา $a$ $b$ $d$ ได้เสมอ เส้นกึ่งกลางอยู่กึ่งกลางระหว่างสูงสุดกับต่ำสุด แอมพลิจูดคือครึ่งหนึ่งของระยะจากต่ำสุดถึงสูงสุด และ $b$ เท่ากับ $2\pi$ หารด้วยคาบ

เมื่อมีสูตรแล้ว คำถามย้อนกลับก็ตามมา เช่น กระเช้าอยู่สูงเกิน $32$ เมตรช่วงเวลาใดบ้าง คำถามนี้ต้องแก้สมการ $22 - 20\cos\tfrac{\pi t}{10} = 32$ ซึ่งมีคำตอบมากกว่าหนึ่งค่าในหนึ่งรอบ หน้าถัดไปจะว่าด้วยการแก้สมการตรีโกณมิติให้ได้คำตอบครบ

สรุป

• $\sin x$ และ $\cos x$ มีโดเมนทุกจำนวนจริง เรนจ์ $[-1, 1]$ คาบ $2\pi$ และ $\cos x = \sin\left(x + \tfrac{\pi}{2}\right)$
• $\tan x$ มีคาบ $\pi$ และมีเส้นกำกับแนวตั้งที่ $x = \tfrac{\pi}{2} + n\pi$
• ใน $y = a\sin(bx + c) + d$ แอมพลิจูด $|a|$ คาบ $\tfrac{2\pi}{b}$ เส้นกึ่งกลาง $y = d$
• การเลื่อนแนวนอนหาจาก $bx + c = 0$ ไม่ใช่อ่านค่า $c$ ตรงๆ
• สร้างสูตรจากค่าสูงสุด ค่าต่ำสุด คาบ และจุดเริ่ม